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那一刻我懂了-狗熊天赋
初高中数学衔接教材
典型试题
举一反三
理解记忆
成功衔接
第一部分
如何做好初高中衔接
1-3
页
第二部分
现有初高中数学知识存在的“脱节”
4
页
第三部分
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
5-9
页
第四部分
分章节讲解
10-66
页
第五部分
衔接知识点的专题强化训练
67-100
页
第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
●
第一讲
如何学好高中数学
●
初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中， 都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿
望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学 并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，
有些章节如听天书。在做习题、课外练习时 ，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期 ”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，
从而产生畏惧感，动摇了学好数学的 信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，
但最主要的根源还在于初、高中数 学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经 验教训，搞好自己的数学学习。
一
高中数学与初中数学特点的变化
1
数学语言在抽象程度上突变。不少学生 反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很
“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显 著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽 象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2
思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各
种题 建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的
平 面几何问题，也对线段相等、角相等
,
分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这 种机械的、
便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能 力提出了高要
求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感 到不适应，故而
导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，< br>最后还需初步形成辩证型思维。
3
知识内容的整体数量剧增。高中数学在知 识内容的“量”上急剧增加了。例如
：
高一《代数》第一章
就有基本概念
52
个，数学符号
28
个；
《立体几何》第一章有基本概念
37
个，基本公理、定理和推论
21
个；两者
合在一起仅基本概念就达
89
个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一
年级第一学期只有七十 多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一
般较快，从而增加了 教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。
这就要求：第一， 要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使
新知识顺利地同 化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大
时，其记忆效 果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，
使知识结 构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方
法。第 四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二
不良的学习状态
1
学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心 理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学
教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用 的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后
辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用 的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。
许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心 理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表
现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要 上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。
2
思想松懈。
有 些同学把初中的那一套思想移植到高中来。
他们认为自已在初一、
二时并没有用功学习，
只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会< br>考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临
近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。
3
学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，
剖析概念的内涵，
分析重点难点，
突出思 想方法。
而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆； 课后又不能
及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理 一知半解，机
械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另 搞一套，结果是
事倍功半，收效甚微。
4
不重视基础。一些“自我感觉良 好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，
经常是知道怎么做就算了，而不去认 真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，
重“量”轻“质”，陷入题海。到 正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。
5
进一步学习条件不具备。高 中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这
就要求必须掌握基础知识与技能 为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求
高。如二次函数值的求法、实 根分布与参变量的讨论、
，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列
组合 应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，
就 必然会跟不上高中学习的要求。
三
科学地进行学习
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学
习 为主动学习，才能提高学习成绩。
1
培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成 人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯
包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、 独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
(1)
制定计划使学习目的明 确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的
内在动力。但计划一定要切实 可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意
志。
( 2)
课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习< br>新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师
讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
(3)
上课是 理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的
同学上课更能 专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全
抄全录，顾 此失彼。
(4)
及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅 有关资料，强化对基本概念知
识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比 效，一边复习一边将复习成果整
理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
(5)
独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解 和
对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。< br>
(6)
解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受 阻遗漏解答，通过
点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再 做一遍。对错误的地
方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习 强化，作适当的重复性
练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟” 到“活”。
(7)
系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认 识能力的重要环节。小结要在系
统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比 、概括，揭示知识间的内在联系，
以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知 识由“活”到“悟”。
(8)
课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲 座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。
课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的 文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而
且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力 ，激发求知欲与学习热情。
2
循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有 限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求
快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有 的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。
同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新 知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中
要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成 绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、
书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟 练程度。
3
注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力 、逻辑思维能力、空间想象能
力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高 度的抽象性、逻辑性和广泛的适
用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行 ，只埋头做题不总结积累也不行。
对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点， 寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到
厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人 而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复
习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。
第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1
．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2
．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“
1
”的分解，对系数不为“
1
” 的涉及不多，
而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，
但高中教材许多化简求值都要用 到
,
如解方程、
不等式等。
3
．二次根式中对分子、分母 有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等
式常用的解题技巧。
4
．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重
要内容 。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区
间上函数最值等等 是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5
．二次函数、二次不等式与二次方程 的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要
求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用 题型，而在高中二次函数、二次不等式与
二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲 授。
6
．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图 像的上、下；
左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7< br>．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究
,
而高中这部分内容视 为
重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8
．几何部 分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，
相交弦定理等）初中生大 都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
第三部分
初中数学与高中数学衔接紧密的知
识点
1
绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
a(
a
0)
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相 反数，
0
的绝对值是
0
，即
a
0(< br>a
0)
a
(
a
0)
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等 式
:
|
x
|
a
(
a
0)
a
x
a
；
|
x
|
a
(
a
0)
x
a
或
x
a
2
乘法公式：
⑴平方差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
⑵立方差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
ab
b
)
⑶立方和公式：
a
b
(
a
b
)(
a
ab
b
)
⑷完全平方公式：
(< br>a
b
)
a
2
ab
b
，
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
(
a
b
c
)
2
a
2
b
2
c
2
2
ab
2
ac
2
bc
⑸完全立方公式：
(
a
b
)
a
3
a
b
3
a b
b
3
分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4
一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是
1
，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为
1
。
⑶关于方程
ax
b
解的讨论
①当
a< br>
0
时，方程有唯一解
x
3
3
2
2
3
b
；
a
②当
a
0
，
b
0
时，方程无解
③当
a< br>
0
，
b
0
时，方程有无数解；此时任一实数都是 方程的解。
5
二元一次方程组：
（
1
）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（< br>2
）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（
3
）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（
4
）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6
不等式与不等式组
（
1
）不等式：
①用符不等号（
>
、≠、
<
）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（
2
）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（
3
）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数， 且未知数的最高次数是
1
的不等式叫一元一次不等式。
（
4
）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7
一元二次方程：
ax
bx
c
0(
a
0)
①方程有两个实数根
b
4
ac
0
2
2
0
②方程有两根同号
c
x
1
x
2
< br>
0
a
0
< br>③方程有两根异号
c
x
1
x
2
0
a
④韦达定理 及应用：
x
1
x
2
2
1< br>2
2
2
b
c
,
x
1
x
2< br>
a
a
2
b
2
4< br>ac
x
x
(
x
1
x
2
)
2
x
1
x
2
, x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
4
x
1
x
2
a
a
3
3
2
2
x
1
x
2
(
x
1
x
2)(
x
1
2
x
1
x
2
< br>x
2
)
(
x
1
x
2< br>)
(
x
x
)
1
2< br>
3
x
1
x
2
8
函数
（
1
）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，
通常用水平方向的数轴上的点自变量，
用竖直方向的数轴上的点表示因
变量。
（
2
）一次函数：
①若两个变量
y
,
x
间的关系式可以表示成
y
kx
b
（
b
为常数，
k
不等于
0
）的形式，则
称
y
是
x
的一次函数。②当
b
=0
时，称
y
是
x
的正比例函数。
（
3
）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量
x< br>与对应的因变量
y
的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的
对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数
y
=k
x
的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当
k
0
，
b
O
，则经
2
、
3
、
4
象限；当
k
0
，
b
0
时，则经
1
、
2
、
4
象限；当
k
0
，
b< br>
0
时，则经
1
、
3
、
4
象限；当
k
0
，
b
0
时，则经1
、
2
、
3
象限。
④当
k
0
时，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
0
时，
y
的值随
x
值的增大而减少。
（
4
）二次函数：
b
2
4
ac
b
2
b
)
①一般式：
y
a x
bx
c
a
(
x
(
a
0
)
，对称轴是
x
,
2
a
4
a
2
a
2
b
4
ac
b
2
（－
,
)
；
顶点是
2
a
4
a
②顶点式：
y
a< br>(
x
m
)
k
(
a
< br>0
)
，对称轴是
x
m
,
顶点是
m
,
k
；
2
③ 交点式：
y
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
a
0
)
，其中（
x
1
,0
），（
x
2
,0
）是抛物线与
x
轴的交点
（
5
）二次函数的性质
2
①函数
y< br>
ax
bx
c
(
a
0)
的图象关于直线
x
②
a
0时，在对称轴
（
x
b
对称。
2
a
b
b
）左侧，
y
值随
x
值的 增大而减少；在对称轴（
x
）右侧；
y
的
2< br>a
2
a
4
ac
b
2
b
值 随
x
值的增大而增大。当
x
时，
y
取 得最小值
4
a
2
a
③
a
0< br>时，在对称轴
（
x
b
b
）左 侧，
y
值随
x
值的增大而增大；在对称轴（
x
）右侧；
y
的
2
a
2
a
4ac
b
2
b
值随
x
值的增大而减少。当x
时，
y
取得最大值
4
a
2
a
9
图形的对称
（
1
）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（
2
）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转
180
度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心 。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对
称中心平分。
10
平面直角坐标系
（
1
）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数 轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做
x
轴或横轴，铅直
的数轴叫做
y轴或纵轴，
x
轴与
y
轴统称坐标轴，他们的公共原点
O
称为直角坐标系的原点。
（
2
）平面直角坐标系内的对称点：设
M
(
x
1
,
y
1
)
，
M
(
x
2
,
y
2
)
是直角坐标系内的两点，
x
1
x
2
①若
M
和
M
'
关于
y
轴对称，则有
。
y
y
1
2
②若
M
和M
'
关于
x
轴对称，则有
x
1< br>
x
2
。
y
1
< br>y
2
x
1
x
2
③若
M
和
M
'
关于原点对称，则有
。
y
y
1
2
④若
M
和< br>M
'
关于直线
y
x
对称，则有
x
1
y
2
。
y
1
x
2
⑤若
M
和
M
'
关于直线
x
a
对称，则有
11
统计与概率：
x
1
2
a
x
2
x
2
2
a
x
1
或
。
y
y
y
y
1
2
1
2
（
1
）科学记数法：
一个大于< br>10
的数可以表示成
A
10
的形式，其中
A
大于等于
1
小于
10
，
N
是正整数。
（
2
）扇形统计图：
①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇 形的大小反映部分占总
体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总 体的百分比等于该部分所
对应的扇形圆心角的度数与
360
度的比。
（
3
）各类统计图的优劣：
①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折 线统计图：能清楚反映事
物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
（
5
）平均数：
对于
N
个数
x
1
,
x
2
,
为
x
。
（
6
）加权平均数：
一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时 往往给每个
数据加一个权，这就是加权平均数。
N
,
x
N
，我们把
1
(
x
1
x
2
N
x
N
)
叫做这个
N
个数的算术平均数，记
（
7
）
中位数与众数：
①
N
个数据按大 小顺序排列，
处于最中间位置的一个数据
（或最中间两个数据的平均数）
叫做这组数据 的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均
数：所有数 据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中
位数：计 算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相
等时， 众数往往没有特别的意义。
（
8
）
调查：
①为了一定的目 的而对考察对象进行的全面调查，
称为普查，
其中所要考察对象的全体称为总体，
而组 成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中
从 总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点
是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为
准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。
（
9
）频数与频 率：
①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集
的 数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。
（
10
）数据的波动：
①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之 差的平
方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差 越小，这
组数据就越稳定。
（
11
）事件的可能性：
①有 些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定
他一定不会发生，这些事 情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯
定他会不会发生，这些 事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。
（
12< br>）概率
：①人们通常用
1
（或
100%
）来表示必然事件发生 的可能性，用
0
来表示不可能事件发生的可能
性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可 能性相同。③必然事件发生的概率为
1
，记作
P
（必然事件）
1
；
不可能事件发生的概率为
0
，记作
P
（不可能事件 ）
0
；如果
A
为不确定事件，那么
0
P
(
A
)
1
第四部分
分章节突破
1.1
数与式的运算
1.1.1
绝对值
1.1.2
乘法公式
1.1.3
二次根式
1.1.
４
分式
1
．
2
分解因式
2.1
一元二次方程
2.1.1
根的判别式
2.1.2
根与系数的关系（韦达定理）
2
．
2
二次函数
2.2.1
二次函数
y
＝
ax2
＋
bx
＋
c
的图像和性质
2.2.2
二次函数的三种表示方式
2.2.3
二次函数的简单应用
2.3
方程与不等式
2.3.1
二元二次方程组解法
2.3.2
一元二次不等式解法
3
．
1
相似形
3.1.1
．平行线分线段成比例定理
3.1.2
相似形
3.2
三角形
3.2.1
三角形的“四心”
3.2.2
几种特殊的三角形
3
．
3
圆
3.3.1
直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2
点的轨迹
1.1
数与式的运算
1.
