12章平方根与立方根(教案)
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 07:08
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§
12.1
平方根与立方根
第一课时
平方根（
9
月
1
日
星期二
）
教学目的：
1
、
使学生理解数的平方根的概念，
能运用 根号表示一个数的平方根；
2
、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；
教学重点和难点：
重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；
难点：平方根的概念；
关键：对符号“
”意义的理解。
学法指导：
根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑
并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
教法指导：
1
、< br>针对八年级学生的认知特点，
体现
“以学生发展为本”
的教育理
念，发 展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和
启发式的教学方法，教师引导为辅，学生 自主思考解决问题为主。
2
、
数学概念的学习比较抽象、
枯燥，< br>用多媒体辅助教学，
增加课堂
的趣味性，提高学生的学习积极性。
教学过程：
一、引入新课：
我们学习了有理数的加、
减 、
乘、
除和乘方运算，
但在现实生活中，
有些问题仅运用这五种运算是无法解 决的。例如已知正方形一边长是
4
厘米，
那么它的一条对角线的长是多少厘米
?
解决这个问题就要运用一种
新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算 和平
方根。
可以先预练
1
—
20
的平方计算。
二、新课学习：
1
、知识设疑：
（
1
）计算：
4
2
；
(
－
4)
2
；
(23)
2
；
(0.8)
2
；
(
－
0.8)
2
（
2
）如果已知一个数的平方等于
16
，怎样求这个数？
因为开方与
平方是互
为逆运算，
所以适当进
行平方运算< br>的复习是
必须的
上面例子可以看到
求
一
个
数
的
平
方
根，可经转化为通
2
、知识形成：
知识点一：
过乘方运算来求。
我们可以设这个数为
x< br>，则
x
2
＝
16
，问题归结为求
x
。这个问 题可
以通过乘方运算来解决。
因为
4
2
＝
16< br>所以
x
＝
4
；又因为
(
－
4)
2< br>＝
16
，所以
x
＝－
4
。
4
或－< br>4
的平方都等于
16
，可以表示为
(
±
4)
2
＝
16
。
因为
4
或－
4
的平 方都等于
16
，我们把
4
及－
4
叫做
16
的平方根。
概括
1
：
一般地，
如果一个数的平方等于a
，
这个数就叫做
a
的平方根
(
或
二次方根< br>)
。就是说，如果
x
2
＝
a,
那么
x
就叫做
a
的平方根。
如：
23
与－
23
都是
529
的平方根。
因为
(
±
23)
2
＝
529
，所以±23
是
529
的平方根。
问：
（
1
）
16
，
49
，
100
，
1 100
都是正数，它们有几个平方根
?
平方
根之间有什么关系
?
（
2
）
0
的平方根是什么
? 概括
2
：
一个正数有两个平方根，
它们互为相反数；
0
有一个平方根，
它
是
0
本身；负数没有平方根。
知识点二：
概括：求一个数
a(a
≥
0)
的平方 根的运算，叫做开平方。
开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一< br>个数可以是正数、负数或者是
0
，它的平方数只有一个，正数或负数的
平方都是 正数，
0
的平方是
0
。
但一个正数的平方根却有两个，
这两 个数
互为相反数，
0
的平方根是
0
。负数没有平方根。
因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一
个数的 平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平
方根。
知识点三：
（
1
）
625
的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？
－
7
和
7
是哪个数的平方根？
正数
m
的平方根怎样表示？
（
2
）下列各数的平方根各是什么？
64
；
0
；
(
－
0.4)
2
；
(
1
)
；
－
16
；
(
－
4)
3
3< br>2
2
这
些
数
都
是
正
数，它们都有两
个平方根，这些
数的两个平方根
都分别是互为相
反数
分析 ：
求平方根
是开方运算，
我
们可以通
过平
方运算来解决。< br>
分析：
因为只有正数
和零才有平方根，
所
以首先
应 观
察所给
出的数
是否
为正数
或
0
。
（
3
）已知正方形的面积等于
a,
那么它的边长等于多少？
3
、例题讲解：
例
1
、求下列各数的平方根：
(1)81
；
(2)1916
；
(3)0.09
。
例
2
、下列各数有平方根吗
?
如果有，求出它的平方根；如果没有，
问：
(1)
4< br>2
有
平方根吗
?
(2)
请说明理由。
(1)
－
64
；
(2)0
；
(3)
4
2
例
4
、求下列各式的值：
(1)
10000
；
(2)
144
；
(3)
25
121
；
(4)
0
.
0001
；
(5)
49
81
三、巩固训练：
Ｐ
4 1
、
3
四、知识小结：
1、如果
x
2
＝
a,
那么
x
就叫做
a< br>的平方根，用±
a
来表示。
当
a
＞
0
时，
a
有两个平方根，
当
a
＝
0
时，
a
有一个平方根，就是它本身；
当
a
＜
0
时，
a
没有平方根。
2
、求一个数
a
的平方根的运算，叫做开平方。
平方的结 果是唯一的；
在开平方运中，
被开方数必须是非负数，
开平方的结果不一定是唯一的。
五、课后作业：
六、课后反思
4
2
与－
4
相
等吗
?
为什么
?
