八年级数学提高专题25 配方法
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2021年02月01日 07:07
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八年级数学提高专题
25
配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的 形式，这种方
法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧< br>.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭
示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具
.
配方法解题的关键在于“配方”
，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等
式有：
1
、
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
2
、
a
2
ab
b
(
a
b
)
2
3
、
a
2
b
2
c
2
2
ab
2bc
2
ca
(
a
b
c
)
2
4
、
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
1
[(
a
b
)
2< br>
(
b
c
)
2
(
a< br>
c
)
2
]
2
配方法在代数式 的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键
在于：
(1)
具有较强的配方意识，
即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，
如
a
(
a
)
2
能
联想起配方法
.
(2)
具有整体把握题设条件的能力，
即善于将某项拆开又重新分配组合，
得到完全平方式
.
例题与求解
【例
1
】
已知实数
x
，
y
，< br>z
满足
x
y
5,z
2
xy
y
9
，那么
x
2
y
3
z
_____
(
“祖冲之杯”邀请赛试题
)
解题思路
：对题设条件实施变形，设法确定
x
，
y
的值
.
2
2
2
【例
2
】
若实数
a
，
b
，
c
满足
a
b
c
9
，
则代数式
(
a
b
)
(b
c
)
(
c
a
)
的
2
2
2
最大值是
(
)
A
、
27
B
、
18
C
、
15
D
、
12
(
全国初中数学联赛试题
)
解题思路
：运用乘法公式
，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式
.
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；
(1)
非负数的最小值为零；
(2)
有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零
.
【例
3
】
已知
a
b
2
a
1
4
b
2
3
c
3
1
c
5
，
求
a
+
b
+
c
的值
.
2
解题思路
：题设条件是一个含三个未知量的等 式，三个未知量，一个等式，怎样才能确
定未知量的值呢？不妨用配方法试一试
.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法
.
【例
4
】
证明数列
49
，
4489
，
444889
，
44448889
，„的每一项都是一个完全平方数
.
解
题< br>思
路
：
49
7
2
,4489
< br>67
2
,444889
667
2
,4444888 9
6667
2
，
由
此
可
猜< br>想
444
488
89
(666
6
1)
2
，只需完成从左边到右边的推导过程即可
.
n
1
n
几个有趣的结论：
2
(1)
444
4888
89
(666
6
1)
n
1
n
n
(2)
111
1555
56
(3 33
3
1)
2
n
1
n
n
这表明：只出现
1
个奇数或只出现
1
个偶数的完全平方数分别有无限多个
.
【例
5
】
一幢
33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳
32
人，而且只能在第
2
层至第
33
层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到
1
分不满意，往上走
一层楼梯感到
3
分不满意，
现在有
32
个 人在第一层，
并且他们分别住在第
2
至第
33
层的每一
层，
问：
电梯停在哪一层时，
可以使得这
32
个人不满意的总分达到最小 ？最小值是多少？
（有
些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）
．
(
全国初中数学联赛试题
)