１
.1
．绝对值
绝对值的代数意义
：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝 对值
仍是零．即
a
,
a
0,
|
a
|
0,
a
0,< br>
a
,
a
0.
绝 对值的几何意义
：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义
：
a
b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例
1
解不等式：
x
1
x
3
＞
4
．
解法一
：
由
x
1
0
，得
x
1
；由
x
3
< br>0
，得
x
3
；
①若
x
1
，不等式可变为
(
x
1)
(
x
3)
4
，
即
< br>2
x
4
＞
4
，解得
x
＜
0
，
又
x
＜
1
，
∴
x
＜
0
；
②若
1
x
2
，不等式可变为
(
x
1)
(
x
3)
4
，
即
1
＞
4
，
∴不存在满足条件的
x
；
③若
x
3< br>，不等式可变为
(
x
1)
(
x
3)
4
，
即
2
x
4
＞
4
，
解得
x
＞
4
．
又
x
≥3
，∴
x
＞
4
．
综上所述，原不等式的解为
x
＜
0
，或
x
＞
4
．
解法二：
如图
1
．
1
－
1
，
x
1
表示
x
轴上坐标为
x
的点
P
到坐标为< br>1
的点
A
之间的距离
|
P
A
|
，< br>即
|
P
A
|
＝
|
x
－
1|
；
|
x
－
3|
表示
x
轴上点
P< br>到坐标为
2
的点
B
之间的距离
|
PB
|，即
|
PB
|
＝
|
x
－
3|
．
义即为
所以，
不等式
x
1
x
3
＞
4
的几何意
|
P
A
|
＋
|
PB
|
＞
4
．
由
|
AB
|
＝
2
，可知
点
P
在点
C
(
坐标为
0)
的左侧、或点
P
为
4)
的右侧．
x
＜
0
，或
x
＞
4
．
练
习
1
．填空：
|
x
－
3|
A
1
P
x
C
0
|
x
－
1|
图
1
．
1
－
1
B
D
3
4
x
在点
D
(
坐标
（
1
）若
x
5
，则
x
=_________
；若
x
4
，则
x
=_________.
（2
）如果
a
b
5
，且
a
1
，则
b
＝
________
；若
1
c
2
，则
c
＝
________.
2
．选择题：
下列叙述正确的是
（
）
（
A
）若
a
b
，则
a
b
（
B
）若
a
b
，则
a
b
（
C
）若
a
b
，则
a
b
（
D
） 若
a
b
，则
a
b
3
．化简：
|
x
－
5|
－
|2
x
－
13|
（
x
＞
5
）
．
1.1.2.
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（
1
）平方差公式
(
a
b
)(
a
b
)
a
2
b
2
；
2
2
a
2
2
a
b
．
b
（
2
）完全平方公式
(
a
b
)
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
2
3< br>
a
b
2
b
)
3
a< br>
；
b
（
1
）立方和公式
(
a
b
)
(
a
2
3
a
b
2
b
)
3
a
；
b
（
2
）立方差公式
(
a
b
)
(
a
2
2
2
)
a
b
2
c
2
(
a
b
b
c
；
)
a
（
3
）三数和平方公式
(
a
b
c
c
3
3
2
3
a
3
a
b
3
a
2
b
；
b
（
4
）两数和立方公式
(
a
b
)
3
3
a
3
a
2
b
3
a
2
b
．
b
（
5
）两数差立方公式
(
a
b
)
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例
1
计算：
(
x
1)(
x
1)(
x
2
x
1)(
x
2
x
1)
．
2
2
2
解法一：
原式
=
(
x
2
1)
(
x< br>
1)
x
=
(
x
2
1)(
x
4
x
2
1)
=
x
6
1
．
解法二：
原式< br>=
(
x
1)(
x
2
x
1)(
x
1)(
x
2
x
1)
=
(
x
3
1 )(
x
3
1)
=
x
6
1
．
例
2
已知
a
b
c
4
，
ab
bc
ac
4
，求
a
2
b
2
c
2
的值．
解：
a
2
b
2
c
2
(
a
b
c
)
2
2(
ab
bc
ac
)
8
．
练
习
1
．填空：
1
2
1
2
1
1
；
a
b
(
b
a
)
（
）
9
4
2
3
2
2
（
2
）
(4
m
)
16
m
4
m
(
)
；
2
2
2
2
（
3
）
(
a
2
b
c
)
a
4
b
c
(
)
．
（
1
）
2
．选择题：
1
mx
k
是一个完全平方式，则
k
等于
（
）
2
1
2
1
2
1
2
2
（
A
）
m
（
B
）
m
（
C
）
m
（
D
）
m
4
3
16
2
2
（
2
）不论
a
，b
为何实数，
a
b
2
a
4
b
8
的值
（
）
（
1
）若
x
2
（
A
）总是正数
（
B
）总是负数
（
C
）可以是零
（
D
）可以是正数也可以是负数
1.1.3
．二次根式
一般地，
形如
a
(
a
0)
的代数式叫做二次根式
．
根号下含有字母、
且不能够开得尽方的式
子称为
无理 式
.
例如
3
a
a
2
b
2
b
，
a
2
b
2
等是无理式，
而
2
x
2
2
x
1
，
x
2
2
xy
y2
，
2
a
2
等是有理式．
1
．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做
分母（子 ）有理化
．为了进行分母（子）有理化，需要
引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数 式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我
们就说这两个代数式互为
有理化因式
，例如
2
与
2
，
3
a
与
a
，
3
6
与
3
6
，
2
3
3
2
与
2
3
3
2
，等等．
一般地，
a
x
与
x
，
a
x
b
y
与
a
x
b
y
，
a
x
b
与
a
x
b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根 号的过程；而
分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用
公式< br>a
b
ab
(
a
0,
b
0)
；
而对于二次根式的除法，
通常先写成分式的形式，
然后通过 分母
有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并
同类二次根式．
2
．二次根式
a
2
的意义
< br>a
2
a
a
,
a< br>
0,
a
,
a
0.
例
1
将下列式子化为最简二次根式：
（
1
）
12
b
；
（
2
）
a
2
b
(
a
0 )
；
（
3
）
4
x
6
y
(
x
0)
．
解
：
（
1
）
12
b
2
3
b
；
（
2
）
a
2
b
a
b
a
b
(
a
0)
；
（
3
）
4
x
6
y
2
x
3
y
2
x
3
y
(
x
0)
．
例
2
计算：
3
(3
3)
．
3
3
3
(3
3)
＝
(3
3)(3< br>
3)
3
3
3
＝
9
3
3(
3
1)
＝
6
3
1
＝
．
2
3
3
＝
)
解法二
：
3
(
3
3
3
例
3
试比较下列各组数的大小：
解法一：
3
(
3
3
＝
)
3
3
3(
3
1)
1
＝
3
1
＝
＝
＝
3
1
(
3
1)(
3
1)
3
1
．
2
（1
）
12
11
和
11
10
；
（
2
）
解：
（
1
）∵
12
11
1
1
2
和
2
2
－
6
.
6
4
12
11
(
12
11)(
12
11)
1
，
< br>1
12
11
12
11
1
1
1
1
0
(
1
1
10
)
(
1
1
1
0
)
1
1
1
0
1
1
1
，
1
0
1
0
又
12
< br>11
11
10
，
∴
12
11
＜
11
10
．
2
2
－
6
(2
2
－
6)(2
2
+
6 )
2
,
1
2
2
+
6
2
2
+
6
又
4
＞
2
2
，
∴
6
＋
4
＞
6
＋
2
2
，
2
∴
＜
2
2
－
6
.
6
4
例
4
化简：
(
3
2)
2004
(
3
2)
2005
．
（
2
）∵
2
2
－
6
解：
(
3
2)
2004
(
3
2)
2005
＝
(
3
2)
2004
(
3
2)
2 004
(
3
2)
＝
(
3
2)
(
3
2)
＝
1
2004
(
3
2)
2004
(
3
2)
＝
3
2
．
例
5
化简：
（
1
）
9
4
5
；
（
2
）
x
2
解：
（
1
）原式
5
4
5
4
(
5)
2
2
2
5
2
2
1
1
（
2
） 原式
=
(
x
)
2
x
，
x
x
∵
0
x
1
，
1
∴
1
x
，
x
1
所以，原式＝
x
．
x
1
2(0
x
1)
．
2
x
(2
5)
2
2
5
5
2
．
3
3
3
解
：
∵
x
y
3
例
6
已知
x
2
3
2
，求
3
x
2
5
xy
3
y
2的值
．
,
y
2
3
< br>2
2
3
2
(
3
< br>2)
2
(
3
2)
2
10
，
2
3
2
3
2
3
2
1
，
3
2
3
2
∴
3
x
2
5
xy
3
y
2
3(
x
y
)
2
11
xy
3
10
2
11
289
．
xy
练
习
1
．填空：
（
1
）
1
3
＝
__
___
；
1
3
2
（
2
）若
(5
x
)(
x
3)
(
x
3)
5
x
，则
x
的取值范围是
_ _
___
；
（
3
）
4
24
6
54
3
96
2
150
__
___
；
（
4
）若
x
2
．选择题：
等 式
x
1
x
1
x
1
x
1
5
，则
____ __
__
．
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
成立的条件是
（
）
x
2
x
x
2
（
A
）
x
2
（
B
）
x
0
（
C
）
x
2
（
D
）
0
x
2
a
2
1
1
a
2
3
．若
b
，求
a
b
的值．
a
1
4
．比较大小：
2
－
3
5
－
4
（填
“
＞
”
，或
“
＜
”
）
．
1.1.
４．分式
1
．分式的意义
形如
A
A
A
的式子，若
B
中含有字母，且
B
0
，则称
为
分式< br>．当
M
≠0
时，分式
具有下列性质：
B
B
B
A
A
M
；
B
B
M
A
A
M
．
B
B
M
上述性质被称为
分式的基本性质
．
2
．繁分式
a
m
n
p像
b
，
这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做
繁分式
．
2
m
c
d
n
p
5x
4
A
B
例
1
若
，求常数
A
,
B
的值．
x
(
x
2)
x
x
2
A
B
A
(
x
2)
Bx
(
A
B
)
x
2
A
5
x
4
解
：
∵
，
x
x
2
x
(
x
2)
x< br>(
x
2)
x
(
x
2)
A
B
5,
∴
2
A
4,
解得
A
2
,
B
3
．
1
1
1
例
2
（
1
）试证：
（其中
n
是正整数）
；
< br>n
(
n
1)
n
n
1
1
1
1
（
2
）计算：
；
1
2
2
3
9
10
1
1< br>1
1
．
（
3
）证明：对任意大于
1
的正整数
n
，
有
2
3
3
4
n
(
n
1)
2
1
1
(
n
1)
n
1
（
1
）证明：
∵
，
n
n
1
n
(
n
1)
n
(
n
1)
1
1
1
∴
（其中
n
是正整数）成立．
< br>n
(
n
1)
n
n
1
（
2
）解：
由（
1
）可知
1
1
1
1
2
2
3
9
1
0
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
(
)
2
2
3
9
1
0
9
1
1
＝
．
10
10
（
3
）证明：
∵
1
1
1
2
3
3
4
n
(
n
1)
＝
(
1
1
1
1
1
1
2
3
)
(
3
4
)
(
n
n
1
)
＝
1
1
2
n
1
，
又
n
≥2
，且
n
是正整数，
∴
1
n
＋
1
一定为正数，
∴
1
1
2
3
1
3
4
1
n
(
n
1)
＜
2
．
例
3
设
e
c
a
，且
e
＞
1
，
2
c
2
－
5
ac
＋
2
a
2
＝
0，求
e
的值．
解
：
在
2
c
2
－
5
ac
＋
2
a
2
＝
0
两边同除以
a
2
，得
2
e
2
－
5
e
＋
2
＝
0
，
∴
(2
e
－
1)(
e－
2)
＝
0
，
∴
e
＝
1
2
＜
1
，舍去；或
e
＝
2
．
∴
e
＝
2
．
练
习
1
．填空题：
对任意的正整数
n
，
1
n
(
n
2)
(
1
1
n
n
2
)
；
2
．选择题：
若
2
x
< br>y
x
y
2
3
，则
x
y
＝
（
A
）１
（
B
）
5
4
（
C
）
4
6
5
（
D
）
5
3
．正数
x
,
y
满足
x
2
y
2
2
xy
，求
x
y
x
y
的值．
4
．计算
1
1
1< br>1
1
2
2
3
3< br>
4
...
