角形面积公式——之水平宽铅垂高
巡山小妖精
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2021年01月31日 12:34
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三角形面积公式之水平宽铅垂高
三角形的面积公式计算较多，
而在平面直角
坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积
一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅
垂高面积公式会更加的方便
.
公式呈现
如右图所示，过
△
ABC
三个顶点分别作
x
轴的垂
线，其中过
A
，
C
两条垂线与
x
轴交于点
E
，
F
，
线段
EF
的长度称为
△
ABC
的水平宽，而过
B
点
y
D
C
铅垂高
B
A
O
E
水平宽
F
x
1
的垂线与边
AC
交于点
D
，线段< br>BD
的长度称为铅垂高，则
S
△
ABC
＝
EF
g
BD
，
2
此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽
EF
通常取最外两条垂线的宽
度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（
B
）与边（
AC
）交点（
D
）之间的距离
.
公式推导
如右图，过点
A
，
C
作铅垂高
BD
上的高
AG
，
CH
，
则有
S
△
ABC
＝
S
△
ABD
+
S
△
BCD＝
＝
公式应用
1
——
上下垂线
例
1
（适合八年级）
如图，已知边长为
a
的正方
形
ABCD
,
E
为
AD
的中点，
P
为
CE
的中点，
F
为
BP
的
中点，则△
BFD
的面积是（
）
.
A
.
y
H
D
C
1
1
AG
g
BD
CH
g
BD
2
2
1
1
AG
CH
g
BD
＝
EF< br>g
BD
.
2
2
B
A
O
A
G
F
E
D
x
E
1
2
1
2
1
2
a
B
.
a
C
.
a
8
16
32
D
.
1
2
a
64
F
B
P
说明：
本题可以连结
CF
，
由
△
BCD
的面积减去
△
BCF
与
△
C DF
的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，
利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得
.
C
解析
：不妨以
B
为原点，
BC
为
x
轴，
BA
为
y
轴建立平面直角坐标系，则点
C< br>坐标为（
a
，
0
）
，点
D
坐标为（
a
，
a
）
，
1
a
，
a
）
，
2
3
1
∵
P
为
CE
的中点，∴点
P
坐标为（
a< br>，
a
）
，
4
2
3
1
∵< br>F
为
BP
的中点，∴点
F
坐标为（
a
，a
）
.
8
4
∵
E
为
AD
的 中点，∴点
E
坐标为（
过
F
点作
BC
的垂线交BD
于点
G
，则点
G
的横
y
A
ED
P
G
F
x
O
（
B
）
C3
坐标为
a
，又直线
BD
的解析式为
y
x
，∴点
8
3
G
的纵坐标为
a
，
< br>8
3
1
1
∴△
BDF
的铅垂高
FG
＝
a
－
a
＝
a
，
8
4
8
1
1
1
1
∴
S
△
BDF
＝BC
g
FG
a
g
a
a
2
.
2
2
8
16
公式应用
2
——
左右垂线
例
2
（适合八年级）
如图，
直线
y
< br>
3
x
1
与
3
y
C
B< br>P
O
A
x
x
轴，
y
轴分别交于点
A
，
B
，以线段
AB
为直角
边
在
第
一
象
限
内
作
等
腰
直
角
△
ABC
，
且
1
∠
BAC
=90°.
如果在第二象限内有一点
P
a
,
，
2
且△
ABP
的面积与
Rt
△
A BC
的面积相等，
求
a
的
值
.
说明：
本题常见解法有三，
一是
连结
OP
，
△
ABP的面积＝△
AOB
面积
+
△
BOP
面积－△
A OP
面
积，
然后用
a
的代数式表示，
与
Rt
△
ABC
的面积
相等列方程求解；
二是
将点
C
沿
AB
翻折到
C
’
位置，则△
ABC
面积 与
△
ABC
’
面积相等，
若△
ABP
的面积与Rt
△
ABC
的面积
y
B
P
O
AC
x
y
C
B
P
O
C'
A
x