抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)
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2021年01月31日 13:01
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抛物线焦点弦三角形的面积
本内容主要研究抛物 线焦点弦三角形的面积
.
以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为
顶点的三角形
，
称为抛物线的焦点弦三角形
.
给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根
据已知条件合理选择
.
例：
过抛物线
y
2< br>=4
x
的焦点
F
的直线交该抛物线于
A
,
B
两点
,
O
为坐标原点
.
若
|
AF
|=3,
则△
AOB
的面积为
(
)
A.
2
2
B.
2
C.
3
2
2
D.
2
2
解：
抛物线的 焦点
F
的坐标为
(1,0),
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)(
y
1
>0,
y
2
<0),
因为
|
AF
|=3,
所以
x
1
+1=3,
x
1
=2,
代入抛物线方程得
y
1
2
2
,
故
A
(2,
2
2
),
所以直线
AB
的方程为
y
2
2(
x
1),
由
2
2
x
y
2
2
0,
得
y
2
2
y< br>
4
0
.
2
y
4
x
所以
y
1
y
2
2
,
y
1
y
2
=
－
4,
则
|
AB
|
1
2
9
2
1
(
)
[(
y
y
)< br>
4
y
y
]
.
又可求得圆
12
1
2
2
2
2
点
O
到直线
AB
的距离为
2
2
1
9< br>2
2
3
2
,
故△
AOB
的面积为
S
.
3
2
2
2
2
[
一 题多解
]
设∠
AFx
=θ(0<θ<π)
及
|
BF
|=
m
,
则点
A
到准线
l
:
x
=
－
1
的距离为
3,
得
3
2< br>
3cos
cos
1
,< br>又
3
2
3
BF
m
,
m
2
m
cos(
)
m
,
△
AOB
的面积为
1
cos
2
1
1
3
2
2
3
2
.
S
|
OF
|
|
AB
|
sin
1
(3
)
2
2
2
3
3
答案：
C
注意 ：
前法是解决此类问题的通法
,
一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解
,
后法则有一
定的技巧性
.
整理：
A
O
F
B
过 抛物线
y
2
px
(
p
0)
的 焦点
F
作直线交抛物线于
A
,
B
两点
,
且
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
，
O
为 坐标
原点
.
则△
AOB
的面积为
(1)
S
(2)
S
( 3)
S
OAB
S
OBF
S
OAF
21
p
|
OF
|
|
y
1< br>
y
2
|
(
y
1
y< br>2
)
2
4
y
1
y
2
;
2
4
1
|
AB
|
d
,
d
为点
O
到直线
AB
的距离
;
2
1
1
OF
BF
sin
OF
AF
sin
2
2
1
1
OF
AF
BF
sin
OF
AB
sin< br>
2
2