铅锤高求三角形面积法
温柔似野鬼°
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2021年01月31日 12:53
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作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------
二次函数教学反思
最近教学二次函数 遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形
面积问题的一个好办法。 在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”
，同学们很快掌握了这种
方法现总结如下 ：如图
1
，过△
ABC
的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两 条直线之间的
距离叫△
ABC
的“水平宽”
(
a
)
，中间的这条直线在△
ABC
内部线段的长度叫△
ABC
的“铅垂高
(
h
)
”
.
我们
可得出一种计算三角形面积的新方法：S
ABC
铅垂高
C
1
ah
，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
.
2
y
y
A
C
O
B
D
B
h
B
水平宽
a
图
1
x
A
P
O
x
例
1
．
（
2013
深圳）
如图，在直角坐标系中，点
A
的坐标为（ －
2
，
0
）
，连结
OA
，将线段
OA绕原点
O
顺时针旋转
120
°，得到线段
OB
.
（
1
）求点
B
的坐标；
（
2
）求经过
A
、
O
、
B
三点的抛物线的解析式；
（
3
） 在（
2
）中抛物线的对称轴上是否存在点
C
，使△
BOC
的 周长最小？若存在，求出点
C
的坐标；若不
存在，请说明理由
.
（< br>4
）如果点
P
是（
2
）中的抛物线上的动点，且在
x
轴的下方，那么△
P
AB
是否有最
大面积？若有，求出此时
P
点的坐标及△
P
AB
的最大面积；若没有，请说明理由
.
解：
（
1
）
B
（
1
，
3
）
3
3
2
2
3
，因此
y
x
x
3
3
3
（
3
）如图，抛物 线的对称轴是直线
x
=
—
1
，当点
C
位于对称轴与 线段
AB
的交点时，△
BOC
的周长最小
.
（< br>2
）设抛物线的解析式为
y
=
ax
(
x+a
)
，代入点
B
（
1,
3
）
，得
a
3
k
3
3
2
3
k
b
3,
3
解得< br>
设直线
AB
为
y
=
kx
+
b.
所以
，
因此直线
AB
为
y
，
当
x
=
－
1
时，
，
x
< br>y
3
3
3
2
k
b< br>
0.
b
2
3
3
因此点
C
的坐标为（－
1
，
3
/3
）
.
（
4
）如图，过
P
作
y轴的平行线交
AB
于
D
.
1
1
S
PAB
S
PAD
S
PBD
(
y
D
y
P
)(
x
B
x
A
)
2
1
3
2
3
3
2
2
3
x
x
x
3
2
3
3
3
3
3
2
3
x
x
3
2
2
2
3
1
9
3
x
2
2
8
当
x
=
－
1
3
9
3
1
时，△
P
A B
的面积的最大值为
，此时
P
,
.
2
8
4
2
例
2
．
(2014
益阳
)
如图
2
，抛物线顶点坐标为点
C
(
1
,
4
),
交
x
轴于点
A
(
3
,
0
)
，交
y< br>轴于点
B
.
(1)
求抛物
线和直线
AB
的解 析式；
(2)
点
P
是抛物线
(
在第一象限内
)上的一个动点，
连结
P
A
，
PB
，
当
P
点运动到顶点
C
时，
求△
CAB
的铅垂高
CD< br>及
S
CAB
；
(3)
是否存在一点
P，
使
S
△
P
AB
=
若不存在，请说明理由.
解：
(1)
设抛物线的解析式为：
y
1
a
(
x
1
)
4
把
A
（
3,0
）代入解析
式求得
a
1
所以
y
1
(
x
1
)
4
x
2
x
3
设 直线
AB
的解
B
2
2
2
9
S
△
CAB
，
若存在，
求出
P
点的坐标；
8
y
C
析式为：
y
2
kx
b
由
y
1
x
2
x
3
求得
B
点的坐标为
(
0
,
3
)
把
2
D
1
x
1
A
A
(
3
,
0
)
，
B
(
0
,
3
)
代入
y
2
kx
b
中
解
得
：
O
k
1,
b
3
所以
y
2
x< br>
3
图
-
2
(2)
因为
C点坐标为
(
１
,4)
所以当
x
＝１时，
y1
＝
4
，
y
2
＝
2
所以
CD
＝
4
-
2
＝
2
S
CAB
1
3
2
3
(
平方单位
)
2
(3)
假设存在符合条件的点
P
，设
P点的横坐标为
x
，△
P
AB
的铅垂高为
h
，则
1
9
9
h
y
1
y
2
(
x
2
2
x
3
)
(
x
3
)
x
2
3
x
由
S
△
P
A B
=
S
△
CAB
得
3
(
x
2
3
x
)
3化简
8
2
8
3
3
3
15
2
2
得：
4
x
12
x
9
0
解得，
x
将
x
代入
y
1
x
2
x
3
中，解得P
点坐标为
(
,
)
2
2
2
4
例
3
．
（
2015
江津）
如图，抛物线
y
x
bx
c
与
x
轴交于
A(1,0),B(-
3
，
0)
两点，
（
1
）求该抛物
线的解析式；
（
2
）设（
1
）中的 抛物线交
y
轴于
C
点，在该抛物线的对称轴上是否存在点
Q
，使得△
QAC
的
周长最小？若存在，求出
Q
点的坐标；若不存在， 请说明理由
.
（
3
）在（
1
）中的抛物线上的第二象限上< br>是否存在一点
P
，使△
PBC
的面积最大？，若存在，求出点
P
的坐标及△
PBC
的面积最大值
.
若没有，请说
明理由< br>.
2
2
1
b
c
＝
0
b
2
解：
(1)
将
A(1
，
0)
，
B(
－3
，
0)
代
y
x
bx
c
中得
∴
9
3
b
c
0
c
3
2
∴抛物线解析式为：
y
x
2
x
3
(2)
存在。
理由如下：由题知
A
、
B
两点关于 抛物线的对称轴
x
1
对称
∴直 线
BC
与
x
1
的交点即为
Q
点，
此时△
AQC
周长最小
∵
y
< br>
x
2
x
3
∴
C
的坐标为：
(0
，
3)
直线
BC
解析式为：
y
x
3
Q
点坐标即为
2
2
x
1
的解
y
x
3
< br>∴
x
1
∴
Q(
－
1
，
2)
y
2
（
3
）答：存在。理由如下：
x
2
x
3) (
3
x
0)
∵
S
BPC
< br>S
四边形
BPCO
S
BOC
S
四边形
BPCO
设
P
点
(
x
，
有最大值，则
S
BPC
就最大，∴
S
四边形< br>BPCO
＝
S
Rt
BPE
S
直 角梯形
PEOC
2
9
若
S
四边形
BPC O
2
1
1
BE
PE
OE
(< br>PE
OC
)
2
2
1
1
3
3
9
27
＝
(
x
3)(
< br>x
2
2
x
3)
(
x
)(
x
2
2
x
3
3)
＝
(
x
)
2
2
2
2
8
2
2
3
9
27
9
27
9
27
当
x
时，
S
四边形
BPCO
最大值＝
∴
S
BPC
最大＝
< br>
2
2
8
2
8
2
8
3< br>15
3
15
当
x
时，
x
2
2
x
3
∴点
P坐标为
(
，
)
2
4
2
4
3
y
C
Q
B
O
A
x
B
P
y
C
A
x
E
O
(2)
(3)