扇形、三角形、弓形、菱形公式
玛丽莲梦兔
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2021年01月31日 12:45
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常用面积公式
面积公式
扇形面积公式
S=
π
在半径为
R
的圆中，
因为
360° 的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积
R^2
，所以圆心角为
n°的扇形面积：
S=n
π
R²÷360
比如：半径为
1cm
的圆，那么所对圆心角为
135°的扇形的周长：
C=2R+n
π
R÷180
=2×1+135×3.14×1÷180
=2+2.355
=4.355(cm)=43.55(mm)
扇形的面积：
S=n
π
R²÷360
=135×3.14×1×1÷3
60
=1.1775(cm²)=117.75(mm²)
扇形还有另一个面积公式
S=1/2lR
其中
l
为弧长，
R
为半径
扇环面积
圆环周长
:
外圆的周长
+
内圆的周长
(
圆周率
X(
大直径
+
小直径
))
圆环面积
:
外圆面积
-
内圆面积
(
圆周率
X
大半径的平方
-
圆周率
X
小半
径的平方
圆周率
X(
大半径的平方
-
小半径的平方
))
用字母表示：
S
内
+S
外（∏R
方）
S
外—
S
内=∏(R
方
-r
方）
还有第二种方法：
S=
π
[(R-
r)×(R+r)]
R=
大圆半径
r=
圆环宽度
=
大圆半径
-
小圆半径
还有一种方法：
已知圆环的外直径为
D
，圆环厚度（即外内半径 之差）为
d
。
d=R-r
，
D-d=2R-
（
R-r
）
=R+r
，
可由第一、二种方法推得
S=
π
[(R-
r)×(R+r)]=< br>π
(D-
d)×d，
圆环面积
S=
π
(D-
d)×d
这是根据外直 径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数
据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管 。
三角形面积公式
海伦公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：
S²=p(p-a)(p-b)(p-c),
p=
（
a+b+c
）
/2, a.b.c
为三角形三边。
证明：
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式
S△ABC = aha
入手，运用勾股定
理推导出海伦公式。
证明：如图
ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC
= aha= a× = 此时
S△ABC
为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出
ha
。
斯氏定理:△ABC
边
BC
上任取一点
D
，
若
BD=u
，
DC=v,AD=t.
则
t
2
=
证
明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为
S△ABC
的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
S
= 可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－
2abcosC
对
其进行证明。
证明：要证明
S =
则要证
S = = = ab×sinC 此时
S = ab×sinC
为三
角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用
S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半
径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○
那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ②
tg = ③ 根据恒等式，得：
+ + = ①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz
④ 如图可知：
a+b
－
c = (x+z)+(x+y)
－(z+y) = 2x ∴x = 同理：
y = z =
代入
④，
得：
r
2
·
= 两边同乘以
，
得：
r
2
·
= 两边开方，
得：
r
·
=
左边
r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：
半角定理
半角定理：
tg = tg = tg =
证明：根据
tg = = ∴r =
× y ① 同理
r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得：
r3 = ×xyz
坐标面积公式
1
：△ABC，三顶点的坐标分别为
A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),
S△ABC=∣a 1b2+b1c2
+c1a2-a1c2-c1b2-
b1a2∣/2.
2:
空间△ABC，三顶点的坐标分别为
A(a1,a2,a3),B(b 1,b2,b3)C(c1,c2c3),
面积为
S
，则
S²=
（
a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2 -b1a2)²+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3
-b2a3)&s up2;+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)².
圆面积公式
设圆半径为
：
r,
面积为
：
S .
则
面积
S=
π
·r²
π
表示圆周率
即
圆面积
等于
圆周率
乘以
圆半径的平方
弓形面积公式
设弓形
AB
所对的弧为弧
当弧
AB
是劣弧时，那么
是圆心）。
当弧
AB
是半圆时，那么
当弧
AB
是优弧时，那么
是圆心）
AB
，那么：
S
弓形
=S
扇形－S△AOB（
A
、
B
是弧的端点，
O
S
弓形
=S
扇形
=1/2S
圆=1/2×
π
r²
。
< br>S
弓形
=S
扇形+S△AOB（
A
、
B
是弧 的端点，
O
计算公式分别是：
S=n
π
R²÷360－ah÷2
S=
π
R²/2
S=n
π
R²÷360+ah÷2
椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：
S=
π
ab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率