对数的换底公式
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 02:47
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第
21
课时
2.3.2
对数的换底公式
【学习目标】
能够运用换 底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，
并能进行一些简单的化简
和证明
.
【老师有话说】
本课的重点是换底公式的应用；
难点是换底公式的灵活运用
.
利用换底公式
“化异为同”
是解决有关对数问题的基本思想方法，
它在求值或恒等变形中起着重要作用，
在解题过程
中应注意：
（
1
） 针对具体问题，选择恰当的底数；
（
2
）注意换底公式与对数运算性质
结合使 用；
（
3
）换底公式的正用与逆用
.
【自学指导】
结合实例探究换底公式，并通过换底公式的应用，体会化归与转化的数学思想
.
【温故而知新】
1.
同伴相互回忆对数的运算性质
2 .
已知
a
m
,
a
n
,
则
2log
a
m
log
a
n
=___ ___________
2
3
【自主学习、合作交流】
一、创设情境：
思考：
已知
lg
2
0
.
3010
,
lg
3
0
.
47 71
，如何求
log
2
3
的值；
二．探索新知
对数换底公式：
log
a
N
log
c
N
（< br>a
0
,
a
1
,
N
< br>0
,
c
0
,
c
1
）< br>
log
c
a
合作探究
1
：
证明换底公式。
合作探究
2
：
log
a
b
·
l og
b
c
=_________
log
a
b
·
log
b
a
=___________
三．数学运用
1
．求值（
1
）
log
8
9
log
27
32
；
（
2
）
log
4
3
log
9
2
log
1
2
4
32
2
．已知
log
2
3 =
a
，
3
7
,
用
a
,
b
表示
log
42
56
b< br>3
．设
x
,
y
,
z
(
0
,
)
且
3
x
4
y
6
z
，求证
【我还有什么问题没弄明白？】
1
1
1
.
x
2
y
z
在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方
,
请向同伴、大组长、老师提出
.
【总结提升】
1
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【学习反思】
（很重要哟！
）
【知识链接】
费马大定理
300
多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：
< br>“设
n
是大于
2
的正整数，则不定方程
x
n
+y
n
=z
n
没有非零整数解”
。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小 ，
他写不下他的证明。
300
多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最著
名的定理—费马大定理 。
费马
(1601
年～
1665
年
)
是一位具有传奇色彩的数学家，
他最初学习法律< br>并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用
闲暇来研究。虽然年 近
30
才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第
一流的贡献。他与笛卡儿几乎 同时创立了解析几何，同时又是
17
世纪兴起的
概率论的探索者之一。费马特别爱好数 论，提出了许多定理，但费马只对其中
一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未 被证明外，
其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费
马大定 理，
因为是最后一个未被证明对或错的定理，
所以又称为费马最后定理。
1976
年瓦格斯塔夫证明了对小于
105
的素数费马大定理都成立。
1983
年一位
年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程
x
n
+ y
n
=z
只能有有限多组解，
他的
突出贡献使他在
1986
年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。
经过三个半世
纪的努力，
这个世纪数 论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯
2