拉格朗日方程
温柔似野鬼°
994次浏览
2021年02月01日 02:44
最佳经验
本文由作者推荐
历史人物图片-四年级语文教案
拉格朗日方程
约瑟夫
·
拉格朗日
(Joseph Louis Lagrange)
，法国数学家、物理学家。他在数学、
力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学 方面的成就最为突出。
拉格朗日公式（
lagrange formula
）包括拉格朗日方程、拉格朗日插值公式、拉格朗日
中值定理等。
中文名
拉格朗日公式
外文名
lagrange
formula
涉及领域
信息科学、数学
发现者
约瑟夫
·
拉格朗日
发现者职业
法国数学家，物理学家
包
括
拉格朗日方程等
.
1
拉格朗日
.
▪
生平
.
▪
科学成就
.
2
拉格朗日方程
目录
.
.
.
.
.
.
.
▪
简介
▪
应用
3
插值公式
4
中值定理
▪
定律定义
▪
验证推导
▪
定理推广
拉格朗日
约瑟夫
·
拉格朗日
(Joseph Louis Lagrange)
，法国数学家、物理学家。他在数学、
力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学 方面的成就最为突出。
生平
拉格朗日
1736
年
1
月
25
日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的
一名军官， 后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，
他也就不会作数学研究了，< br>因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对
法律毫无兴趣。
到 了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。
17
岁时，
他读了 英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉
到
“
分 析才是自己最热爱的学科
”
，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数
学分 析。
18
岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函 数
乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧
拉。不久 后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开
端并未使拉格朗日灰心，相 反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。
1755
年拉格朗日
19
岁时，在探讨数学难题
“
等周问题
”
的过程中，他以欧拉的思路
和 结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文
“
极大和极小的方法研究
”，发
展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都
灵声名大震，并使他在
19
岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认
的第一流数学家。
1756
年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。
1764
年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。
接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体
问题
(
木星的四个卫星的运动问题
)
，为此又一次于
1766
年 获奖。
1766
年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，
在
“
欧洲最大的王
”
的宫廷中应
有
“
欧洲最大的数学家
”
。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达
20
年之久，开始了 他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，
这是牛顿之后的一部重要的经典力 学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完
整和谐的力学体系，
使力学分析化了。他在序言中宣称：
力学已经成为分析的一个分支。
1783
年，拉格朗 日的故乡建立了
都灵科学院
，他被任命为名誉院长。
1786
年腓
特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。
这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，
并出任法国
米制 委员会主任。
1799
年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面
积 、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。
1791
年，拉格朗日被选 为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎
综合工科学校任数学教授。
1795< br>年建立了法国最高学术机构
——
法兰西研究院后，拉
格朗日被选为科学院数理委 员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要
著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析 函数论》和《函数计算讲义
)
，总结了那
一时期的特别是他自己的一系列研究工作。< br>
1813
年
4
月
3
日，拿破仑授予他帝国大十字勋 章，但此时的拉格朗日已卧床不起，
4
月
11
日早晨，拉格朗日逝世。
科学成就
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。
他在数学上最突出 的贡献是使数学分析
与几何与力学脱离开来，
使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其 他学科的工
具。
拉格朗日总结了
18
世纪的数学成果，
同 时又为
19
世纪的数学研究开辟了道路，
堪
称法国最杰出的数学大师。同时， 他的关于月球运动
(
三体问题
)
、行星运动、轨道计算、
两个不动中 心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起
到了历史性的作用，
促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠
基性研究。
在柏林 工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作
出了有价值的贡献，推动了代 数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：
《关
于解数值方程》和《关于方程的代数解 法的研究》
。把前人解三、四次代数方程的各
种解法，总结为一套标准方法，即把方 程化为低一次的方程
(
称辅助方程或预解式
)
以求
解。
< br>他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得
成功。然而，他 的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，
最终解决了高于四次的一般方程为 何不能用代数方法求解的问题。
因而也可以说拉格朗
日是群论的先驱。
在数 论方面，
拉格朗日也显示出非凡的才能。
他对费马提出的许多问题作出了解答。
如，一 个正整数是不多于
4
个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这
些研究 成果丰富了数论的内容。
在《解析函数论》以及他早在
1772
年的一篇论 文中，在为微积分奠定理论基础方
面作了独特的尝试，
他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人
困惑的无穷小量，
并想由此出发建立全部分析学。
但 是由于他没有考虑到无穷级数的收
敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没 有能达到他想使
微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展< br>产生了影响，成为实变函数论的起点。
拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其 名著《分析力学》中，在总结历史
上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引 入了势和等势面
的概念，
进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力 学的普
遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为
基 本概念的牛顿形式，
改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基
础，为把力 学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。
他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上 的定点转动
(
拉格朗日陀螺
)
的欧拉动
力学方程的解，
对三 体问题的求解方法有重要贡献，
解决了限制性三体运动的定型问题。
拉格朗日对流体运动的理论 也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。
拉格朗日的研究工作中，约有一半同天 体力学有关。他用自己在分析力学中的原理
和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法 中，拉格朗日发现了三体
问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星 的摄动
问题，提出了彗星起源假说等。
近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直 接或间接地溯源于拉格朗日的工作。
所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家 之一。
拉格朗日方程
简介
拉格朗日方程： 对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗
日方程
,
是法国数学 家
J.-L.
拉格朗日首先导出的。
[1]
通常可写成：
式中
T
为系统用各广义坐标
qj
和各广义速度
q'
j
所表示的动能；
Qj
为对应于
qj
的
广义力
;
N
(=3
n
-
k
)
为这完整系统的自由度；
n
为系统的质点数；
k
为完整约束方程个 数。
从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，
而动静法< br>(
达朗
贝尔原理
)
则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的 动力学方程，将这两者
结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程
,
这就是动 力学普遍方程。而拉格
朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。
拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，
也可以用来在给定系统运动
规律 的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，
可以将拉格朗日方程与
动静法或动量 定理
(
或质心运动定理
)
联用。
通常，
我们将牛 顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学
(
也称矢量力学
)
，
将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学通过位形空
间描述 力学系统的运动，
它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅
振动问题和刚体 动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。
应用
用拉格朗日方程解题的 优点是：
①
广义坐标个数通常比
x
坐标少，即
N<3n
，故 拉
氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，
问题易于求
解；
②
广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑
约束力；
③
T
和
L
都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较 易列出动力方程。
插值公式
拉格朗日插值公式（外文名
Lagrange interpolation formula
）指的是在节点上给出
节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插 值多项式。
公式
线性插值也叫两点插值，已知函数
y = f(x)
在给定互异点
x
0
, x
1
上的值为
y
0
= f(x
0
)
，
y
1
= f(x
1
)
线性插值就是构造一个一次多项式
P
1
(x) = ax + b
使它满足条件
P
1
(x
0
) = y
0
P
1
(x
1
) = y
1
其几何解释就是一条直线，通过已知点
A (x
0
, y
0
)
，
B(x
1
, y
1
)
。
线性插值计算方便、
应用很广，
但由于 它是用直线去代替曲线，
因而一般要求
[x
0
, x
1
]< br>比较小，且
f
（
x
）在
[x
0
, x
1
]
上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服
这一缺点，有时用简 单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，用
二次曲线去逼近复杂曲线的情形。