数学是发明还是发现的？
玛丽莲梦兔
634次浏览
2021年02月01日 02:43
最佳经验
本文由作者推荐
我成功了作文400字-七一讲话
数学是发明还是发现的？
本文作者马里奥·利维奥是美国空间望远镜科学 研究
所的理论天体物理学家，对于各种宇宙现象有广泛的研究，
包括暗能量、超新星爆发、太阳 系外行星以及白矮星、中子
星和黑洞等。
科学家能够推导出描述亚原子现象的公式， 工程师可以计算
出航天器的飞行轨迹，皆得益于数学的魅力。伽利略第一个
站出来力挺“数学乃 科学之语言”这一观点，而我们也接受
了他的看法，并期望用数学的语法来解释实验结果，乃至预
测新的现象。不管怎么说，数学的神通都令人瞠目。看看苏
格兰物理学家麦克斯韦（
Jame sClerkMaxwell
）那个著名的
方程组吧。麦克斯韦方程组的
4
个 方程，不仅囊括了
19
世
纪
60
年代时所有已知的电磁学知识，而且 还预测了无线电
波的存在，此后又过了差不多
20
年，德国物理学家赫兹
（< br>HeinrichHertz
）才通过实验探测到电磁波。能够将如此
海量的信息以极其 简练、精准的方式表述出来的语言，可谓
凤毛麟角。无怪乎爱因斯坦会发出这样的感叹：“数学本是人类思维的产物，与实际经验无关，缘何却能与具有物理现
实性的种种客体吻合得如此完美，令人叫 绝呢？”
1960
年，诺贝尔奖得主、物理学家尤金·魏格纳
（
E ugeneWigner
）以“有用得说不通”来阐述数学的伟大，
而作为一位活跃的理论天体 物理学家，我在工作中也感同身
第
1
页
受。无论我是想要弄清 名为
Ia
型超新星（
Iasupernovae
）
的恒星爆炸产生自 哪种前身天体系统，还是推测当太阳最终
变成红巨星时地球的命运，我使用的工具以及所建立的模型都属于数学范畴。数学对自然界的诠释是如此不可思议，令
我在整个职业生涯中为之神魂颠倒，为此 ，我从大约
10
年
前起下定决心要更加深入地探究这个问题。
这道 难题的核心，在于数学家、物理学家、哲学家及认知科
学家多少世纪以来一直争论的一个话题：数学究竟 是如爱因
斯坦所坚信的那样，是人们发明出来的一套工具，还是本来
就已经存在于抽象世界中， 不过被人发现了而已？爱因斯坦
的观点源自于所谓形式主义（
Formalism
）学 派，许多伟大
的数学家，包括大卫·希尔伯特（
DavidHilbert
）
、格奥尔
格·康托尔（
GeorgCantor
）
，以及布尔巴基学派的数学 家，
都与爱因斯坦看法一致。但其他一些杰出精英，如戈弗
雷·哈罗德·哈代（
God freyHaroldHardy
）
、罗杰·彭罗斯
（
RogerPenro se
）以及库尔特·哥德尔（
KurtG?del
）
，则持
相反观点 ，他们信奉柏拉图主义（
Platonism
）
。
这场有关数学本 性的辩论如今仍然火爆，似乎难以找到明确
的答案。我认为，如果只是单纯地纠结于数学是被发明还是< br>被发现的这个问题，或许会忽视另一个更为纠结复杂的答
案：两者都起着关键作用。我推想，将这 两方面因素结合起
来，应该能解释数学的魅力。发明与发现并非势不两立；虽
第
2
页
然消除它们之间的对立并不能完全解释数学的神奇效能，但
鉴于这个问题 实在是太深奥，即使仅仅是朝着解决问题的方
向迈出一小步，也算是有所进展了。
发明与发现并 重
数学“不合理”的神奇功效通过两种截然不同的方式体现
出来，依我看 其中一种可称为主动方式，另一种可称为被动
方式。有时，科学家会针对现实世界中的现象专门打造一些
方法来进行定量研究。例如，牛顿创立微积分学，就是为了
了解运动与变化的规律，其方法就是 把运动和变化的过程分
解为一系列逐帧演化的无穷小片断。这类主动的发明，自然
非常有效率， 因为它们都是针对需要定向打造的。不过，它