§
12.1
平方根与立方根
第二课时
算术平方根（
9
月
2
日
星期三
）
教学目的：
1
、使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；
2
、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；
教学分析：
重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法；
难 点：算术平方根的概念，对符号“
”意义的理解，能用根
号表示一个正数的平方根和算术平方根 。
教学过程：
一、算术平方根的概念
正数
a
有两个平方根
(
表示为
叫做
a
的算术平方根，表 示为
a
。
0
的平方根也叫做
0
的算术平方根，因 此
0
的算术平方根是
0
，
即
0
0
。
“
”
是算术平方根的符号，
a
就表示
a的算术平方根。
a
的
a
)
，我们把其中正的平方根，
意义有两点：
（
1
）被开方数
a
表示非负数，即
a
≥
0
；
（
2
）
a
也表示非负数，即
a
≥
0
。也就是说，非负数的“算术”
平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即< br>a
＜
0
时，
a
无意义。
如：
9
＝
3
，
8
是
64
的算术平方根，
6
无意义。
9
既表示对
9< br>进行开平方运算，也表示
9
的正的平方根。
二、平方根与算术平方根的区别在于：
①定义不同；
②个数不同：一个正数有两个平方根
,
而一个正数的算术平方根
只有一个；
③表示方法不同：
正数
a
的平方根表示为
方根表示为
a
；
④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数
,
正数的平方根
是一正一负．
⑤
0
的平方根与算术平方根都是
0
．
三、例题讲解：
例
1
、求下列各数的算术平方根：
(1)100
；
(2)
49
64
a
,
正数
a
的算术平
；
(3)0.81
例
2
、求下列各数的平方根和算术平方根。
144 324
0.0144
1
1
6
0 0.25
1
6
1
2
1
400 6.25
例
3
、
100
的平方根是
；
0
的平方根是
；
121
的算术平方根是
；
0.25
的平方根是
；
49
64
的算术平方根是
；
的平方根是
；
1
256
1.69
的算术平方根是
；
（
-3
）
的平方根是
；
2
四、巩固训练：
1
、下列说法对吗？为什么？错的请你加以改正。
（
1
）－
9
的平方根是－
3
；
（
2
）
49
的平方根是
7
；
（
3
）
0
的算术平方根是
0
；
（
4
）
1
的平方根是
1
；
（
5
）－
1
是
1
的平方根；
（
6
）
7
的平方根是±
49
；
（
7
）
（－
2
）
2
的平方根是－
2
；
五、知识小结：
1
、平方根、算术平方根概念、表示方法和读法。
2
、
a)
正数的平方根有两个，他们互为相反数。
b) 0
的平方根有一个，为
0
。
c)
负数没有平方根。
3
、
0
既是
0
的平方 根，也是
0
的算术平方根。
平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概 念，全面掌握它，
就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系
六、课后作业：
七、课后反思：
§
12.1
平方根与立方根
第三课时
平方根和算术平方根（
9
月
3
日
星期四
）
教学目的：
1
、
复习数的 平方根和算术平方根的概念，
会求非负数的平方根和算
术平方根。
；
2
、熟练掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；
教学分析：
重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法；
难 点：算术平方根的概念，对符号“
”意义的理解，能用根
号表示一个正数的平方根和算术平方根 。
教学过程：
1
、知识回顾
(1)
什么叫一个数
a
的平方根
?
如何用符号表示数
a
(
a
0
)
的平方
根
?
(2)
正数有 几个平方根
?
它们之间的关系是什么
?
负数有没有平方
根
? 0
的平方根是什么
?
(3)
当
a
0
时，式子
a
，
(4)
平方根有哪些性质？
分析：
(1)
如果一个数
x
的平方等于
a
，即
x
a
，那么
x
叫做< br>a
的平方根，表示为
x
＝±
a
。
(2)
正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，
0
的平
方根是
0
。
(3)a
≥
0
，
a
表示
a
的算术平方根，
a
表示
a
的平方根
a
表示
a
的负平方根，
2
a
，
a
，的意义各是什么
?
2
、随堂练习
一、选择题
1
．下列说法正确的是（
）
A
、
4
的平方根是
2 B
、
4
的算术平方根是
-2
C
、
8
的平方根是
4 D
、
9
的平方根是
3
2
．下列计算中，正确的是（
）
A
9
3
B
9
16
3
4
C
(
3
)
2
3
D
8
4
3
．
81
的平方根是（
）
A
9
B
9
C
3
D 3
4
．与
135
最接近的整数是（
）
A 11 B 12 C 13 D 14
二、填空题
5
．
1
。
44
的平方根是
；算术平方根是
．
6
．
9
25
的平方根是
；算术平方根是
．
7
．一个数的平 方根是
a
1
和
a
3
，则
a< br>
，这个数是
。
8
．
已知：
n
73
m
，
且
m
,
n
是两个连续整数，
则
m
，
n
。
2
9
．计算：
(
2
)
＝
。
10
．已知：a
2
a
b
6
0
，则
ab
的平方根为
。
三、求下列各式中
x
的值：
1
．
x
25
2
．
x
9
0
3
．
9
x
25
4
．
16
x
49
0
5
．
x
1
4
6
．
x
3
121
2
2
2
2
2
2
四、小明设计一个如下程序：
输入
x
0
1
4
9
25
a
(
a
0
)
输出
y
1
2
3
4
12
（
1
）
在上述）
表格的空
白处填上恰当的
数值；
（
2< br>）
当输入的数字为
435
时，
请你估算出与输出
y
最 接近的一个整数。
五、
图
4
所示的是计算函 数值的程序图，
如输入的
x
的值为
-11
，
因为
- 11
＜
-10
，则
y
x
2
1
(
11
)
2
1
122
。
(1)
若输入的
x
的值为
6
，则
y
的值等于
。
(2)
若输入的
x
的值为
123< br>，则
y
的值等于
。
(3)< br>若输出的
y
的值为
5
，则
x
的值等于
。
(4)
若输入的
x
的值为
13
，请你 估算出一个与
y
误差不超过
0
。
5
的有理
数的值。
（简要写出计算过程和估算过程）
注意：
由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们