八年级数学上册知识点总结北师大
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 07:07
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吉祥如意的意思-记忆力减退的原因
《数学》
（八年级上册）知识点总结（北师大版）
第一章
勾股定理
1
、勾股定理
-----
已知直角三角形，得边的关系
直 角三角形两直角边
a
，
b
的平方和等于斜边
c
的平方，即< br>a
b
c
2
、勾股定理的逆定理
-----
由边的关系，判断直角三角形
< br>如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
有关系
a< br>
b
c
，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数
：满足
a
b
c
的三个正整数a
，
b
，
c
，称为勾股数。
常见的勾股数< br>有：
（
6,8,10
）
（
3,4,5
）
（< br>5,12
，
,13
）
（
9,12,15
）
（
7,24,25
）
（
9,40,41
）……
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
规律：
（
1
）
、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直 角边的
平方。即当
a
为奇数且
a
＜
b
时，如果b
c
a
，那么
a,b,c
就是一组勾股数
.
如：
（
3,4,5
）
（
5,12
，< br>,13
）
（
7,24,25
）
（
9,40,41）……
（
2
）大于
2
的任意偶数，
2n(n
＞
1)
都可构成一组勾股数分别是：
2
n
,
n
1,
n
1
如：
（
6,8,1 0
）
（
8,15,17
）
（
10,24,26
）… …
4
、常见题型应用：
（
1
）已知任意两条边 的长度，求第三边
/
斜边上的高线
/
周长
/
面积……
（
2
）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度
//
斜边上的高线
/
周长
/
面
积……
（
3
）判定三角形形状：
2
2
2
a2
b
2
c
2
锐角三角形，a
2
b
2
c
2
直角三角形，a
2
b
2
c
2
钝角三角形
判定直角三角形
a..
找最长边；
b.
比 较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；
c.
确定形状
第二章
实数
1.
无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
算术平方根定义如果一个 非负数
x
的平方等于
a
，即
x
2
a
那么这个非负数
x
就叫做
a
的算术平方根，记为< br>a
，
算术平方根为非负数
a
0
正数的平方根有
2
个，它们互为相反数
平方根
0
的平方根是
0
负数没有平方根
2
.
无理数 的表示
定义：如果一个数的平方等于
a
，即
x
2
a
，那么这个数就
叫做
a
的平方根，记为
< br>a
正数的立方根是正数
立方根
负数的立方根是负数
0
的立方根是
0
定义：如果一个数
x的立方等于
a
，即
x
3
a
，那么这个数x
就叫做
a
的立方根，记为
3
a
.
概念有理数和无理数统称实数
正数
有理数
分类
或
0
无理数
< br>
负数
3
.
实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点 是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
运算规律相同。
一、实数的概念及分类
1
、实数的分类
正有理数
有理数
0
有限小数与无限循环小< br>数
负有理数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
正实数
实数
0
负实数
2
、无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（
1
）开方开不尽的数，如
7
,
3
2
等根号
a
（
a
为非完全平方数或非立方数）
。
（
2
）有特 定意义的数，如圆周率
π
（π
=3.14159265
…
)
，或化简后含有
π
的数，如
π
+8
等；
3
（
3
）有特定结构的数，如
0.1010010001
…；
0.5 85885888588885
……
(
相邻两个
5
之间
8< br>的个数
逐次加
1
等；
（
4
）某些三角函数值，如
sin60
等；
o
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1
、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）
，从数
轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果
a
与
b
互为相反数，则有
a+b=0
，
a=
—
b
，反之亦成立。< br>
2
、绝对值
在数轴上，
一个数所对应的点与原点的距离，
叫做该数的绝对值。
（
|a|
≥
0
）
。
零 的绝对值是它本
身，也可看成它的相反数，若
|a|=a
，则
a
≥< br>0
；若
|a|=-a
，则
a
≤
0
。
3
、倒数
如果
a
与
b
互为倒数，则有< br>ab=1
，反之亦成立。倒数等于本身的数是
1
和
-1
。零没 有倒数。
4
、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数 轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不
可）
。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5
、估算
.
注意：
（
1
）近似计算时，中间过程要多保留一位；
（< br>2
）要求记忆：
2
1
.
414
三、平方根、算数平方根和立方根
1
．平方根和算术平方根：
2
（
1
）概念：如果
x
a
，那么
x
是
a
的平方根，记作：< br>
a
；读作“正、负根号
a
”
，
3
1
.
732
5
2
.
236
.
