三角形面积公式之水平宽铅垂高叶茂恒
余年寄山水
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2021年01月31日 12:38
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三角形面积公式之水平宽铅垂高
三角形的面积公式计算较多，
而在平面直角
系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般
用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积
会更加的方便
.
公式呈现
如右图所示，过△
ABC三个顶点分别作
x
轴的垂
中过
A
，
C
两条垂线 与
x
轴交于点
E
，
F
，线段
EF
度称为△
ABC
的水平宽，而过
B
点的垂线与边
AC
y
D< br>C
坐
标
会
采
公
式
铅垂高
B
A
O
E
水平宽
F
x
线，
其
的
长< br>交
于
1
点
D
，线段
BD
的长度称为铅垂高， 则
S
△
ABC
＝
EF
g
BD
，此即为三角 形水平宽铅垂高面积公式，其
2
中水平宽
EF
通常取最外两条垂线的宽度，对 应铅垂高取经过夹在中间的顶点（
B
）与边（
AC
）交点
（
D
）之间的距离
.
公式推导
如右图，过点
A
，
C
作铅垂高
BD
上的高
AG
，
CH
，则有
S
△
ABC
＝
S
△
ABD
+
S< br>△
BCD
＝
1
1
AG
CH
g
BD
＝
EF
g
BD
.
2
2
1
1
AG
g
BD
CH
g
B D
＝
2
2
公式应用
1
——上下垂线
例
1
（适合八年级）
如图，已知边长为
a
的正方 形
ABCD
,
E
为
AD
的中点，
P
为CE
的中点，
F
为
BP
的
A
E
D中点，
则△
BFD
的面积是（
）
.
A
.
a
2
B
.
1
8
1
2
1
a
C
.
a
2
16
32
D
.
1
2
a
64
F
B
y
A
E
P
说明：
本题可以连结
CF
，由△
BCD
的面积 减去△
BCF
△
CDF
的面积求解，
也可以建立平面直角坐标系，< br>利用
水平宽铅垂高面积公式求得
.
解析
：不妨以
B
为原点，
BC
为
x
轴，
BA
为
y
轴
直角坐标系，
则点
C
坐标为
（
a
，
0
）
，
点
D
坐标为
1
a
，
a
）
，
2
3
1
∵
P
为
CE
的中点 ，∴点
P
坐标为（
a
，
a
）
，
4
2
与
三角形
C
建立平面
D
（
a
，
a
）
，
∵
E
为
AD
的中点， ∴点
E
坐标为（
P
G
F
x
O
（
B
）
C
3
1
∵
F
为
BP
的中点，∴ 点
F
坐标为（
a
，
a
）
.
8
4
3
过
F
点作
BC
的垂线交
BD
于点
G
，则点
G
的横坐标为
a
，又直线
BD
的解析式 为
y
x
，∴点
G
的
8
3
纵坐标 为
a
，
8
3
1
1
∴△
BDF< br>的铅垂高
FG
＝
a
－
a
＝
a
，
8
4
8
1
1
1
1
∴
S△
BDF
＝
BC
g
FG
a
g
a
a
2
.
2
2
8
16
公式应用
2
——左右垂线
例
2
（适合八年级）
如图，
直线
y
< br>
3
x
1
与
3
y
C
B< br>P
O
A
x
x
轴，
y
轴分别交于点
A
，
B
，以线段
AB
为直角边
一象限内作等腰直角△
ABC
，且∠
BAC
=90°.如果
1
二象限 内有一点
P
a
,
，且△
ABP
的面积 与
2
在第
在第
Rt
△
ABC
的面积相等，求
a
的值
.
说明：
本题常见解法有三，
一是
连结
OP
，△
ABP
积＝△
AOB
面积
+
△
BOP
面积－△
AOP
面积，然后
代数式表示，
与
Rt
△
ABC
的面积相等列方程求解；
二是
将 点
C
沿
AB
翻折到
C
’位置，则△
ABC
面积
△
ABC
’面积相等，
若△
ABP
的面积与
R t
△
ABC
的
相等，则可得
PC
’
三是
考 虑水平宽
高公式来计算，但如果从
A
，
B
，
P
三< br>轴作垂线，
较为复杂，不妨换个角度
公式，
即从
A
，
B
，
P
向
y
轴作垂线
（即
方向作垂线）
，
仿公式求解
.
现解析如
解析
：
过
A
，B
，
P
三点作
y
轴的垂线，
y
B
P< br>O
y
A
C
的
面
用
a
的
x< br>与
C
B
P
B
E
C'
y
C
面
积
O
x
铅
垂
点向
x
应
用
A
P
O
A
x
左
右
下
.
则
OB
可
以看成公式中的水平宽，而
PE
可以看成公式中的铅垂高，
（不习惯的同学可以将屏幕或头转个
90
度）由
AB
的解析式可以得
OA
＝
3
，
OB
＝
1
，而
P
的纵 坐标为
所以
PE
＝
-
a
+
3
，
2
1
，所以
E
为
AB
的中点，
2
1
1
3
从而有
2
2
1
a
2
，
2
2