99
100
．< br>
习题
1
．
1
A
组
1
．解不等式：
(1)
x
1
3
；
(2)
x
3
x
2
7
；
(3)
x
1
x
1
6
．
２．已知
x
y
1
，求
x
3
y
3
3
xy
的值．
3
．填空：
（1
）
(2
3)
18
(2
3)19
＝
________
；
（
2
）若
(1
a
)
2
(1
a
)< br>2
2
，则
a
的取值范围是
________
；
（
3
）
1
1
2
1
2
3
1
3
4
1
4
5
1
5
6
________
．
B
组
1
．填空：
）
（
3
a
ab
1
1
____
____
；
，
b
，则
2< br>2
3
a
5
ab
2
b
2
3
x
2
3
xy
y
2
2
2
（
2
）若
x
xy
2y
0
，则
__
__
；
x
2
y
2
（
1
）
a
2
．已知：
x
< br>2
y
y
1
1
的值．
,
y
，求
2
3
x
y
x
y
C
组
1
．选择题：
（
1
）若
a
b
2
ab
< br>
b
a
，则
（
）
（
A
）
a
b
（
B
）
a
b
（
C
）
a
b
0
（
D
）
b
a
0
（
2
）计算
a
1
a
等于
（
（
A
）
a
（
B
）
a
（
C
）
a
（
D
）
a
2
．解方程
2(< br>x
2
1
1
x
2
)
3(
x
x
)
1
0
．
3
．计算：
1
1
3
1
2
4
1
3
5
19
11
．
4
．试证：对任意的正整数
n< br>，有
1
1
2
3
1
2
3
4
1
1
n
(
n
1)(
n
2)
＜
4
．
1.1.1
．绝对值
1
．
（
1
）
5
；
4
（
2
）
4
；
1
或
3
2
．
D
3
．
3
x
－
18
1.1.2
．乘法公式
1
．
（
1
）1
3
a
1
2
b
（
2
）
1
2
,
1
4
（
3
）
4
ab
2
ac
4
bc
2
．
（
1
）
D
（
2
）
A
1.1.3
．二次根式
1
．
（
1
）
3
2
（
2
）
3
x
5
（
3
）
8
6
（
4
）
5
．
2
．
C
3
．
1
4
．＞
1.1.4
．分式
1
．
1
4
．
99
2
2
．
B
3
．
2
1
100
习题
1
．
1
A
组
1
．
（
1
）
x
2
或
x
4
（
2
）－
4
＜
x
＜
3
（
3
）
x
＜－
3
，或
x
＞
3
2
．
1
3
．
（
1
）
2
3
（
2
）
1
a
1
（
3
）
6
1
B
组
1
．
（
1
）
3
7
（
2
）
5
2
，或－
1
5
2
．
4
．
C
组
1
．
（
1
）
C
（
2
）
C
2
．
x
1
36
1
2
,
x
2
2
3
．
55
4
．提示：
1
1
1
1
n
(
n
1)(
n
2)
2
[
n
(
n
1)
(
n
1)(
n
2)
]
）
1
．
2
分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法 、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法
及待定系数法．
1
．十字相乘法
例
1
分解因式：
（
1
）
x
2
－
3
x
＋
2
；
（
2
）
x
2
＋
4
x
－
12
；
（
3
）
x
2
(
a
b
)
xy
aby
2
；
（
4
）
xy
1
x
y< br>．
解：
（
1
） 如图
1
．
2
－
1
，将二次项
x
2
分解成图中的两个
x
的积，再将常数项
2
分解成－
1
与－< br>2
的
乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－
3
x
，就 是
x
2
－
3
x
＋
2
中的一次项，所以，有
x
2
－
3
x
＋
2
＝
(
x
－
1)(
x
－
2)
．
1
x
x
1
－
2
－
1
－
ay
－
1
1
x
x
1
6
－
2
－
by
－
2
图
1
．
2
－
3
图
1
．
2
－
1
图
1
．
2
－
4
图
1
．
2
－
2
说明：
今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图
1
．
2
－
1
中的两个
x
用
1
来表示（如
图
1
．
2
－
2
所示）
．
（< br>2
）由图
1
．
2
－
3
，得
x
2
＋
4
x
－
12
＝
(
x－
2)(
x
＋
6)
．
（
3
）由图
1
．
2
－
4
，得
x
2
(
a
b
)
xy
aby
2
＝
(
x
ay
)(
x
by
)
（
4
）
xy
1
x
y
＝
xy＋
(
x
－
y
)
－
1
＝
(
x
－
1) (
y+
1)
（如图
1
．
2
－
5
所示）
．
2
．提取公因式法与分组分解法
例
2
分解因式：
（< br>1
）
x
3
9
3
x
2< br>
3
x
；
（
2
）
2
x
2
xy
y
2
4
x
5
y
6
．
解：
（
1
）
x
3
9
3
x
2
3
x
=
(
x
3
3
x
2
)
(3
x
9)
=
x
2
(< br>x
3)
3(
x
3)
=
(
x
3)(
x
2
3)
．
或
x
3
9
3
x
2
3
x
＝
(
x
3
3
x
2
3
x
1 )
8
＝
(
x
1)
3
8
＝
(
x
1)
3
2
3
＝
[(
x
1)
2][(
x
1)
2
(
x
1)
2
2
2
]
＝
(
x
3)(
x
2
3)
．
（
2
）
2
x
2
xy
y
2
4
x
5
y
6
=
2
x
2
(
y
4)
x
y
2
5
y
6
=
2
x
2
(
y
4)
x
(
y
2)(
y
3)
=
(2
x
y
2)(
x
y
3)
．
或
2
x
2
xy< br>
y
2
4
x
5
y
< br>6
=
(2
x
2
xy
y
2
)
(4
x
5
y
)
6
=
(2
x
y
)(
x
y
)
< br>(4
x
5
y
)
6
=
(2
x
y
2)(
x
y
3)
．< br>
3
．关于
x
的二次三项式
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠
0
)
的因式分解．
x
y
图
1
．
2
－
5
－
1
1
若关于
x
的方程
ax
bx
c
0(
a
0)
的 两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax2
bx
c
(
a
0)
就 可
分解为
a
(
x
x
1
)(
x< br>
x
2
)
.
2
例
3
把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（
1
）< br>x
2
2
x
1
；
（
2
）
x
2
4
xy
4
y
2
．
解
：
（
1
）令
x
2
2
x
1
=0
，则解得
x
1
1
2
，
x
2
1
2
，
∴
x
2
2
x
1
=
x
(
1
2)
x
(
1
2)
=
(
x
1
2)(
x
1
2)．
（
2
）令
x
2
4
xy
4
y
2
=0
，则解得
x
1
< br>(
2
2
2)
y
，
x
1
(
2
2
2)
y
，
∴
x
2
4
xy
4
y
2
=
[
x
2(1
2)
y
][
x
2(1
2)
y
]
．
练
习
1
．选择题：
多项式
2
x
xy
15
y
的一个因式为
（
）
（
A
）
2
x
5
y
（
B
）
x
3
y
（
C
）
x
3
y
（
D
）
x
5
y
2
．分解因式：
（
1
）
x
2
＋
6
x
＋
8
；
（
2
）
8
a
3
－
b
3
；
（
3
）
x
2
－
2
x
－
1
；
（
4
）
4(
x
y
1)
y
(
y
2
x
)
．
习题
1
．
2
1
．分解因式：
（
1
）
a
1
；
（
2
）
4
x
13
x
9
；
2
2
（
3
）
b
c
2
ab
2
ac
2
bc
；
（
4）
3
x
5
xy
2
y
< br>x
9
y
4
．
2
2< br>2
2
3
4
2
2
．在实数范围内因式分解：
2
（
1
）
x
5
x
3
；
（
2
）
x
2
2
x
3
；
2
（
3
）
3
x
4
xy
y
；
（
4
）
(
x
2
x
)
7(
x
2
x
)
12
．
3
．
ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a
b
c
ab
bc
ca
，试判定
ABC< br>的形状．
4
．分解因式：
x
2
＋
x
－
(
a
2
－
a
)
．
2
2
2
2
2
2
2
2
1.2
分解 因式
1
．
B
2
．
（
1
）
(
x
＋
2)(
x
＋
4)
（
2
）
(2
a
b
)(4
a
2
2
ab
b
2
)< br>
（
3
）
(
x
1
2) (
x
1
2)
（
4
）
(2
y
)(2
x
y
2 )
．
习题
1
．
2
1
．
（1
）
a
1
a
2
a
1
（
2
）
2
x
3
2
x
3< br>
x
1
x
1
（
3
）
b
c
b
c
2
a
（
4
）
3
y
y
4
x
2
y
1
5
13
5
13
2
．
（
1
）
< br>x
x
；
（
2
）
x
2
5
x
2
5
；
2
2
2
7
2
7
（
3
）
3
x
3
y
x
3
y
；
< br>（
4
）
x
3
(
x< br>
1)(
x
1
5)(
x
1
5)
．
3
．等边三角形
4
．
(
x
a
1)(
x
a
)
2.1
一元二次方程
2.1.1
根的判别式
我们知道，对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）
，用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
4
ac
)
(
x
．
①
2
a
4
a
2
因为
a
≠
0
，所以，
4
a
2
＞
0
．于 是
（
1
）当
b
2
－
4
ac＞
0
时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
（
2
）当
b
2
－
4
ac
＝
0< br>时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－
b
b
2
4
ac
x
1
，
2
＝
；
2
a
b
；
2
a
（
3
） 当
b
2
－
4
ac
＜
0
时，方程①的右端是 一个负数，而方程①的左边
(
x
b
2
)
一定大于 或等于零，因此，原方程
2
a
没有实数根．
由此可知，一元二次方 程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
（a
≠
0
）的根的情况可以由
b
2
－
4
ac
来判定，我们把
b
2
－
4
ac
叫做一元二次< br>方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）的
根的判别式
，通常用符号
“Δ”< br>来表示．
综上所述，
对于一元二次方程
ax
2
＋< br>bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）
，有
（
1
）
当
Δ
＞
0
时，方程有两个不相等的实数根
b
b
2
4
ac
x
1
，
2
＝
；
2
a
（
2
）当
Δ
＝
0
时，方程有 两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－
b
；
2
a
（
3
）当
Δ
＜
0
时，方程没有实数根 ．
例
1
判定下列关于
x
的方程的根的情况（ 其中
a
为常数）
，如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（
1
）
x
－
3
x
＋
3＝
0
；
（
2
）
x
－
ax
－
1
＝
0
；
（
3
）
x
2
－
ax
＋
(
a
－
1)
＝
0
；
（
4
）
x
2
－
2
x
＋
a
＝
0
．
解：
（
1
）∵
Δ
＝
3
2
－< br>4×
1×
3
＝－
3
＜
0
，∴方程没有实数根 ．
（
2
）该方程的根的判别式
Δ
＝
a
2
－
4×
1×
(
－
1)
＝
a
2＋
4
＞
0
，所以方程一定有两个不等的实数根
a
a
2
4
a
a
2
4
，
x
2
．
x1
2
2
（
3
）由于该方程的根的判别式为
Δ
＝
a
2
－
4×
1×
(
a
－
1)
＝
a
2
－
4
a
＋
4＝
(
a
－
2)
2
，
所以，
①当
a
＝
2
时，
Δ
＝
0
，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝
1
；
②当
a
≠2
时，
Δ
＞
0
，
所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝
1
，
x
2
＝
a
－
1
．
（
3
）由于该方程的根的判别式为
Δ
＝
2
－
4×
1×
a
＝
4
－
4
a
＝< br>4(1
－
a
)
，
所以
①当
Δ
＞
0
，即
4(1
－
a
)
＞
0
，即
a
＜
1
时，方程有两个不相等的实数根< br>
x
1
1
1
a
，
x
2
1
1
a
；
②当
Δ
＝
0
，即
a
＝
1
时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝
1
；
③当
Δ
＜
0
，即
a
＞
1
时，方程没有实数根．
说明：
在第
3
，
4
小题 中，方程的根的判别式的符号随着
a
的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对
a
的取值情况进行讨论，这一方法叫做
分类讨论
．分类讨论这一思想方法是高中数学 中一个非常重要的方法，在今后的
解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2
2.1.2
根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程
ax< br>2
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）有两个实数根
b
b
2
4
ac
b
b
2
4
ac
x
1
，
x
2
，
2
a
2
a
则有
b
b
2
4
ac
b
b
2
4
ac
2
b
b
；
x
1
x
2
2
a
2
a
2
a
a2
b
b
2
4
ac
< br>b
b
2
4
ac
b
2
(
b
4
ac
)
4
ac
c
2
．
x
1
x
2
2
2
a
2
a
4
a
4
a
a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）的两根分别是
x
1
，
x
2
，那么
x
1
＋
x
2
＝
特别地，对于二次 项系数为
