初中数学竞赛专题选讲 完全平方数和完全平方式(含答案)
巡山小妖精
840次浏览
2021年02月01日 06:59
最佳经验
本文由作者推荐
斜线表头-观后感的格式
初中数学竞赛专题选讲（初三
.2
）
完全平方数和完全平方式
一、内容提要
（一）
、定义
1.
如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数
.
例如
0
，
1
，
0.36
，
4
，
121
都 是完全平方数
.
25
在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方
.
2.
如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式
.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的
.
例如：
在有理数范围
m
2
,
(a+b
－
2)
2
,
4x
2
－
12x+9,
144
都是完全平方式
.
在实数范围
（
a+
3
）
2
,
x
2
+2
2
x+2,
3
也都是完全平方式
.
（二）
、整数集合里，完全平方数的性质和判定
1.
整数的平方 的末位数字只能是
0
，
1
，
4
，
5
，6
，
9.
所以凡是末位数字为
2
，
3
，
7
，
8
的整数必不是平方数
.
2.
若
n
是完全平方数，且能被质数
p
整除
,
则它也能被
p
2
整除
..
若整数
m
能被
q
整除，但不能被
q
2
整除
,
则
m
不是完全平方数
.
例如：
3402
能被2
整除，但不能被
4
整除，所以
3402
不是完全平方数
.
又如：
444
能被
3
整除，但不能被
9
整除 ，所以
444
不是完全平方数
.
（三）
、完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果
ax
2
+bx+c (a< br>≠
0)
是完全平方式，则
b
2
－
4ac=0
且
a>0
；
如果
b
2
－< br>4ac=0
且
a>0
；则
ax
2
+bx+c (a
≠
0)
是完全平方式
.
在有理数范围内
当
b
2
－
4ac=0
且
a
是有理数的平方时，
ax
2
+bx+c
是完全平方式.
（四）
、完全平方式和完全平方数的关系
1.
完全平方式（
ax+b
）
2
中
当
a, b
都是有理数时
, x
取任何有理数，其值都是完全平方数；
当
a, b
中有一个无理数时，则
x
只有一些特殊值能使其值为完全平方数
.
2.
某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数
.
例如：
n
2
+9,
当
n=4
时，其值是完全平方数
.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别
.
（五）
、完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1.
在整系数方程
ax
2
+bx+c=0(a
≠
0)
中
①
若
b
2
－
4ac
是完全平方数 ，则方程有有理数根；
②
若方程有有理数根，则
b
2< br>－
4ac
是完全平方数
.
2.
在整系数方程
x
2
+px+q=0
中
①
若
p
2
－
4q
是整数的平方，则方程有两个整数根；
②
若方程有两个整数根，则
p
2
－
4q是整数的平方
.
二、例题
例
1.
求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数
.
证明：设五个连续整数为
m
－
2, m
－
1, m, m+1, m+2.
其平方和为
S.
那么
S
＝（
m－
2
）
2
＋（
m
－
1
）
2< br>＋
m
2
＋（
m+1
）
2
＋（
m+2
）
2
＝
5
（
m
2
+2
）
.
∵
m
2
的个位数只能是
0
，
1
，
4
，5
，
6
，
9
∴
m
2
+2
的 个位数只能是
2
，
3
，
6
，
7
，
8
，
1
∴
m
2
+2
不能被
5
整除
.
而
5
（
m
2
+2
）能被
5
整除，
即
S
能被
5
整除，但不能被
25
整除
.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数
.
例
2
< br>m
取什么实数时，
（
m
－
1
）
x
2
+2mx+3m
－
2
是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当
△＝
0
时，
（
m
－
1
）
x
2
+2mx+3m
－
2
是完全平方式
m
1
0
△
=0
，即（
2m
）
2
－
4(m
－
1)(3m
－
2)=0.
解这个方程，
得
m
1
=0.5,
m
2
=2.
解不等式
m
－
1>0
，
得
m>1.