其中
a
叫做
a
的算术平方根，读作根号
a
。
（
2
） 性质：①当
a
≥
0
时，
a
≥
0
；
当
a
＜０时，
a
无意义；
②
a
＝
a
；
③
2
a
2
a
。
（区分②、③）
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（
3
）开平方：求一个数
a
的平方根的运算，叫做开平方。
a
0
（开平方的被开方数的条件）
a
注意
：
的双重非负性：
a
0
（算术平方根的非负性）
2
．立方根：
3
（
1< br>）概念：若
x
a
，那么
x
是
a
的 立方根（或三次方根）
，记作：
3
a
；
（
2
）性质：①
a
a
；
②
3
3
a
3
3
a
；
③
3
a
＝
3
a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：
3
a
3
a
，
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
区分：
平方根
、
立方根的性质
根源：
开平方是平 方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非
负数才可以开 平方，因此一个非
0
正数开平方后有
2
个；而任何数的立方后的符号与原数的
符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有
1
个，符号与 原数的符号也一
致。
四、实数大小的比较
1
、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右
边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表
示的数大。
2
、实数大小比较的几种常用方法
（
1
）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（
2
）求差比较：设
a
、
b
是实数，
< br>a
b
0
a
b
,< br>
a
b
0
a
b
,
a
b
0
a
b
（
3
）求商比较法：设
a
、
b
是两正实数，
a
a
a
1
a
b
;
1
a
b
;
1
a
b
;
b
b
b
（
4
）绝对值比较法：设
a
、
b
是两负实数，则
a
b
a
b
。
（
5
）
平方法
：
①
设
a
0,
b
0
，则
a
b
a
b
2
2
②
设
a
0,
b
0
，则
a
b
a
b
。
2
2
③
同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。
如：比较
3
6
与
3.4
；
3
6
与
53
2
（
6
）
倒数法
：设< br>a
0,
b
0
，则
a
b
规律：同号取倒（数）反向
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1
、含有二次根号“
2
、性质：
（
1
） 非负性
2
1
1
1
1
；设
a
< br>0,
b
0
，则
a
b
a
b
a
b
”
；
被开方数
a< br>必须是非负数，即：
a
中
a
0
。
a
0
（
2
）
(
a
)
a
(
a
0
)
（
（
3
）
a
a
2
a
2
中前提，被开方数
a
0
）
a
,(
a
0)
（
a
,(
a
0)
a
2
中隐含被开方数
a2
0
）
（
4
）
ab
< br>a
•
b
(
a
0
,
b
< br>0
)
；
（
a
•
b
ab
(
a
0
,
b
0
)
）
（ 前提根号要有意义）
（
5
）
a
a
（
< br>(
a
0
,
b
0
)
；
b
b
a
b
a
（前提式子和根号要有意 义，
）
(
a
0
,
b
0
)
）
b
拓展：
三个重要非负数：
a
2
0,
a
0,
a
0
.
注意：
非负数之和为
0
它们都是
0.
3
、运算结果若含有“
a
”形式，必须满足 ：
（
1
）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（
2
）被开
方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（
1
）六种运算：
加、减、乘、除、乘方
、
开方
（
2
）
实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（
3
）运算律
加法交换律
a
b
b
a
加法结合律
(
a
b
)
c
a
(
b
c
)
乘法交换律
ab
ba
乘法结合律
(
ab
)
c
a
(
bc
)
乘法对加法的分配律
a
(
b
c
)
ab
ac
（
4
）
与实数有关的概念：
在实数范围内，相反数，倒数 ，绝对值的意义与有理数范围内的意义完
全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，< br>即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。
第三章
位置的确定
一、
在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1
、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做
x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做
y
轴或纵轴，取向上为正方向；
x< br>轴和
y
轴统称坐标
轴。它们的公共原点
O
称为直角坐标系的原 点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2
、为了便于描述坐标平面内点的位 置，把坐标平面被
x
轴和
y
轴分割而成的四个部分，分别叫做第
y< br>一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x
轴和
y
轴上的点（坐标轴上的点）
，不属于任何一个象限。
三
一
0
二
四
x
3
、点的坐标的概念
对于平面内任意一 点
P,
过点
P
分别
x
轴、
y
轴向作垂线， 垂足在上
x
轴、
y
轴对应的数
a
，
b
分< br>别叫做点
P
的横坐标、纵坐标，有序数对（
a
，
b
） 叫做点
P
的坐标。
点的坐标用（
a
，
b
）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间
有“，
”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，
a
0
当
a
b
时，
（
a
，b
）和（
b
，
a
）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4
、不同位置的点的坐标的特征
（
1
）
、各象限内点的坐标的特征
（结合图形，过点P
分别
x
轴、
y
轴向作垂线，垂足在上
x
轴、
y
轴对应的数
x
,
y
在坐标轴的正
向为正，负向为 负）
点
A
(
x
1
,
y
1
)
在第一象限
x
1
0,
y
1
0
点
B
(
x
2
,
y
2
)
在第二象限
x
2
0,
y
2
0
点
C
(
x
3
,
y
3
)
在第三象限
x
3
0,
y
3
0
点
D
(
x
4
,
y
4
)
在第四象限
x
4
0,
y
4
0
（
2
）
、坐标轴上的点的特征
点
P(x,y)< br>在
x
轴上
y
0
，
x
为 任意实数
点
P(x,y)
在
y
轴上
x
0
，
y
为任意实数
P
y
b< br>x
(-,+)
x
3
C
y
B
y
y1
y
2
x
1
y
3
y
4
(+, +)
A
x
4
x
D
(+,-)
x
2
0
(-,-)
B
(0,
y
2
)
x
0
A
(
x
,0)
C
(
x
3
,0)
1
D
(0,
y
4
)
点
P(x,y)
既在< br>x
轴上，又在
y
轴上
x
，
y
同时 为零，即点
P
坐标为（
0
，
0
）即原点
（
3
）
、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)
在第一、三象限夹角平分线（直线
y=x
）上
x
与
y
相等
点
P(x,y)
在第二、四象限夹角平 分线上
x
与
y
互为相反数
（
4
）
、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
y
C
0
45°
45°
A
x
B
D