1
的一元二次方程
x
2
＋
px
＋
q
＝
0
，若
x
1
，
x
2
是其两根 ，由韦达定理可知
x1
＋
x
2
＝－
p
，
x
1
·< br>x
2
＝
q
，
即
p
＝－
(
x
1
＋
x
2
)
，
q
＝
x
1
·
x
2
，
2
所以，
方程
x
＋< br>px
＋
q
＝
0
可化为
x
2
－
(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝
0
，
由于
x1
，
x
2
是一元二次方程
x
2
＋
px
＋
q
＝
0
的两根，
所以，
2
x
1
，
x
2
也是一元二次方程
x
－
(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝
0
．因此有
以两个数
x1
，
x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为
1
）是< br>
x
2
－
(
x
1
＋
x
2< br>)
x
＋
x
1
·
x
2
＝
0< br>．
例
2
已知方程
5
x
kx
6
0
的一个根是
2
，求它的 另一个根及
k
的值．
分析：
由于已知了方程的一个根，可以直接将 这一根代入，求出
k
的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学
习了韦达定理，又可 以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利
用两根之 积求出方程的另一个根，再由两根之和求出
k
的值．
解法一：
∵
2
是方程的一个根，
∴
5×
2
2
＋
k
×
2
－
6
＝
0
，
∴
k
＝－
7
．
所以，方程就为5
x
2
－
7
x
－
6
＝
0，解得
x
1
＝
2
，
x
2
＝－
所以，方程的另一个根为－
2
b
c
，
x
1
·
x
2
＝
．
这一关系也被称为
韦达定理
．
a
a
3
．
5
3
，
k
的值为－
7
．
5
解法二：
设方程的另一个根为
x
1
，则
2
x
1
＝－
6
3
，∴
x
1
＝－
．
5
5
3
k
）＋
2
＝－
，得
k
＝－
7
．
5
5
3
所以，方程 的另一个根为－
，
k
的值为－
7
．
5
由
（－
例
3
已知关于
x
的方程
x
2
＋
2(
m
－
2)
x
＋
m
2
＋
4
＝
0
有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大
21
，求
m
的值．
分析：
本题可以利 用韦达定理，
由实数根的平方和比两个根的积大
21
得到关于
m
的方 程，
从而解得
m
的值．
但
在解题中需要特别注意的是，由于所给的方 程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：
设
x
1，
x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋
x
2
＝－
2(
m
－
2)
，
x
1
·
x
2
＝m
2
＋
4
．
∵
x
1
2
＋
x
2
2
－
x
1
·
x
2
＝
21
，
2
∴
(
x
1
＋
x
2
)
－
3
x
1
·
x
2
＝
21
，
2
即
[
－
2(
m
－
2)]
－
3(
m
2
＋
4)
＝
21
，
化简，得
m
2
－
16
m
－
17
＝
0
，
解得
m
＝－
1
，或
m
＝
17
．
当
m
＝－
1
时，方程为
x
2
＋
6x
＋
5
＝
0
，
Δ
＞
0
，满足 题意；
当
m
＝
17
时，方程为
x
2＋
30
x
＋
293
＝
0
，
Δ
＝
30
2
－
4×
1×
293
＜
0
，不合题意，舍去．
综上，
m
＝
17
．
说明：
（
1
）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的< br>m
的范围，然后再由
“
两个实数根
的平方和比两个根的积大
2 1”
求出
m
的值，取满足条件的
m
的值即可．
（
1
）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式
Δ是否大于或大于零．因为，韦
达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例
4
已知两个数的和为
4
，积为－
12
，求这两个数．
分析：
我们可以设出这两个数分别为
x
，
y
，利用二元方程求解出 这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次
方程来求解．
解法一：
设这两个数分别是
x
，
y
，
则
x
＋
y
＝
4
，
①
xy
＝－
12
．
②
由①，得
y
＝
4
－
x
，
代入②，得
x
(4
－
x
)
＝－
12
，
即
x
2
－
4
x
－
12
＝
0
，
∴
x
1
＝－
2
，
x
2
＝
6
．
x
1
2,
x
2
6,
∴
或
y
6,
y
2.
1
2
因此，这两个数是－
2
和
6
．
解法二：
由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－
4
x
－
12
＝
0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－
2
，
x
2
＝
6
．
所以，这两个数是－
2
和
6
．
说明：
从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例
5
若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
2
x
2
＋
5
x
－< br>3
＝
0
的两根．
（
1
）求
|
x
1
－
x
2
|
的值；
（
2
）求
1
1
的值；
x
1
2
x
2
2
（
3
）
x
1
3
＋
x
2
3
．
解 ：
∵
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
2< br>x
2
＋
5
x
－
3
＝
0
的两 根，
∴
x
1
x
2
5
3
，
x
1
x
2
．
2
2
3
2
5
2
2
25
49
7
＝
＋
6
＝
，
∴
|
x
1
－
x
2
|
＝
．
4
2
4
（
1
）∵
|
x
1
－
x
2
|
2
＝
x
1
2
+
x
2
2
－
2
x
1
x
2
＝< br>(
x
1
＋
x
2
)
2
－
4< br> x
1
x
2
＝
(
)
4
(
)
（
2
）
x
x
2
1
1
x
1
2
x
2
2
x
x
2
2
2
1
2
1
2
（
3
）
x
1
3
＋
x
2
3
＝
(
x
1
＋
x
2
)(
x
1
2
－
x
1
x
2
＋
x
2
2
)
＝
(
x
1
＋
x
2
)[ (
x
1
＋
x
2
)
2
－
3
x
1
x
2
]
5
3
25
(
)
2
2
(
)
3
(
x
1
x
2
)
2
x
1
x
2
37
2
2
4< br>．
3
2
9
(< br>x
1
x
2
)
2
9
(
)< br>2
4
2
＝
(
－
5
5
3
215
)×
[(
－
)< br>2
－
3×
(
)]
＝－
．
2
2
2
8
说明：
一元二次方程的
两根之 差的绝对值
是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简
便，我们可以 探讨出其一般规律：
设
x
1
和
x
2
分别 是一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0< br>（
a
≠
0
）
，则
b
b
2
4
ac
b
b
2
4
ac
，
x
2
，
x
1
2
a
2
a
b
b
2
4
ac
b
b
2
4
ac
2
b
2
4
ac
∴
|
x
1
－
x
2
|
＝
2
a
2
a
2
a
b
2
4
ac
．
|
a
|
|
a
|
于是有下面的结论：
若
x
1
和
x
2分别是一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0
（
a
≠
0
）
，则
|
x
1
－
x
2
|
＝
（其中
Δ
＝
b
2
－
4
ac
）
．
|
a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例
6
若关于
x
的一元二次方程
x
2< br>－
x
＋
a
－
4
＝
0
的一根大于零、 另一根小于零，求实数
a
的取值范围．
解：
设
x
1
，
x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝
a
－
4
＜
0
，
①
且
Δ
＝
(
－
1)
2
－
4(
a
－
4)
＞
0．
②
由①得
a
＜
4
，
17
由②得
a
＜
．
4
∴
a
的取值范围是
a
＜
4
．
练
习
1
．选择题：
2
2
（
1
）方程
x
2
3
kx
3
k
0
的根的情况是
（
）
（
A
）有一个实数根
（
B
）有两个不相等的实数根
（
C
）有两个相等的实数根
（
D
）没有实数根
（
2
）
若
关
于
x
的
方
程
mx
2
＋
(2
m
＋
1)
x＋
m
＝
0
有
两
个
不
相
等的
实
数
根
，
则
实
数
m
的取
值
范
围
是
（
）
（
A
）
m
＜
1
1
（
B
）
m
＞－
4
4
1
1
（
C
）
m
＜
，且
m
≠0
（
D
）
m
＞－
，且
m
≠0
4
4
2
．填空
:
（
1
）若方程
x
2
－
3
x
－
1
＝
0
的两根分别 是
x
1
和
x
2
，则
1
1
＝
．
x
1
x
2
（
2
）方程
mx
2
＋
x
－
2
m
＝
0
（m
≠0
）的根的情况是
．
（
3
）以－
3
和
1
为根的一元二次方程是
．
3
．已知
a
2
8
a
16
|
b
1|
0
，当
k
取何值时，方 程
kx
2
＋
ax
＋
b
＝
0
有两个 不相等的实数根？
4
．已知方程
x
2
－
3
x
－
1
＝
0
的两根为
x
1
和
x
2
，求
(
x
1
－
3)(
x
2
－
3)
的值．
习题
2.1
A
组
1
．选择题
:
（
1
）已知关于
x
的方程
x
2
＋
kx
－
2
＝
0
的一个根是
1
，则它的另一个根是（
）
（
A
）－
3
（
B
）
3
（
C
）－
2
（
D
）
2
（
2
）下列四个说法：
①方程< br>x
2
＋
2
x
－
7
＝
0
的两 根之和为－
2
，两根之积为－
7
；
②方程
x2
－
2
x
＋
7
＝
0
的两根之和为－< br>2
，两根之积为
7
；
③方程
3
x
2
－
7
＝
0
的两根之和为
0
，两根之积为
④方程
3
x
2
＋
2
x
＝
0
的两根之和为－
2
，两根之积为
0
．
其中正确说法的个数是
（
）
（
A
）
1
个
（
B
）
2
个
（
C
）
3
个
（
D
）
4
个
（
3
）关于
x
的一元二次方程
ax
2
－
5
x
＋
a< br>2
＋
a
＝
0
的一个根是
0
，则
a< br>的值是（
）
（
A
）
0
（
B
）
1
（
C
）－
1
（
D
）
0
，或－
1
2
．填空
:
（
1
）方程
kx
2
＋
4
x
－
1
＝
0
的两根之和为－
2
，则
k
＝
．
（
2
）方程
2
x
2
－
x
－
4
＝
0
的两根为
α
，
β
，则
α
2
＋
β
2
＝
．
（
3
）已知关于
x
的方程
x
2
－
ax
－
3
a
＝
0
的一个根是－
2
，则它的另一个根是
．
（
4
）方程
2
x
2
＋
2
x
－
1
＝
0
的两根为
x
1
和
x
2
，则
|
x
1
－
x
2
|
＝
．
3
．试判定当
m< br>取何值时，关于
x
的一元二次方程
m
2
x
2
－
(2
m
＋
1)
x
＋
1
＝0
有两个不相等的实数根？有两个相等的实数
根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程
x
2
－
7
x－
1
＝
0
各根的相反数．
B
组
1
．选择题
:
若
关
于< br>x
的
方
程
x
2
＋
(
k
2< br>－
1)
x
＋
k
＋
1
＝
0
的
两
根
互
为
相
反
数
，
则
k
的
值
为
（
）
（
A
）
1
，或－
1
（
B
）
1
（
C
）－
1
（
D
）
0
2
．填空
:
（
1
）若
m
，
n< br>是方程
x
2
＋
2005
x
－
1
＝< br>0
的两个实数根，则
m
2
n
＋
mn
2
－
mn
的值等于
．
（
2
）如果
a
，
b
是方程
x
2
＋
x
－
1< br>＝
0
的两个实数根，那么代数式
a
3
＋
a
2
b
＋
ab
2
＋
b
3
的值是
．
3
．已知关于
x
的方程
x
2
－
kx
－
2
＝
0
．
（
1
）求证：方程有两个不相等的实数根；
（
2
）设方程的两根为
x
1
和
x
2
，如果
2(
x
1
＋
x
2
)
＞
x
1
x
2
，求实数
k
的取值范围．
4
．一元二次方程
a x
2
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠0
）的两根为
x
1
和
x
2
．求：
（
1
）
|
x
1
－
x
2
|
和
7
；
3
（
2
）
x
1
3
＋
x
2
3
．
5
．关于
x
的方程
x
2
＋
4
x
＋
m
＝
0
的两根为
x
1，
x
2
满足
|
x
1
－
x
2
|
＝
2
，求实数
m
的值．
C
组
1
．选择题：
（
1
）已知一个直角 三角形的两条直角边长恰好是方程
2
x
2
－
8
x
＋
7
＝
0
的两根，则这个直角三角形的斜边长等于
（
）
（
A
）
3
（
B
）
3
（
C
）
6
（
D
）
9
（
2
）若
x
1
，
x
2
是方程
2
x
2
－
4
x< br>＋
1
＝
0
的两个根，则
x
1
x< br>2
；
2
x
1
x
2
的值为
（
）
x
2
x
1
3
（
A
）
6
（
B
）
4
（
C
）
3
（
D
）
2
（
3
）
如
果
关
于
x
的
方
程
x
－
2(1
－
m
)
x
＋
m
＝
0
有
两
实
数
根
α
，
β
，
则
α
＋
β
的
取
值
范
围
为
（
）
（
A
）
α
＋
β≥
2
2
1
1
（
B
）
α
＋
β≤
（
C
）
α
＋
β≥1
（
D
）
α
＋
β≤1
2
2
（
4
）
已
知
a
，
b，
c
是
Δ
ABC
的
三
边
长
，
那
么
方
程
cx
2
＋
(
a
＋
b
)
x
＋
（
）
（
A
）没有实数根
（
B
）有两个不相等的实数根
（
C
）有两个相等的实数根
（
D
）有两个异号实数根
2
．填空：
若方程
x
2
－
8
x
＋
m
＝
0的两根为
