法制知识-关于消防的作文

2021年2月1日发(作者：大阴阳真经)

初中数学尺规作图专题讲解

张远波

尺规作图是起源于古希腊的数学课题

.
只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平

面几何作
图题

.

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规

.
在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯

作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等

渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中

.

初等平面几何研究的对象，

仅限于直线、

圆以及由它们

（或一部分）

所组成的图形，

因此作图的工具，

习
惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种

.
限用直尺和圆规来完成的作图方法，

叫做尺规作图法

.
最简单的尺

规作图
有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线；

⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；

以上三条，叫做作图公法

.
用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说

的圆；用
直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点

作图不能问题

.

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：

⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；

⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积

.

这三个问题后被称为

“几何作图三大问题

”
.
直至

1837
年，万芝尔（

Pierre Laurent Wantzel
）首先证明三

等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；

1882
年，德国数学家林德曼（

Ferdinand Lindemann
）证

明
n
是
一个超越数（即
n
是一个不 满足任何整系数代数方程的实数）

，由此即可推得根号

n
即当圆半径
r 1

.

.
数学

19
世纪出现的伽罗华理论

.

时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由

家

Underwood Dudley
曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书

.

还有另外两个著名问题：

⑴ 正多边形作法

只使用直尺和圆规，作正五边形

•

只使用直尺和圆规，作正六边形

•

只使用直尺和圆规，作正七边形

一一这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手

无策，因
为正七边形是不能由尺规作出的

.

只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角

分成三等
份的

.

问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多

边形的条
件：尺规作图正多边形的边数目必须是

2
的非负整数次方和不同的费马素

数的积，解决了
两千年来悬而未决的难题

.

⑵ 四等分圆周

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周


.
他发现以下

.
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是

在尺规的限制下从理论上去解决这个问题

.
在这以前，许多作图题是不限工具的

.
伊诺皮迪斯以后，尺规的

限制逐
.
一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述

三条 作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，
< br>就称为尺规
尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意 角最受注意

4
等分•这个问题传言是拿破仑

波拿巴出的，向全法国


数学家的挑战

尺规作图的相关延伸：

用生锈圆规
（
即半径固定的圆规
）
作图

1•
只用直尺及生锈圆规作正五边形

2•
生锈圆规作图，已知两点

A
、
B
，找出一点
C
使得
AB BC CA
.

3•
已知两点
A
、
B
，只用半径固定的圆规，求作

C
使
C
是线段
AB
的中点
•

•
1672
年，有人证明：如果把

作直线

4•
尺规作图，是古希腊人按

尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁

的表达
.10
世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图

点、直线与弧交点、两直线交点

能作出！

•

五种基本作图：

初中数学的五种基本尺规作图为
:
1•
做一线段等于已知线段

2•
做一角等于已知角

3•
做一角的角平分线

4.
过一点做一已知线段的垂线

5•
做一线段的中垂线

解释为

作出直线上的
2
点”那么凡是尺规能作的，

单用圆规也能作出！

从已知点作出新点的几种情况：

两弧交
，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也

下面介绍几种常见的尺规作图方法：

⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法
•
解作图题常归结到确定某一个点的位置

•
如果这两个点的位置

是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨

迹；若改
变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点

这个利用轨迹的交点
来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨

迹法
•

【例
1
】

电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇

必须相等，到两条高速公路

m
、
n
的距离也必须相等，发射塔

A
、
B
的距离


P
应修建在什么位置
?
G
【分析】

这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点

段
AB
的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点

【解析】

⑴ 作两条公路夹角的平分线

0D
或
0E
；


P
应满足两个条件，一是在线

P
应是它们的交点


⑵ 作线段
AB
的垂直平分线
FG
;
则射线
0D
,
OE
与直线
FG
的交点
C
1
,
C
2
就是发射塔的位置
.

【例
2
】

在平面直角坐标系中，点

A
的坐标是
（
4
，
0
）
，
O
是坐标原点，在 直线

y x 3
上求一点
P
，使

AOP
是等腰三角形，这样的

P
点有几个？


【解析】

首先要清楚点
P
需满足两个条件，一是点

P
在
y x 3
上；二是

AOP
必须是等腰三角形
•
其次
,
寻找
P
点要分情况讨论，也就是当

OA OP
时，以
O
点为圆心，
OA
为半径画圆，与直线有两个

点
R
、
P
2
;
当
OA AP
时 ，以
A
点为圆心，
OA
为半径画圆，与直线无交点；当

PO PA
时，作

OA
的垂直平分线，与直线有一交点

P
a
，所以总计这样的

P
点有
3
个
.

