08群论的起源与发展
余年寄山水
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2021年02月01日 02:48
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群论的起源与发展（杰出的数学天才——伽罗华）
群论起源于对代数方程的研究，< br>它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。
群理论
被公认为十九世纪最杰出的数学成 就之一。
最重要的是，
群论开辟了全新的研究领域，
同时
这种理论对于物理学 、
化学的发展，
甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了
巨大的影响。我 们今天就主要了解它的发展里程，成长历史。
群论产生的历史背景
从方程 的根式解法发展过程来看，
早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，
他们就能够
用根式 求解一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
= 0
，接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三
次数字方程，但没有得到三次方程的一般解 法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即
16
世
纪初）
才由意大利人解决。< br>同一时期，
意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程
x
4
+
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d
= 0
的根是由系数的函数开四次方所得。但是在以后的几个世纪里 ，探寻五次和五
次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。
1770
年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理
论是解代数方程的关键所 在，
他的工作有力地促进了代数方程论的进步。
但是他的这种方法
却不能对一般五次方 程作根式解，
于是他怀疑五次方程无根式解。
并且他在寻求一般
n
次方
程的代数解法时也遭失败，
从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。
他的这种< br>思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究。
随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。
1824
年到
1826
年，阿 贝尔着手考察可用
根式求解的方程的根具有什么性质，
于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：
如果一
个方程可以根式求解，
则出现在根的表达式中的每个根式都可表 示成方程的根和某些单位根
的有理数。
并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：
一般 高于四次的方程不可能代数地求
解。
接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题 。
在高斯分圆方程可解性理
论的基础上，
他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题 ，
发现这类特殊方程的特点是一
个方程的全部根都是其中一个根（假设为
x
） 的有理函数，并且任意两个根
q
1
(
x
)
与
q
2
(
x
)
满
足
q
1
q
2
(
x
) =
q
2
q
1
(
x< br>)
，
q
1
，
q
2
为有理函数。
现在 称这种方程为阿贝尔方程。
其实在对阿贝尔方
程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果 ，
只是阿贝尔没能意识到，
也没有明确地
构造方程根的置换集合，而仅仅考虑可交换性
q
1
q
2
(
x
) =
q
2
q
1
(
x
)
来证明方程只要满足这 种性
质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。
阿贝尔解决了构 造任意次数的代数可解的方程的问题，
却没能解决判定已知方程是否可
用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，
开始接手阿贝尔未竞的事业。
可惜他 英年早逝，留下遗书，遗书的主要内容，从数学方面看，都是重要成果，他提出了群
的概念，
用 群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，
而且由此发展了一整套关于群和
域的理论。后人为了纪念他，
将这套理论称之为伽罗瓦理论，
这个理论可以推导出五次以上
的 一般代数方程根式不可解以及用圆规、
直尺
（无刻度的尺）
三等分任意角和作倍立方体 不
可能等结论。
群论的创始人伽罗瓦简介
1811
年< br>10
月
25
日，
伽罗华出生于法国巴黎郊区
,
他的 双亲都受过良好的教育。
在父母
的熏陶下，他童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品 格。
1823
年
l0
月伽罗瓦年
满
12
岁时，考入有名的路易
·
勒
·
格兰皇家中学。
那段日子他经常到图书馆 阅读数学专著，
特
别对一些数学大师，如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法 》
、
《解析函数
论》
、
《微积分学教程》进行了认真分析和研究。< br>1827
时伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯、雅可
比的著作，这更提高了他的信心，他认为他 能够做到的，不会比这些大数学家们少。
1829
年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满
18
岁。他在报考巴黎综合技术学校时，由于在
口试中主考的教授比内和勒费布雷·
德
·
富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他，遭
到落选。伽罗 瓦在提及这次考试时，曾写道，他不得不听“主考人的狂笑声”
。同年
10
月
25
日伽罗华被作为预备生录取入师范大学。进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利
的一 年，他的科学研究获得了初步成果。
1830
年
7
月，伽罗瓦将满
1 9
岁，他在师范大学的
第一年功课行将结束，
他这时写成的数学著作，
已经使 人有可能对他思想的独创性和敏锐性
作出评价。
伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的 思想，
即设法绕过拉氏预解式，
但又从拉格朗日那
里继承了问题转化的思想，
即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，
并在阿贝尔研究的
基础上，
进一步发展了 他的思想，
把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。
这
个理论的大意是：
每个方程对应于一个域，
即含有方程全部根的域，
称为这方程的伽罗华域，
这 个域对应一个群，
即这个方程根的置换群，
称为这方程的伽罗华群。
伽罗华域的子域和 伽
罗华群的子群有一一对应关系；
当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，
这方程是 根式可
解的。
1829
年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究 结果的论文提
交给法国科学院，
科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人 ，
但没被
提及。
1830
年
2
月，伽罗华将他的研究成果比 较详细地写成论文交上去了，以参加科学院
的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘 书傅立叶，但傅立叶在当年
5
月去世了，
在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。
就这样，
伽罗华递交的两次数学论文都被
遗失了。
1831
年
1< br>月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他
写成论文提交给法国科学院 。
这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，
当时负责审查的数学
家泊阿松为理解这篇论 文绞尽脑汁。
传说泊阿松将这篇论文看了四个月，
最后结论居然是
“完
全不能 理解”
。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正
确的，但最 后他还是建议科学院否定它。
伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又 赶上路易
·
腓力浦朝代
初期，
年轻热情的伽罗华对师范大学教育组织极为不满 。
由于他揭发了校长吉尼奥对法国七
月革命政变的两面派行为，被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民 教育委员会顾问库申起草报告，
皇家国民教育委员会
1831
年
1
月
8
日批准立即将伽罗瓦开除出师范大学。之后，他进一步
积极参加政治活动。
1831
年
5
月
l0
日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。在 监狱中
伽罗华一方面与官方进行不妥协的斗争，
另一面他还抓紧时间刻苦钻研数学。
尽 管牢房里条
件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。
l832
年
3
月
16
日伽罗华获释后不
久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一 场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华
非常清楚对手的枪法很好，
自己难以摆脱死亡的命运 ，
所以连夜给朋友写信，
仓促地把自己
生平的数学研究心得扼要写出，
并附以 论文手稿。
他不时的中断，
在纸边空白处写上“我没
有时间，我没有时间”
， 然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小
时写出的东西，
为一个折磨了 数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，
并且开创了数学
的一片新的天地。第二天上午，< br>在决斗场上，
伽罗华被打穿了肠子。历史学家们曾争论过这
场决斗是一个悲惨遭的爱情事 件的结局，
还是出于政治动机造成的，
但无论是哪一种，
一位
世界上最杰出的 数学家在他
20
岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。
伽罗华最主要的成 就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问
题，而且由此发展了一整套关于群和域 的理论，为了纪念他，
人们称之为伽罗华理论。
正是
这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。
正是这套理论为数学研
究工作提供了新的数学工具< br>—
群论。
它对数学分析、
几何学的发展有很大影响，
并标志着数
学发展现代阶段的开始。
群的概念简介
今天通常用的群的一个抽象定义 是：
一些元素
（个数有限或无限）
组成的集合，和一种
运算，
当对集 合中任两元素施行这个运算时，
所得结果仍然是这集合中的一个元素
（封闭性）
。这个运算是集合的：
集合中存在一个元素设为
e
，
使得对于这集合中任何 一个元素
a
恒有
ae