x
1
，
x
2
，且
3
x
1
＋
2
x
2
＝
18
，则
m
＝< br>
．
3
．
已知
x
1
，
x
2
是关于
x
的一元二次方程4
kx
2
－
4
kx
＋
k
＋
1
＝
0
的两个实数根．
（
1
）是否存在实数
k
，使
(2
x
1
－
x
2
)(
x
1
－
2
x
2
)
＝－
（
2）求使
c
＝
0
的
根
的
情
况
是
4
3
成立？若存在，求出
k
的值；若不存在，说明理由；
2
x
1
x
2
－
2
的值为整数的 实数
k
的整数值；
x
2
x
1
x
（
3
）若
k
＝－
2
，
1，试求
的值．
x
2
m
2
0
．
4
． 已知关于
x
的方程
x
(
m
2)
x
4
2
（
1
）求证：无论
m
取什么实 数时，这个方程总有两个相异实数根；
（
2
）若这个方程的两个实数根x
1
，
x
2
满足
|
x
2
|< br>＝
|
x
1
|
＋
2
，求
m
的 值及相应的
x
1
，
x
2
．
5
． 若关于
x
的方程
x
2
＋
x
＋
a
＝
0
的一个大于
1
、零一根小于
1
，求实数
a
的取值范围．
2.1
一元二次方程
练习
1
．
（
1
）
C
（
2
）
D
2
．
（
1
）－
3
（
2
）有两个不相等的实数根
（
3
）
x
2
＋
2
x
－
3
＝
0
3
．
k
＜
4
，且
k
≠
0
4
．－
1
提示：
(
x
1
－
3)(
x
2
－
3)
＝
x
1
x
2
－3(
x
1
＋
x
2
)
＋
9
习题
2
．
1
A
组
1
．
（
1
）
C
（
2
）
B
提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根 的判别式
Δ
＜
0
，所以方程没有实
2
数根；对于④，其两根 之和应为－
．
3
（
3
）
C
提示：当
a
＝
0
时，方程不是一元二次方程，不合题意．
17
2
．
（
1
）
2
（
2
）
（
3
）
6
（
3
）
3
4
1
1
3
． 当
m
＞－
，且
m
≠
0
时，方程有两个不相等的实数 根；当
m
＝－
时，方程有两个相等的实数根；
4
4
1
当
m
＜－
时，方程没有实数根．
4
4
．设已知 方程的两根分别是
x
1
和
x
2
，则所求的方程的两根分别是 －
x
1
和－
x
2
，∵
x
1
＋x
2
＝
7
，
x
1
x
2
＝－< br>1
，∴
(
－
x
1
)
＋
(
－
x
2
)
＝－
7
，
(
－
x
1
)×
(
－
x
2
)
＝
x
1
x
2
＝－
1
，∴所求的方程为
y
2
＋
7
y
－
1
＝
0
．
B
组
1
．
C
提示：由于
k
=1
时，方程为
x
2
＋
2
＝
0
， 没有实数根，所以
k
＝－
1
．
2
．
（
1
）
2006
提示：∵
m
＋
n
＝－
2005
，
mn
＝－
1，∴
m
2
n
＋
mn
2
－
mn
＝
mn
(
m
＋
n
－
1)
＝－
1×
(
－
2005
－
1)
＝
2006
．
（
2
）－
3
提示 ；∵
a
＋
b
＝－
1
，
ab
＝－
1
，∴
a
＋
a
2
b
＋
ab
2
＋
b
3
＝
a
2
(
a
＋
b
)
＋
b
2
(
a
＋
b
)
＝
(
a
＋
b
)(
a
2
＋
b
2< br>)
＝
(
a
＋
b
)[(
a
＋
b
)
2
－
2
ab
]
＝(
－
1)×
[(
－
1)
2
－
2×(
－
1)]
＝－
3
．
2
2
3
．
（
1
）∵
Δ
＝
(
－
k
)
－
4×
1×
(
－
2)
＝
k
＋
8
＞
0
，∴方程一定有两个不相等的实数根．
（
2
）∵
x
1
＋
x
2
＝
k
，
x
1
x
2
＝－
2
，∴
2k
＞－
2
，即
k
＞－
1
．
3
abc
b
3
x
1
x
2b
b
2
4
ac
3
3
4
．< br>（
1
）
|
x
1
－
x
2
|
＝
，
＝
；
（
2
）
x
1
＋
x
2
＝
．
3
a
2
2
a
|
a
|
5
．∵
|
x
1
－
x
2
|
＝
16
4
m
2
4
m
2
，∴
m
＝
3< br>．把
m
＝
3
代入方程，
Δ
＞
0
，满 足题意，∴
m
＝
3
．
3
C
组
1
．
（
1
）
B
（
2
）
A
1
，∴
α
＋
β
＝
2(1
－
m
)≥1
．
2
（
4
）
B
提示：∵
a< br>，
b
，
c
是
Δ
ABC
的三边长，∴
a
＋
b
＞
c
，∴
Δ
＝
(
a
＋
b
)
2
－
c
2
＞
0
．
2
．
（
1
）
12
提示 ：∵
x
1
＋
x
2
＝
8
，∴
3x
1
＋
2
x
2
＝
2(
x
1< br>＋
x
2
)
＋
x
1
＝
2×
8
＋
x
1
＝
18
，∴
x
1
＝
2
，∴
x
2
＝
6
，∴
m
＝
x< br>1
x
2
＝
12
．
3
3
．
（
1
）假设存在实数
k
，使
(2
x
1－
x
2
)(
x
1
－
2
x
2
)
＝－
成立．
2
（
3
）
C
提示：由
Δ≥0
，得
m
≤
∵一元二次方程
4
kx
2
－
4
kx
＋
k
＋
1
＝
0
有两个实数根，
∴
k
≠
0
，且
Δ
＝
16
k
2－
16
k
(
k
+1)=
－
16
k≥0
，∴
k
＜
0
．
∵
x
1
＋
x
2
＝
1
，
x
1
x
2
＝
∴
(2
x
1
－
x
2
)(
x
1
－
2
x
2
)
＝
2
x
1
2
－
5
1
x
2
＋
2
x
2
2
＝
2(
x
1
＋
x
2
)
2
－
9
x
1
x
2
＝
2
－
k
1
，
4
k
3
9(
k
1)
＝－
，
2
4
k
9
3
9(
k
1)
7
即
＝
，解得
k
＝
，与
k
＜
0
相矛盾，所以，不存在实数
k
，使(2
x
1
－
x
2
)(
x
1
－
2
x
2
)
＝－
成立．
2
5
2
4
k
x
1
x
2
x
1
2
x
2
2
(
x
1
x
2
)
2
2
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
2
－
2
＝
（
2
）∵
2
2
4
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
4
k
4
k
4(
k
1)4
＝
，
4
k
1
k
1
k
1
x
x
∴要使
1
2
－
2
的值为整数，只须
k
＋
1
能整除
4< br>．而
k
为整数，
x
2
x
1
∴k
＋
1
只能取
±
1
，
±
2
，
±
4
．又∵
k
＜
0
，∴
k
＋1
＜
1
，
∴
k
＋
1
只能取 －
1
，－
2
，－
4
，∴
k
＝－
2
，－
3
，－
5
．
x
1
x
2
－
2
的值为整数的实数
k
的整数值为－
2< br>，－
3
和－
5
．
x
2
x
1
1
（
3
）当
k
＝－
2
时，
x< br>1
＋
x
2
＝
1
，①
x
1
x
2
＝
，
②
8
x
x
1
2
①
2
÷
②，得
1
2
＋
2
＝
8
，即
6
，∴
< br>
6
1
0
，
x
2
x
1
∴能使
∴
3
2
2
．
4
．
（
1
）
Δ
＝
2(
m
1)
2
0
；
2
m
2
（
2
）∵
x
1
x
2
＝－
≤0
，∴
x
1
≤0
，
x
2
≥0
，或
x
1
≥0
，
x2
≤0
．
4
①若
x
1
≤0
，
x
2
≥0，
则
x
2
＝－
x
1
＋
2
，< br>∴
x
1
＋
x
2
＝
2
，
∴< br>m
－
2
＝
2
，
∴
m
＝
4< br>．
此时，
方程为
x
2
－
2
x
－4
＝
0
，
∴
x
1
1
5
，
x
2
1
5
．
②若
x
1
≥0
，
x
2
≤0
，则－
x
2
＝
x
1
＋
2
，∴
x
1
＋
x
2
＝－
2
，∴
m
－
2
＝－
2
，
< br>∴
m
＝
0
．此时，方程为
x
2
＋
2
＝
0
，∴
x
1
＝
0
，
x
2
＝－
2
．
5
．设方程的两根为
x< br>1
，
x
2
，则
x
1
＋
x
2
＝－
1
，
x
1
x
2
＝
a
，
由一根大于
1
、另一根小于
1
，得
(
x
1
－
1)(
x
2
－
1)
＜
0
，
即
x
1
x
2
－
(
x
1
＋
x
2
)+1
＜
0
，
∴
a
－
(
－
1)
＋
1
＜
0
，∴
a
＜－
2
．
此时，
Δ
＝
1
2
－
4×
(
－
2)
＞
0
，
∴实数
a
的取值范围是
a
＜－
2
．
2
．
2
二次函数
2.2.1
二次函数
y
＝
ax
2
＋< br>bx
＋
c
的图像和性质
1
2
x
，
y
＝－
2
x
2
的图象，通过这些函数图象与函数
y
＝
x
2
的图象
2
问题
1
< br>函数
y
＝
ax
2
与
y
＝
x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出
y＝
2
x
2
，
y
＝
之间的关系，推导出函数y
＝
ax
2
与
y
＝
x
2
的图 象之间所存在的关系．
先画出函数
y
＝
x
2
，< br>y
＝
2
x
2
的图象．
先列表：
x
x
2
2
x
2
…
…
…
－
3
9
18
－
2
4
8
－
1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…
从表中不难看出，要得到
2
x
2
的值，只要把相应的
x2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数
y
＝
x
2
，
y
＝
2
x
2
的图象（ 如图
2
－
1
所示）
，从图
2
2
－
1
我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数
y
＝
2
x
的图象可以由函数
y
＝
x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到 ．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数
y
＝
y
＝< br>2
x
2
y
y
＝
x
2
两个函数图象与函数
y
＝
x
2
的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数
y
＝
ax
2
(
a
≠
0)
的图象可以由
y
＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的
a
倍得
到．
在二次 函数
y
＝
ax
2
(
a
≠
0)
中，
二次项系数
a
决定了图象的开口方向和在同一个坐标
系中的开口的大小．
问题
2
函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
与
y
＝
ax
2
的图象之间存在怎样的关系？
同样地，
我们可以利用几个特 殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．
同
学们可以作出函数
y
＝< br>2(
x
＋
1)
2
＋
1
与
y
＝
2
x
2
的图象（如图
2
－
2
所示），从函数的同学
2
我们不难发现，只要把函数
y
＝
2
x
的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单
位，
就可以得到函数
y
＝
2(
x
＋
1)
2
＋
1
的图象．
这两个函数图象之间具有
“
形状相同，
位置不同
”
的特点．
类似地，还可以通过画函数
y
＝－
3
x
2
，
y
＝－
3(
x
－
1)
2
＋
1
的 图象，研究它们图
象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
(
a
≠
0)
中，
a
决定了二次函数图象的开口大小及方向；
h
决定了二次函数图象的左右平移，而且
“
h
正左移，
h
负右 移
”
；
k
决定了二次函
数图象的上下平移，而且
“
k
正上移，
k
负下移
”
．
由上面的结论，
我们可以得到研究二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
的图象的方法：
1
2
x
，
y
＝－
2
x
2
的图象，
并研究这
2
O
图
2.2-1
x
y
y
＝
2(
x
＋
1)
2
＋
1
y
＝
2(
x
＋
1)
2
y
＝
2
x
2
所以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
的图象可以看作是将函数
y
＝
ax
2
的图象作左右平移、< br>上下平移得到的，于是，二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
具有下列性质：
2
b
2
b
2
b
b
2
由于
y＝
ax
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x
＋
x
)
＋
c
＝
a
(
x
＋
x
＋
2
)
＋
c
－
4
a
4
a
a
a
b
2
b
2
4
ac
)
a
(
x
，
2
a
4
a
2
2
－
1
O
图
2.2-2
x
b
4
ac
b
2
b
,
)
，对称轴为直线
x
＝－
（
1< br>）当
a
＞
0
时，函数
y
＝
ax
＋< br>bx
＋
c
图象开口向上；顶点坐标为
(
；
2
a
4
a
2
a
当
x
＜
b
b
b
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＞
时，
y
随着
x
的增大而增大；当< br>x
＝
时，函数取最小值
y
＝
2
a
2
a
2
a
4
ac
b
2
．
4
a
b
4
ac
b
2
b,
)
，对称轴为直线
x
＝－
（
2
）
当
a
＜
0
时，函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
图象开口向下；顶点坐标为
(
；
2
a
4
a
2
a
b
b
b
当
x
＜
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＞
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＝< br>
时，函数取最大值
y
＝
2
a
2
a
2
a
4
ac
b
2
．
4
a
2
上述二次函数的性质可以分别通过图
2
．
2
－
3
和图
2
．
2
－
4
直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，
可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来 解决问题．
例
1
求二次函数
y
＝
－
3
x
2
－
6
x
＋
1
图象的开口方 向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值）