【例
3
】

设
O
O
与
O
O'
相离，半径分别为

R
与
R'
，求作半径为
r
的圆，使其与

O
O
及
O
O'
外切
•

r

【分析】

设
O
M
是符合条件的圆，即其半径为

r
，并与< br>O
O
及
O
O'
外切，显然，点

M
是由两个轨迹确定

的，即
M
点既在以
O
为圆心以
R r
为半径的圆上，又在以

O'
为圆心以
R' r
为半径的圆上，因

此所求圆的圆
心的位置可确定

•< br>若
O
O
与
O
O'
相距为
b
，当2r b
时，该题无解，当
2r b
有唯一

解；当
2r b
时，有两解
.

【解析】

以当
O
O
与
O
O'
相距为
b
,
2r b
时为例
:


⑴作线段
OA R r
,
O'B R' r
.

⑵ 分别以
O
,
O'
为圆心，以
R r
,
R' r
为半径作圆，两圆交于

M^M
?
两点
.

⑶ 连接
OM
i
，
OM
2
，分别交以
R< br>为半径的
O
O
于
D
、
C
两点
•
⑷分别以
M
i
,
M
2
为圆心，以
r
为半径作圆
•

M
,
M
即为所求
•

••• O
i
O
2
【思考】若将例
3
改为：设
O
O
与
O
O'
相离，半径分别为
R
与
R'
,
求作半径为< br>r
（
r R
）
的圆，使其与
O
O
内切，
与
O
O'
外切
•
”又该怎么作图？

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，

然后根据线段长的表达式设计作图步骤

而这线段长的表达式能用代数方法求出，

•
用这种方法作图称为代数作图法

•

【例
4
】

只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）

【分析】设半径为
1
•
可算出其内接正方形边长为

2
,
也就是说用这个长度去等分圆周

•
我们的任务就是做

出这个长度
•
六等分圆周时会出现一个

.3
的长度
•
设法构造斜边为
,3
，一直角边为
1
的直角三角

形，
2
的
长度自然就出来了

•

【解析】具体做法：

⑴随便画一个圆
•
设半径为
1.

⑵先六等分圆周
•
这时隔了一个等分点的两个等分点距离为

一
3
・

•
（两个相对的

⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点

等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与

两个相对的等分点”形成的是一个底为

2
,
腰

为
3
的等腰三角形
•
可算出顶点距圆心距离就是

•&•）

⑷ 以
2
的长度等分圆周就可以啦！

【例
5
】

求作一正方形，使其面积等于已知

ABC
的面积
•

x
，使得
x
」
ah
，所以
x
是

2 2
2
【分析】

设

ABC
的底边长 为
a
，高为
h
，关键是在于求出正方形的边长



与
h
的比例中项
•

【解析】

已知：在

ABC
中，底边长为
a
，这个底边上的高为

h
,
求作：正方形

DEFG
，使得：
S
正方形

DEFG
ABC

S
a


作法: ⑴作线段
MD
a
；

2

1
⑵在
MD
的延长线上取一点

N
，使得
DN h
；

⑶ 取
MN
中点
0
，以
0
为圆心，
0M
为半径作

O
O
;
⑷过
D
作
DE MN
，交
O
O
于
E
,

⑸ 以
DE
为一边作正方形

DEFG
•

正方形
DEFG
即为所求
•

【例
6
】

在已知直线
I
上求作一点
M< br>，使得过
M
作已知半径为

r
的
O
O
的切线，其切线长为

M
i
M
2



【分析】

先利用代数方法求出点

M
与圆心
0
的距离
d，再以
0
为圆心，
d
为半径作圆，此圆与直线

I
的交

点即为所求
•


【解析】⑴作
Rt 0AB
，使得：

A 90
,
0A r
,
AB a
•

法制知识-关于消防的作文

法制知识-关于消防的作文

法制知识-关于消防的作文

法制知识-关于消防的作文

法制知识-关于消防的作文

法制知识-关于消防的作文

法制知识-关于消防的作文

法制知识-关于消防的作文