们在某些情况下所达到的精度更让人啧啧称奇。以量子电动
力学（
quantumelectrodynamics
）这个专门为描述光与物质< br>相互作用而建立起来的数学理论为例。当科学家运用此理论
来计算电子的磁矩时，理论值与最新的 实验结果
（
1.73
，
2019
年实测值）几乎完全吻合，误差仅有十亿分之几。
还有更令人惊讶的事实。有时，数学家在开创一个个完整的
研 究领域时，
根本没想过它们会起的作用。
然而过了几十年，
甚至若干世纪后，物理学家 才发现，正是这些数学分支能够
圆满诠释他们的观测结果。这类能体现数学“被动效力”的
实例 不可胜数。
比如，
法国数学家伽罗华
（évaristeGalois）
第< br> 3
页
在
19
世纪初期建立群论时，只是想要弄清高次代 数方程可
否用根式求解。广义地说，群是一类由特定范围的若干元素
（例如整数）组成的代数结 构，它们能够进行特定的代数运
算（例如加法）
，并满足若干具体的条件（其中一个条件是存在单位元，拿整数加群来说，单位元就是
0
，它与任何整
数相加，
仍然 得到这个整数本身）
。
但在
20
世纪的物理学中，
这个相当抽象的理 论竟然衍生出了最有成效的基本粒子分
类方法
（基本粒子是物质的最小结构单元）
。< br>20
世纪
60
年代，
物理学家默里·盖尔曼（
MurrayG ell-Mann
）和尤瓦尔·尼
曼（
YuvalNe'eman
）各自证明 ，一个名为
SU
（
3
）的特殊的
群反映了所谓强子这类亚原子粒子的 某项特性，而正是群与
基本粒子之间的这一联系，最终为描述原子核是如何结合的
现代理论奠定 了基础。
分形（
fractals
）是一种出于抽象研究的需要而发明出来 的
数学结构，但后来还是同现实挂上了钩。本图所示的球体堆
集模型就是运用
3D模拟软件制作出的一个分形。
对结的研究，是数学显示被动效力的又一个精彩实例。数学
上的结与日常生活中的结颇为相似，只是没有松开的端头。
19
世纪
60年代，开尔文爵士希望用有结的以太管来描述原
子。他的模型搞错了方向，跟实际情况基本挂不上钩 ，但数
学家们仍孜孜不倦地对结继续进行了数十年的分析，只不过
是把它当作一个非常深奥的纯 数学问题来研究。令人惊讶的
第
4
页
是，后来结理论竟然为我 们提供了对弦论（
stringtheory
）
和圈量子引力（
loopqu antumgravity
）的若干重要见解，它
们正是我们眼下为构建一个能够使量子力学和 广义相对论
和谐统一的时空理论的最好尝试。英国数学家哈代（
Hardy
）
在数论领域的发现与此也有异曲同工之妙。哈代为推动密码
学研究立下了汗马功劳，尽管他本人先前曾断 言，“任何人
都还没有发现数论可以为打仗这回事派上什么用场”。此
外，
1854< br>年，黎曼（
BernhardRiemann
）率先描述了非欧几
何——这种几 何具有某些奇妙特性，例如平行线可能相交。
半个多世纪后，爱因斯坦正是借助于非欧几何创立了广义相
对论。
一种模式浮现出来：人们对周围世界的各种元素——包括图
形、线条 、集合、群组等——进行抽象概括后，发明出各种
数学概念，有时出于某种具体目的，有时则纯粹为了好 玩。
他们接下来会努力寻找这些概念之间的联系。这一发明与发
现的过程是人为的，与柏拉图主 义标榜的那种发现不同，因
此，我们创立的数学归根结底取决于我们的知觉过程以及我
们能构想 出的心理场景。例如，我们人类具有所谓“感数”
（
subitizing
）的天赋， 可以一眼识别出数量，毫无疑问，
这种本能催生了数字的概念。我们非常擅长于感知各个物体
的 边缘，并且善于区分直线与曲线，以及形状不同的图形，
如圆和椭圆等。或许，正是这些本能促进了算术 与几何学的
第
5
页