，并指出当
x
取何
值时，
y
随
x
的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：< br>∵
y
＝
－
3
x
2
－
6
x< br>＋
1
＝－
3(
x
＋
1)
2
＋
4
，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线
x
＝－
1
；
顶点坐标为
(
－
1
，
4)
；
当
x
＝－
1
时，函数
y
取最大值
y
＝
4
；
当
x
＜－
1
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＞－
1
时，
y
随着
x
的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点
A
(
－
1
，
4))
，与
x
轴交于点
B
(
2
3
3
2
3
3
,0)
和< br>C
(
,0)
，与
y
轴的交点为
D
(0
，
3
3
1)
，过这五点画出图象（如图
2
－< br>5
所示）
．
说明：
从这个例题可以看出，根据配方后得到的 性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使
画图更简便、图象更精确．
例
2
某种产品的成本是
120
元
/
件，试销阶段每件产品的售价
x
（元）与产品的日销售量
y
（件）之 间关系如下表
所示：
130
150
165
x
/
元
70
50
35
y
/
件
若日销售量
y
是销售价
x
的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此
时每天的销售利 润是多少？
分析：
由于每天的利润＝日销售量
y
×
(销售价
x
－
120)
，日销售量
y
又是销售价
x
的一次函数，所以，欲求每天所
获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价
x
之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天
利润的最大值．
解：
由于
y
是
x
的一次函数，于是，设
y
＝< br>kx
＋
（
B
）
将
x
＝
1 30
，
y
＝
70
；
x
＝
150
，
y
＝
50
代入方程，有
70
130
k
b
,
50
150
k
b
,
解得
k
＝－
1
，
b
＝
200
．
∴
y
＝－
x
＋
200
．
设每天的利润为
z
（元）
，则
z
＝
(< br>－
x
+200)(
x
－
120)
＝－
x2
＋
320
x
－
24000
＝－
(
x
－
160)
2
＋
16 00
，
∴当
x
＝
160
时，
z
取最大值
1600
．
答：
当售价为
160
元/
件时，每天的利润最大，为
1600
元．
例
3
把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移
2
个单位，再向左平移
4
个单位，得到函 数
y
＝
x
2
的图像，求
b
，
c
的 值．
b
2
b
2
2
解法一：
y
＝
x
＋
bx
＋
c
＝
(
x
+
)
c
，把它的图像向上平移
2
个单位，再向左平移4
个单位，得到
4
2
b
b
2
2
y
(
x
4)
c
< br>2
的图像，也就是函数
y
＝
x
2
的图像，所以，
2
4
b
4
0,
2
解得
b
＝－
8
，
c
＝
14．
2
b
c
2
0
,
4
解法二：
把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移
2
个单位，再向左平移
4
个单位，
得到函数
y
＝
x
2
的图像，等价
于把二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平移
2
个单位，再向右平移
4
个单位，得到函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像．
由于把二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平移
2
个单位，再向右平移
4
个单位，得到函数
y
＝
(
x
－
4)
2
＋
2
的图像，即为
y
＝
x2
－
8
x
＋
14
的图像，∴函数
y
＝
x
2
－
8
x
＋
14
与函数
y＝
x
2
＋
bx
＋
c
表示同一个函数，∴
b
＝－
8
，
c
＝
14
．
说明 ：
本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像 的
变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行 正向的思维来解决的，其运算量相对较大；
而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之 等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在
解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方 法来解决问题．
例
4
已知函数
y
＝
x
2
，－
2≤
x
≤
a
，其中
a
≥
－
2
，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对
应的 自变量
x
的值．
分析：
本例中函数自变量的范围是一个 变化的范围，需要对
a
的取值进行讨论．
解：
（
1
）当
a
＝－
2
时，函数
y
＝
x
2
的图象仅仅对应着一个点
(
－
2
，
4)
，所以 ，函数的最大值和最小值都是
4
，此时
x
＝－
2
；
（
2
）
当－
2
＜
a
＜
0
时，
由图
2
．
2
－
6
①可知，当
x
＝－
2
时，
函数取最大值
y
＝
4
；
当< br>x
＝
a
时，函数取最小值
y
＝
a
2
；
（
3
）当
0≤
a
＜
2
时，由 图
2
．
2
－
6
②可知，当
x
＝－
2
时，函数取最大值
y
＝
4
；当
x
＝
0< br>时，函数取最小值
y
＝
0
；
（
4
）当
a
≥2
时，由图
2
．
2
－
6
③可知，当
x
＝
a
时，函数取最大值
y
＝
a
2
；当
x
＝
0
时，函数取最小值
y
＝
0
．
y
y
y
y
2
4
a
4
4
2
a
a
2
x
O
a
2
x
O
O
a
x
－
2
－
2
－
2
a
③
②
①
图
2.2
－
6
说明：
在 本例中，利用了分类讨论的方法，对
a
的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函 数的自
变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函 数图象来直观地解
决问题．
练
习
1
．选择题：
（
1
）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是
（
）
（
A
）
y
＝
2
x
2
（
B
）
y
＝
2
x
2
－
4
x
＋
2
（
C
）
y
＝
2
x
2
－
1
（
D
）
y
＝
2
x
2
－
4
x
（
2
）函数
y
＝
2(
x
－1)
2
＋
2
是将函数
y
＝
2
x
2
（
）
（
A
）向左平移
1
个单位、再向上平移
2
个单位得到的
（
B
）向右平移
2
个单位、再向上平移
1
个单位得到的
（
C
）向下平 移
2
个单位、再向右平移
1
个单位得到的
（
D
）向上平移
2
个单位、再向右平移
1
个单位得到的
2
．填空题
（
1
）二次函数< br>y
＝
2
x
2
－
mx
＋
n
图 象的顶点坐标为
(1
，－
2)
，则
m
＝
，
n
＝
．
（
2
）已知二次函数
y
＝
x
2
+(
m
－
2)
x
－
2
m
，当
m
＝
时，函数图象的顶点在
y
轴上；当
m
＝
时，函数图象
的顶点在
x
轴上；当
m
＝
时，函数图象经过原点．
（
3
）函数
y
＝－
3(
x
＋
2)
2
＋
5
的图象的开口向
，对称轴为
，顶点坐标为
；当
x
＝
时，函数取最
值
y
＝
；当
x
时，
y
随着
x
的增大而减小．
3
．求下 列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及
y
随
x
的变化情况 ，并画出其图象．
（
1
）
y
＝
x
2－
2
x
－
3
；
（
2
）
y
＝
1
＋
6
x
－
x
2
．
4
．已知函数
y
＝ －
x
2
－
2
x
＋
3
，当自变量
x
在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最
大（小）值时所对应的自 变量
x
的值：
（
1
）
x
≤
－< br>2
；
（
2
）
x
≤2
；
（
3
）－
2≤
x
≤1
；
（
4
）
0≤< br>x
≤3
．
2.2.2
二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1
． 一般式：
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
；
2
．顶点式：
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
(
a
≠
0)
，其中顶点坐标是
(
－
h
，
k
)
．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示． 为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数
y
＝
ax
2
＋bx
＋
c
(
a
≠
0)
的图象与
x轴交点个数．
当抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴相 交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
．
①
并且方程①的解就是抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴交 点的横坐标（纵坐标为零）
，于是，不难发现，抛物线
y
＝
ax
2< br>＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴交点个数与方程①的解的个数有关，
而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式
Δ
＝
b
2
－
4
ac
有关，由此可知，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a< br>≠
0)
与
x
轴交点个数与根的判别式
Δ
＝
b
2
－
4
ac
存在下列关系：
（
1
）当
Δ
＞
0
时，抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴有两个交点；反过来，若抛物线
y
＝
ax
2
＋
b x
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴有两个交点，则
Δ
＞
0
也成立．
（
2
）当
Δ
＝
0
时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x< br>轴有一个交点（抛物线的顶点）
；反过来，若抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与x
轴有一个交点，则
Δ
＝
0
也成立．
（3
）当
Δ
＜
0
时，抛物线
y
＝
ax< br>2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴没有交点；反过来，若抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴没有
交点，则
Δ
＜
0
也成立．
于是，若抛物 线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(a
≠
0)
与
x
轴有两个交点
A
(
x< br>1
，
0)
，
B
(
x
2
，
0 )
，
则
x
1
，
x
2
是方程
ax< br>2
＋
bx
＋
c
＝
0
的两根，
所以< br>
b
c
，
x
1
x
2
＝
，
a
a
b
c
即
＝－
(
x
1
＋
x
2
)
，
＝
x
1
x
2
．
a
a
x
1
＋
x
2
＝
所以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
＝
a
(
x
2
=
a
[
x
2
－
(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
x
2
]
＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
)
．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线
y< br>＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
与
x
轴交于
A
(
x
1
，< br>0)
，
B
(
x
2
，
0)
两点，则其函数关系式可以表示为
y
＝
a
(
x
－
x< br>1
) (
x
－
x
2
)
(
a
≠
0)
．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3
．交点式：
y< br>＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠
0)
，其 中
x
1
，
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点 的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、 顶点式、交点式这三种表达形
式中的某一形式来解题．
例
1
已知某二次函数的最大值为
2
，图像的顶点在直线
y
＝
x
＋
1
上，并且图象经过点（
3
，－
1
）
，求二次函数的
解析式．
分析：
在解本例时 ，要充分利用题目中所给出的条件
——
最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，< br>再由函数图象过定点来求解出系数
a
．
解：
∵二次函数的最大值为
2
，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为
2
．
又顶点在直线
y
＝
x
＋
1
