实数知识点及典型例题
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2021年02月01日 07:06
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（
4
）
《实数》知识点总结及典型例题练习题
第一节、平方根
1.
平方根与算数平方根的含义
平方根：如果一个数的平方等于
a
，那么数
x
就叫做
a
的平方根。即
x
2
a
，记作
x=
a< br>
算数平方根
:
如果一个正数
x
的平方等于
a
，
那么正数
x
叫做
a
的算术平方根，
即
x
2
=a
，
记作
x=
a
。
２
.
平方根的性质与表示
⑴表示：正数
a的平方根用
a
表示，
a
叫做正平方根，也称为算术平方根，< br>
a
叫做
a
的负
平方根。
⑵一个正数有两个平方根：
a
（根指数２省略）
０有一个平方根，为０，记作
0
0
负数没有平方根
⑶
平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数
a
的平方根的运算。
a
< br>0
a
a
2
a
==
a
a
0
a
a
（
a
0
）
2
⑷
a
的 双重非负性
：
a
0
且
a
0
（应用较广）
例：
x
4
4
x
y
得知
x
4
,
y
0
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，
它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动
一位。
区分：４的平方根为
____
4
的平方根为
____
4
____
４开平方后，得
____
(6)< br>若
a
b
0
，则
a
b
(7)
a
b
ab
a
0
,
b
0
a
a
(
a
0
,
b
0
)
bb
典型习题：
（
1
）求算数平方根与平方根
1:
求下列数的平方根
36 0.09
（
-4
）²
0 1
（
2
）解简单的二次方程
2
2
3:
81
x
25
0
4 :
4(x+1)
=8
（
3
）被开方数的意义
5:
若
a
为实数
,
下列代数式中
,
一定是负数的是
(
)
A.
－
a
2
B.
－
(
a
+1)
2
C.
－
a
2
D.
－
(
a
+1)
6:
实数
a
在数轴上的位置如图所示
,
化简
:< br>a
1
(
a
2
)
2< br>
（
4
）
:
有关
x
的取值范围目前中考的所 有考点
例题：求使得下列各式成立的
x
的取值范围
7:
3
x
5
3
8:
当m
______
时，
3
m
有意义；当
m______
时，
m
3
有意义
9:
1
1
x
10.
等式< br>x
1
x
1
x
2< br>
1
成立的条件是（
）
.
A
、
x
1
B
、
x
1
C
、
1
x
1
D
、
x
1
或
1
(5)
非负性
知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个 非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使
用．
10
．已知
a
,
b
是实数，且有
a
3
1
(
b
2
)
2
0
，求
a
,
b
的值
.
1
11
:
．已知实数
a
、
b
、
c
满足，
2|a-1|+2
b
c
+
(
c
)
2 =0,,
求
a+b+c
的值
.
2
13 .
若
y
x
1
1
x
1
，求
x
，
y
的值。
< br>14
．
y
2
x
x
2
x
2
5
，求
y
x
的平方根和算术平方根。
15.
若
x
1< br>
|
y
2
|
0
，求
x +y
的值。
16.
若
3
2
a
1
和
3
1
3
b
互为相反数，求
a
的值。
b
17
．若
x
4
x
y
5
0
，求
xy
的值
.
18
．若
m
1
2
n
1
0
，求
m
200 0
n
4
的值。
其它问题
19
．已知
a
,
b
为有理数，且
(
3
2< br>3
)
2
a
b
3
，求
a
b
的平方根
20
．设
a
、
b
是有理数，且满足
a
b
2
1
2
，求
a
b
的值
< br>21
．
已
知
a
、
b
互
为
相
反
数
，
c
、
d
互
为
倒
数
，
x
、
y
满
足
x
2
y
2
4
y
4
0
，
求
(
a
b
)
2008
x
2
(
cd
)
2009
y
(
a
b
cd
)
y
2
2
xy< br>的值．
2
22.
已知实数
a
满足
1992
a
a
1993< br>
a
，则
a
1992
2
的值是（
）
Ａ．
1991
Ｂ．
1992
Ｃ．
1993
Ｄ．
1994
z
a
23
.
已知
x
、
y
互为倒数，
c
、
d
互为相反数，
a
的绝对值为
3
，
z
的算术平方根是
5
，
求
c
2
d
2
xy
的值
24
．请你估算
11
的大小（
）
A.1
﹤
11
﹤
2
B. 2
﹤
11
﹤
3
C. 3
﹤
11
﹤
4
D. 4
﹤
11
﹤
5
25
．若数轴上表示数a
的点在原点的左边，则化简
2
a
a
2
的结 果是（
）
26
、
a
1< br>
2
的最小值是
________
，此时
a
的取值是
________
．
3
27
、当ｘ＝－
8
时，则
x
2
的值是（
）
A
，－
8
B
，－
4
C
，
4
D
，±
4
28
、若
a=
3
2
,b=-
∣－
2
∣，
c=
3
(
2
)
,
则
a
、
b
、
c
的大小关系是（
）
.
3
A.a
＞
b
＞
c B.c
＞
a
＞
b C.b
＞
a
＞
c D.c
＞
b
＞
a
第二节：立方根和开立方
１．
立方根的定义
如果一个数的立方等于
a
，呢么这个数叫做
a
的立方根，记作
3
a
２
.
立方根的性质
任何实数都有唯一确定 的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的
立方根是０
.
３
.
开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
a
a
3
3
3
a
3
a
3
a
3
a
（
a
取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*
０的平方根和立方根都是０本身。
三、推广：
n
次方根