焦点三角形面积公式
温柔似野鬼°
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2021年01月31日 11:59
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焦
点
三
角
形
面
积
公
式
WTD standardization office
【
WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C
】
椭
圆
焦
点
三
角
形
面
积
公
式
的
应
用
x
2
y
2
定理
在椭圆
2
< br>2
1
（
a
＞
b
＞
0
）中 ，焦点分别为
F
1
、
F
2
，点
P
是椭圆上 任
a
b
意一点，
F
1
PF
2
，则
S
F
1
PF
2
b
2
tan
2
.
y
P
P
证明：记
|
PF
1
|
r
1
,< br>|
PF
2
|
r
2
，由椭圆的第一定义得< br>
在△
F
1
PF
2
中，由余弦定理得：
r< br>1
r
2
2
r
1
r
2< br>cos
(
2
c
)
2
.
配方得：
(
r
1
r
2
)
2
2
r
1
r
2
2
r
1r
2
cos
4
c
2
.
即
4
a
2
2
r
1
r
2
(
1
cos
)
4
c
2
.
由任意三角形的面积公式得：
2
2
F
1
O F
2
x
S
F
1
PF
2
1
sin
r
1
r
2
sin
b
2
b
2
2
1
cos< br>
2
sin
2
2
b
2
tan
.
2
2
cos
2
2
cos
y
2
x
2
同理可证，在椭圆
2
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）中，公式仍然成立
.
a
b
典题妙解
x
2
y
2
1
上的一点，
F
1
、
F
2
是其焦点，且
F
1
PF
2
60
，求
例
1
若
P
是椭圆
100
64
△
F
1
PF
2
的面积
.
x
2
y
2
1
中，
a
10
,
b
8
,
c
6
,
而
60
.
记
解法 一：在椭圆
100
64
|
PF
1
|
r< br>1
,
|
PF
2
|
r
2
.
点
P
在椭圆上，
由椭圆的第一定 义得：
r
1
r
2
2
a
20
.
在△
F
1
PF
2
中，由余弦 定理得：
r
1
r
2
2
r
1< br>r
2
cos
(
2
c
)
2
.
2
2
配方，得：
(
r
1
r
2
)
2
3
r
1
r
2
144
.
400
< br>3
r
1
r
2
144
.
从而
r
1
r
2
256
.
3
x< br>2
y
2
1
中，
b
2
64
，而
60
.
解法二 ：在椭圆
100
64
解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立 现！
x
2
y
2
1
上的点，
F
1
、
F
2
分别是椭圆的左、右焦点，若
例
2
已知
P
是椭圆
25
9
PF
1
< br>PF
2
|
PF
1
|
|
PF
2
|
1
，则△
F
1
PF
2
的 面积为（
）
2
3
3
A.
3
3
B.
2
3
C.
3
D.
PF
1
PF
2
|
PF
1
|
|
PF
2
|
解：设
F
1
PF
2
，
则
cos
故选答案
A.
1
，
60
.
2
x
2
y
2
1
的左、右焦点 分别是
F
1
、
F
2
，点
P
在椭圆上
.
例
3
（
04
湖北）已知椭圆
16
9
若
P
、
F
1
、
F
2
是一个直角三角形的三 个顶点，则点
P
到
x
轴的距离为（
）
9
7
9
7
9
9
9
A.
B.
C.
D.
或
7
7
5
4
4
b
2
9
；
若
P
是直
解：若
F
1
或F
2
是直角顶点，则点
P
到
x
轴的距离为半通径的长< br>a
4
角顶点，设点
P
到
x
轴的距离为
h，则
S
F
1
PF
2
b
2
tan
S
F
1
PF
2
1
(
2
c
)
h
7
h,
2
9
7
.
故答案选
D.
7
2
9
tan
45
9
，
又
7
h
9
，
h
金指点睛