上，
所以，
2
＝
x
＋
1
，∴
x
＝
1< br>．
∴顶点坐标是（
1
，
2
）
．
设该二次函数的解析式为
y
a
(
x
2 )
2
1(
a
0)
，
∵二次函数的图像经过点（
3
，－
1
）
，
∴
1
a
(3
2)
2
< br>1
，解得
a
＝－
2
．
∴二次函数的解析式 为
y
2(
x
2)
2
1
，即
y
＝－
2
x
2
＋
8
x
－
7
．
说明：
在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标， 再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，
最终解决了问题．因此，在解题时，要充 分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例
2
已知二次函数的图象过点
(
－
3
，
0)
，
(1
，
0)
，且顶点到
x
轴的距离等于
2
，求此二次函 数的表达式．
分析一：
由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就 是二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，于
是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：
∵二次函数的图象过点
(
－
3
，
0)，
(1
，
0)
，
∴可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋
3) (
x
－
1) (
a
≠0)
，
展开，得
y
＝
ax
2
＋< br>2
ax
－
3
a
，
b
c
x
)
a
a
12
a
2
4
a
2
4
a
，
顶点的纵坐标为
4
a
由于二次函数图象的顶点到< br>x
轴的距离
2
，
∴
|
－
4
a
|
＝
2
，即
a
＝
1
．
2
所以，二次函数的表达式为
y
＝
1
2
3< br>1
3
x
x
，或
y
＝－
x
2
x
．
2
2
2
2
分析二：
由于二次函数的图象过点(
－
3
，
0)
，
(1
，
0)
，所以，对称轴为直线
x
＝－
1
，又由顶点到
x
轴的距离为
2
，
可知顶点的纵坐标为
2
，或－
2
，于是，又可 以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点
(
－
3
，
0)
，
或
(1
，
0)
，就可以求得函数的表达式．
解法二：
∵二次函数的图象过点
(
－
3
，< br>0)
，
(1
，
0)
，
∴对称轴为直线
x
＝－
1
．
又顶点到
x
轴的距离为
2
，
∴顶点的纵坐标为
2
，或－
2
．
于是可设二次函 数为
y
＝
a
(
x
＋
1)
2
＋2
，或
y
＝
a
(
x
＋
1)
2
－
2
，
由于函数图象过点
(1
，
0)
，
∴
0< br>＝
a
(1
＋
1)
2
＋
2
，或
0
＝
a
(1
＋
1)
2
－
2
．< br>
∴
a
＝－
1
1
，或
a
＝
．
2
2
所以，所求的二次函数为
y
＝
－
1
1
(
x
＋
1)
2
＋
2
，或
y
＝
(
x
＋
1)
2
－
2< br>．
2
2
说明：
上述两种解法分别从与
x
轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今
后的解题过程中 ，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例
3
已知二次函数的图象过点
(
－
1
，－
22)
，
( 0
，－
8)
，
(2
，
8)
，求此二次函数的表达式 ．
解：
设该二次函数为
y
＝
ax
2
＋< br>bx
＋
c
(
a
≠
0)
．
由函数图象过点
(
－
1
，－
22)
，
(0
，－
8)
，
(2
，
8)
，可得
22
a
b
c
,
8
c
,
8
4
a
2
b
c,
解得
a< br>＝－
2
，
b
＝
12
，
c
＝－
8
．
所以，所求的二次函数为
y
＝－
2
x2
＋
12
x
－
8
．
通过上面的几道 例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函
数的表达 式？
练
习
1
．选择题
:
（
1
）函数
y
＝－
x
2
＋
x
－
1
图象与
x< br>轴的交点个数是
（
）
（
A
）
0
个
（
B
）
1
个
（
C
）
2
个
（
D
）无法确定
1
（
2
）函数
y
＝－
(
x
＋
1)
2
＋
2
的顶点坐标是
（
）
2
（
A
）
(1
，
2)
（
B
）
(1
，－
2)
（
C
）
(
－
1
，
2)
（
D
）
(
－
1
，－
2)
2
．填空：
（
1
）
已
知
二次
函
数
的
图
象
经
过
与
x轴
交
于
点
(
－
1
，
0)
和< br>(2
，
0)
，
则
该
二
次
函
数
的
解
析
式
可
设
为
y
＝
a
(
a
≠0)
．
（
2
）二次函数
y
＝－
x
2
+2
3
x
＋
1
的函数图象与
x
轴两交点之 间的距离为
．
3
．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（
1
）图象经过点
(1
，－
2)
，
(0
，－
3)
，
(
－
1
，－
6)
；
（
2
）当
x
＝
3
时，函数有最小值5
，且经过点
(1
，
11)
；
（
3
）函数图象与
x
轴交于两点
(1
－
2
，
0 )
和
(1
＋
2
，
0)
，并与
y
轴 交于
(0
，－
2)
．
2.2.3
二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1
．平移变换
问题
1
在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可 以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移 时，具有这样的特点
——
只改变函数图象的位置、不改变其形状，
因此，在研究二次函 数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
例
1
求把二次函数
y
＝
x
2
－
4
x
＋
3
的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式 ：
（
1
）向右平移
2
个单位，向下平移
1
个单位；
（
2
）向上平移
3
个单 位，向左平移
2
个单位．
分析：
由于平移变换只改变函 数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数）
，所以只改变二次函数图象的
顶点位置（ 即只改变一次项和常数项）
，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的 二
次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数
y
＝
2
x
2
－
4
x
－
3
的解析式可变为
y
＝
2(
x
－
1)
2
－
1
，
其顶点坐标为
(1
，－
1)
．
（
1
）把函数
y
＝
2(
x
－
1)2
－
1
的图象向右平移
2
个单位，向下平移
1
个单位后，其函数图象的顶点坐标是
(3
，－
2)
，
所以，平移后所 得到的函数图象对应的函数表达式就为
y
＝
2(
x
－
3)
2
－
2
．
（
2
）
把函数
y
＝< br>2(
x
－
1)
2
－
1
的图象向上平移
3
个单位，
向左平移
2
个单位后，
其函数图象的顶点坐标是
(
－
1
，
2)
，
所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y
＝
2(
x
＋
1)
2
＋
2
．
2
．对称变换
问题
2
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，< br>有什么特点？依据这一特点，
可以怎样来
研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点
——
只改变函数
图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换 问题时，关键是要抓住二次函数的顶
点位置和开口方向来解决问题．
例
2
求把二次函数
y
＝
2
x
2
－
4
x
＋
1
的图象关于下列直线对称后所
y
x
＝－
1
得到图象对应的函数解析式：
（
1
）直线
x
＝－
1
；
（
2
）直线
y
＝
1
．
解：
（
1
）如图
2
．2
－
7
，把二次函数
y
＝
2
x
2－
4
x
＋
1
的图象关于
直线
x
＝－< br>1
作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
由于< br>y
＝
2
x
2
－
4
x
＋
1< br>＝
2(
x
－
1)
2
－
1
，可知，函 数
y
＝
2
x
2
－
4
x
＋
1
图
O
x
象的顶点为
A
(1,
－
1)
，所以，对称后所得到图象的顶点为
A
1
(
－
3
，
1)
，
A
(1,
－
1)
所 以，二次函数
y
＝
2
x
2
－
4
x
＋
1
的图象关于直线
x
＝－
1
对称后所得到
图象的 函数解析式为
y
＝
2(
x
＋
3)
2
－1
，即
y
＝
2
x
2
＋
12
x
＋
17
．
（
2
）如图
2
．2
－
8
，把二次函数
y
＝
2
x
2－
4
x
＋
1
的图象关于直线
x
图
2. 2
－
7
＝－
1
作对称变换后，
只改变图象的顶点位置和开 口方向，
不改变其形
状．
由于
y
＝
2
x
2
－
4
x
＋
1
＝
2(
x
－
1)
2
－
1
，可知， 函数
y
＝
2
x
2
－
4
x
＋
1
图象的顶点为
A
(1,
－
1)
，所以，对称后所得到图 象的顶点为
B
(1
，
3)
，且开口向下，所以，二次函
y
2
B
(1
，
3)
数
y
＝
2x
－
4
x
＋
1
的图象关于直线
y
＝< br>1
对称后所得到图象的函数解析式为
y
＝－
2(
x
－
1)
2
＋
3
，即
y
＝－
2
x2
＋
4
x
＋
1
．
二、分段函数
一般地，
如果自变量在不同取值范围内时，
函数由不同的解析式给出，
这
种函数，叫作
分段函数
．
例
3
在国内投递外埠平信，每封信不超过
2 0g
付邮资
80
分，超过
20g
不超
过
40g付邮资
160
分，超过
40g
不超过
60g
付邮资240
分，依此类推，每封
x
g(0
＜
x
≤100)< br>的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出
函数图象．
分析：< br>由于当自变量
x
在各个不同的范围内时，应付邮资的数
量是不同的．所以，可以 用分段函数给出其对应的函数解析式．在
解题时，需要注意的是，当
x
在各个小范围内 （如
20
＜
x
≤40
）变化
时，它所对应的函数值（邮资） 并不变化（都是
160
分）
．
解：
设每封信的 邮资为
y
（单位：分）
，则
y
是
x
的函数．这个< br>函数的解析式为
O
A
(1,
－
1)
图
2.2
－
8
y
＝
1
x
8
0
,
x
1
6
0
x
y
2
4
0
,
x
3
2
0
x
4
0
0
,
x
(
0
,
2
0
]
(
2
0
,
4
0
]
9
4
0
,
8
0
]
(
6
0
,
8
0
]
(
8
0
,
1
0
0
]
D
C
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图
2
．
2
－
9
所 示．
例
4
如图
9
－
2
所示，
在边长为
2
的正方形
ABCD
的边上有一个动点
P
，
从点
A
出发
沿折线
ABCD
移动一周后，回到
A
点．设点
A
移动的路程为
x
，
Δ
P
AC< br>的面积为
y
．
（
1
）求函数
y
的解析式；
（
2
）画出函数
y
的图像；
P
A
图
2.2
－
10
B
（
3
）求函数
y
的取值范围．
分析：
要对点
P
所在的位置进行分类讨论．
解 ：
（
1
）①当点
P
在线段
AB
上移动（如图
2
．
2
－
10
①）
，即
0
＜
x
≤2
时，
1
y
＝
AP
BC< br>＝
x
；
2
②当点
P
在线段BC
上移动（如图
2
．
2
－
10
②）
，即
2
＜
x
＜
4
时，
1
1y
＝
PC
AB
＝
(4
x
)
2
＝
4
－
x
；
2
2
③当点
P
在线段
CD
上移动（如图
2
．
2
－
10
③）
，即
4
＜x
≤6
时，
1
1
y
＝
PC
AD
＝
(
x
4)
2
＝x
－
4
；
2
2
④当点
P
在线段
DA
上移动（如图
2
．
2
－
10< br>④）
，即
6
＜
x
＜
8
时，
2.3
方程与不等式
2.3.1
二元二次方程组解法
方程
x< br>
2
xy
y
x
y
6
0
是一个含有两个未知数
,
并且含有未知数 的项的最高次数是
2
的整式方程
,
这样的方程叫做
二元二次方程．其中
2
2
x
2
,
2
xy
,
y
2
叫做这个方程的
二次项
,
x
,
y
叫做 一次项
,6
叫做
常数项．
我们看下面的两个方程组：
< br>
x
2
4
y
2
x
< br>3
y
1
0,
2
x
y
1
0;
2
2
x
y
20,
2
2
x
5
xy
6
y
0.
第一个方程组是由一 个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，
像这样的方程 组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
例
1
解方程组
x
2
< br>4
y
2
4
0,
x
2
y
2
0.
①
②
分析：
二元二次方程组对我们来
说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式 ．注意
到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一 元二次方程，从而
将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：
由②
,
得
x
＝
2
y
＋
2
，
③
把③代入①
,
整理
,
得
8
y
2
＋
8
y
＝
0
，
即
y
(
y
＋
1)
＝
0
．
解得
y
1
＝
0
，
y
2
＝－
1
．
把
y
1
＝
0
代入③
,
得
x
1
＝
2
；
把
y
2
＝－
1
代入③
,
得
x
2
＝
0
．
所以原方程组的解是
x
1
2,
y
0
，
1
x
2
0,
y
1.
2
说明
：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．
例
2
解方程组
x
y
7,
xy
12.
①
②
解法二 ：
对这个方程组，
也可以根据一元二次方程的
根与系数的关系，把
x
,
y
看作一个一元二次方程的两个
根，通过解这个一元二次方程来求
x
,
y
．
这个方程组的
x
,
y
是一元二次方程
z
7
z
12
0
的两个根，解这个方程，得
z
3
，或
z
4
．
所以原方程组的解是
2
解法一：
由①，得
x
7
y
.
③
把③代入②，整理，得
y
7
y
12
0
解这个方程，得
y
1
3,
y
2
4
．
把
y
1
3
代入③，得
x
1< br>
4
；
把
y
2
4
代入 ③，得
x
2
3
．
所以原方程的解是
2
x
1
4,
y
1
3
，
x
2
3,
y
2
4.
x
1
4,
x
2
3,
y
1
3;
y
2
4.
练
习
1
．下列各组中的值是不是方程组
x
2
y
2
13,
x
y
5
的解
?
（
1
）
x
2,
x
3,
x
1,
x
2,
（
2
）
（
3
）
（
4
）
y
3;
y
2;
y
4;
y
3;< br>
2
．解下列方程组
:
y
x
5,
x
y
3,
（
1
）
2
（
2
）
2
xy
10;
x
y
625;
x
2
y
2
2
1,
y
2
x
,
（
3
）
5
（
4
）
2
4
2
x
y
8.
y
x
3;
2.3.2
一元二次不等式解法
二次函数
y
＝
x
2
－
x
－
6
的对应值表与图象如下：
x
y
－
3
6
－
2
0
－
1
－
4
0
－
6
1
－
6
2
－
4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象< br>(
如图
2.3
－
1)
可知
当
x< br>＝－
2
，或
x
＝
3
时，
y
＝
0
，即
x
2
－
x
＝
6
＝
0；
当
x
＜－
2
，或
x
＞
3
时，
y
＞
0
，即
x
2
－
x
－
6
＞
0
；
当－
2
＜x
＜
3
时，
y
＜
0
，即
x
2
－
x
－
6
＜
0
．
这就是说，如果抛物线
y
=
x
2
－
x
－
6
与
x
轴的交点是
(
－
2
，
0)
与
(3
，
0)
，那么
一元二次方程
x
2
－
x
－
6
＝
0
的解就是
x
1
＝－
2
，
x
2< br>＝
3
；
同样，结合抛物线与
x
轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－
x
－
6
＞
0
的解是
x
＜－
2
，或
x
＞
3
；
一元二次不等式
x
2
－
x
－
6
＜
0
的解是
－
2
＜
x
＜
3
．
上例表明：由 抛物线与
x
轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解
集 ．
那么，怎样解一元二次不等式
ax
2
＋< br>bx
＋
c
＞
0(
a
≠0)
呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)
的图象来解一元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞< br>0(
a
≠0)
．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数
a
＞
0
时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋< br>c
＝
0(
a
＞
0)
，设△＝
b
2< br>－
4
ac
，它的解的情形按照△＞
0
，△
=0
，△＜
0
分别为下
列三种情况
——
有两个不相等的实数解、有两个 相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
＞
0
）
与
x
轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点
(
如图
2.3
－
2
所示
)
，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的
一元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞
0
（
a＞
0
）与
ax
2
＋
bx
＋
c
＜
0
（
a
＞
0
）的解．
< br>（
1
）当
Δ
＞
0
时，抛物线
y
＝< br>ax
＋
bx
＋
c
（
a
＞
0
）与
x
轴有两个公共点
(
x
1
，
0)
和< br>(
x
2
，
0)
，方程
ax
2
＋bx
＋
c
＝
0
有两
个不相等的实数根
x
1
和
x
2
(
x
1
＜
x
2
)
，由图
2.3
－
2
①可知
不等式
a x
2
＋
bx
＋
c
＞
0
的解为
x
＜
x
1
，或
x
＞
x
2
；
不等式ax
2
＋
bx
＋
c
＜
0
的解为
x
1
＜
x
＜
x
2
．
（
2
）当
Δ
＝
0
时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
＞
0
）与
x
轴有且仅有一个公共点，方程
a x
2
＋
bx
＋
c
＝
0
有两个相等的
2
b
实数根
x
1
＝
x
2
＝－
，由图
2.3
－
2
②可知
2
a
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞
0
的 解为
b
x
≠
－
；
2
a
2
不 等式
ax
＋
bx
＋
c
＜
0
无解．
（
3
）如果△＜
0
，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
＞
0< br>）与
x
轴没有公共点，方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
没有实数根
，
由图
2.3
－
2
③可知
不等式
ax
2
＋
bx
＋c
＞
0
的解为一切实数；
不等式
ax
2＋
bx
＋
c
＜
0
无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小< br>于零，则可以先在不等式两边同乘以－
1
，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利 用上面的结论去解不等式．
例
3
解不等式：
（
1
）< br>x
2
＋
2
x
－
3≤0
；
（
2
）
x
－
x
2
＋
6
＜
0
；
（
3
）
4
x
2
＋
4
x
＋
1≥0
；
（
4
）
x
2
－
6
x
＋
9≤0
；
（
5
）－
4
＋
x
－
x
2
＜0
．
解：
（
1< br>）∵
Δ
＞
0
，方程
x
2
＋
2
x
－
3
＝
0
的解是
x
1
＝－
3
，
x
2
＝
1
．
∴不等式的解为
－
3≤
x
≤1
．
（
2
）整理，得
x
2
－
x
－
6
＞
0
．
∵
Δ
＞
0
，方程
x
2
－
x
－
6=0
的解为
x
1
＝－
2
，
x
2
＝
3
．
∴所以，原不等式的解为
x
＜－
2
，或
x
＜
3
．
（
3
）整理，得
(2
x
＋
1)
2
≥0.
由于上式对任意实数
x
都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（
4
）整理，得
(
x
－
3)
2
≤0.
由于当
x
＝
3
时，
(
x
－
3)
2
＝
0
成立；而对任意
的实数
x
，
(
x
－
3)
2
＜
0
都不成立，
∴原不等式的解为
x
＝
3
．
（
5
）整理，得
x
2
－
x
＋
4
＞
0
．
Δ
＜
0
，所以，原不等式的解为一切实数．
例
4
已知不等式
ax
bx
c
0(
a
0)
的解是
x
2,
或
x
3
求不等式
2
bx
2
ax
c
0
的解．
2
解：
由不等式
ax
bx
c
0(
a
0)
的解为
x
2,
或
x
3
，可知
a
0
，且方程
ax
2
bx
c
0
的两根分别为
2
和
3
，
b
c
∴
5
,
6
，
a
a
b
c
即
5
,
6
．
a
a
2
由于
a
0
，所以不等式
bx
ax
c
0
可变为
b
2
c
x
x
0
，
a
a
2
即
－
5
x
x
6
0
,
整理，得
5
x
x
6
0
,
2
2
所以，不等式
bx
ax
c
0
的解是
6
x
＜－
1
，或
x
＞
．
5
说明：
本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
例
5
解关于
x
的一元二次不等式
x
ax
1
0(
a
为实数
).
分析
对于一元二次不等式
,
按其一般解题步骤
,
首先应该将二次项系数变成正数
,
本题
已满足这一要求
,
欲求一元二次不等式的解
,
要讨论根的判别式
的符号
,
而 这里的
是关于
未知系数的代数式
,
的符号取决于未知 系数的取值范围，因此
,
再根据解题的需要
,
对
的
符号进行分类讨论
.
解
:
a
4
,
2
①当
0,
即
a
2
或
a
2时,
方程
x
ax
1
0
的解是
2
2
a
a
2
4
a
a
2
4
x
1
,
x
2
.
2
2
a
a
2
4
a
a
2
4
所以
,
原不 等式的解集为
x
；
,
或
x
2
2
②当
Δ
＝
0
，即
a
＝
±
2
时，原不等式的解为
a
x
≠
－
；
2
③当
0,
即
2
a
2
时
,
原不等式的解
为一切实数
.
综上
,
当
a
≤
－
2
，或
a
≥2
时，原不等式的解是
a
a
2
4
a
a
2
4
x
；
,
或
x
2
2
当
2
a
2
时
,
原不等式的解
为一切实数．
例
6
已知函数
y
＝
x
2
－< br>2
ax
＋
1(
a
为常数
)
在－
2≤
x
≤1
上的最小值为
n
，试将
n
用
a表示
出来．
分析：
由该函数的图象可知，
该函数的 最小值与抛物线的对称轴的位置有关，
于是需要
对对称轴的位置进行分类讨论．
解：
∵
y
＝
(
x
－
a
)
2
＋
1
－
a
2
，
∴抛物线
y
＝
x< br>2
－
2
ax
＋
1
的对称轴方程是
x
＝
a
．
（
1
）若－
2≤
a
≤1
，由图
2.3-3
①可知
,当
x
＝
a
时，该函数取最小值
n
＝
1
－
a
2
；
(2)
若
a
＜
-2
时
,
由图
2.3-3
②可知
,
当
x
＝
-
2
时，该函数取最小值
n
＝
4
a
+5
；
(2)
若
a
＞
1
时
,
由图
2.3-3
③可知
,
当
x
＝
1
时，该函数取最小值
n
＝
-2
a
+2.
综上
,
函数的最小值为
2.3
方程与不等式
2.3.1
二元二次方程组解法
练
习
1.
（
1
）
（
2
）是方程的组解；
（
3
）
（
4
）不是方程组的解．
2
．
（
1
）
x
1
15,
y
1
20,
x
2
20,
x
1
5,
（
2
）
y
1 5;
2
y
1
2,
x
2
2,
y
2< br>
5;
5
x
,
x
1
2,
3
（
3
）
（
4
）
y
2,
4
1
y
.
3
x
2
2,
y
2.
2
2.3.2
一元二次不等式解法
练
习
41
．
（
1
）
x
＜－
1
，或
x
＞
；
（
2
）－
3≤
x
≤4
；
（
3
）
x
＜－
4
，或
x
＞
1
；
3
（
4
）
x
＝
4
．
2
． 不等式可以变为
(
x
＋
1
＋
a
)(
x
＋
1
－
a
)≤0
，
（
1
）当－
1
－
a
＜－
1＋
a
，即
a
＞
0
时，∴－
1
－
a
≤
x
≤
－
1
＋
a
；
（
2
）当－
1
－
a
＝－
1
＋
a
，即
a
＝
0
时， 不等式即为
(
x
＋
1)
2
≤0
，∴
x＝－
1
；
（
3
）当 －
1
－
a
＞－
1
＋
a
，即
a＜
0
时，∴－
1
＋
a
≤
x
≤
－
1
－
a
．
综上，当< br>a
＞
0
时，原不等式的解为－
1
－
a
≤x
≤
－
1
＋
a
；
当
a
＝
0
时，原不等式的解为
x
＝－
1
；
当
a
＜
0
时，原不等式的解为－
1
＋
a
≤
x< br>≤
－
1
－
a
．
习题
2
．
3
A
组
10< br>
x
,
x
1
2,
x
1
0,
2
3
1
．
（
1
）
（
2
）
y
0,
y
0,
4
1
1
y
.
2
3
x
1
3
2,
x
2
3
2,
（
3
）
y
1
3
2,
y
2
3
2;
24
x
,
2
5
12
y
< br>
.
2
5
（
4< br>）
x
3
3,
x
1
3,
x
2
3,
x
4
3,
y
1
1,
< br>y
2
1,
y
4
1.
y
3
1,
2
3
2
3
x
3
3
（
3
）
1
－
2
≤
x
≤1
＋
2
（
4
）
x
≤
－
2
，或
x
≥2
2
．
（
1
）无解
（
2
）
B
组
1
．消去
y
，得
4
x
4(
m< br>
1)
x
m
0
．
2
2
1
时，方程有一个实数解．
2
1
1
x
,
将
m
代入原方程组，得方程组的解为
4
2
y
1.
当
16(
m
1)
16
m
0
,
即
m
2
2
2
． 不等式可变形为
(
x
－
1)(
x
－
a
)< br>＜
0
．
∴当
a
＞
1
时，原不等式的解为
1
＜
x
＜
a
；