七年级下册第六章实数导学案
别妄想泡我
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2021年02月01日 07:10
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平方根（
1
）
学习目标
1.
了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的
双重非负性
2.
能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根
学习重点
了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根
学习难点
理解算术平方根的双重非负性
学习过程
预习案
活动
1
学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁 出一块面积为
25
dm
的正方
形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正 方形画布的边长应取多少
dm
正方形的
面积
边长
1
9
16
36
4
35
2
这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。
活动
2:
自学教材，回答问题：
1.
一般地，如果一个
___
数
x
的平方等于
a
，即
x
=a
，那么这个
______
叫做
a
的
_________
．
a
的算术平方根记为
a
，读作“根号
a
”，
a
叫做被开方数．规定：
______
的算术平方根是
0.
记作
0
=
2.
由以上定义可知如果
x
=a
，那么
x
就叫
a
的算术平方根吗判断下列语句是否正确
①
5
是
25
的算术平方根（
）
②
-6
是
36
的算术平方根（
）
③是的算术平方根（
）
④
-5
是
-25
的算术平方根（
）
3. 3
的算术平方根可表示为
，
4
的算术平方根可表示为
，你还能表示出那
些数的算术平方根写在下面，和同座交流一下
4.
试一试：你能根据等式：
12
=144
说出
144的算术平方根是多少吗并用等式表示出来．
例：求下列各数的算术平方根：
（
1
）
100
；
(2)
探究案
1
、
1.
非负数
a
的 算术平方根表示为
___
，
225
的算术平方根是
____
，
0.64
的算术平方
2
2
2
49
；
(3)
；
⑷
0
；
64
根
____
，
0
的算术平方根是
____
1
的算术平方根是（
）
4
1
1
1
1
A
．
B
．
C
．
D
．
< br>16
8
2
2
3.
若
x
是
49
的算术平方根，则
x
=
（
）
2.
A. 7 B.
－
7 C. 49 D.
－
49
2
4.
小明房间的面积为米
，房间地面恰好由
120
块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边
长是
.
5.
想一想：下列式子表示什么意思你能求出它们的值吗
⑴
0.16
⑵
1
11
⑶
(
3)
2
⑷
0.25
25
总结：
1.
正数有
的算术平方根
0
的算术平方根是
负数
2.
对于
a
：
a 0
具有双重非负性
a
0
训练案
1
．下列哪些数有算术平方根
，
-
1
3
16
，
π，
0
，
（
-3
）
2
，
（
-1
）
2.
下列各式中无意义的是（
）
A
．
7
B
．
7
C.
7
D
．
7
2
3.
下列运算正确的是（
）
A
．
3
3
B
．
3
3
C
．
9
3
D
．
9
3
4.
若下列各式有意义，在后面的横线上写出
x
的取值范围：
⑴
x
⑵
5
x
5.
若
a
2
b
3
0
，则
a= ,b= ,
a
b
．
［反思归纳］
1.
算术平方根的定义、表示方法和性质
2.
求一个非负数的算术平方根
2
3.
a
的双重非负性
平方根（
2
）
学习目标：
1.
理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数
3.
能用逼近法 估算
a
（
a
不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感
学习重点：
能用逼近法估算
a
（
a
不是完全平方数）的算术平方 根的大小
学习难点：
通过估算能比较类似
a
（
a
不是完全平方数）的数的大小
学习过程：
预习案
1
、算术平方根的意义及表示方法。
2
、说出下列各数的算术平方根。
100
36
2
4
25
25
活 动：怎样用两个面积为
1
的正方形拼成一个面积为
2
的大正方形
动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。
问题
1
：画出拼成的大正方形的草图。
问题
2
：你能求出大正方形的边长吗（动动脑）
解：设大正方形的边长为
x
，则有：
探究案
讨论：
2
有多大
（让学生思考讨论并估计大概有多大
.< br>教师介绍用夹逼法求
2
的近似值的方法。
关于
2
是一个“无限 不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基础．
）
思考：你对正数
a
的算术平方根
a
的结果有怎样的认识呢
（让学生明白：
a
的结果有两种情：当
a
是完全平方数时，
a
是一个有限数；当
a
不
是一个完全平方数时，
a
是一个无 限不循环小数。
）
［巩固练习］
1.
你能快速的说出下列各数的算术平方根吗
1
⑴
121
⑵
⑶
7
⑷
8
81
你能求出
7
的算术平方根的值吗它是一个
的数，近似值为
（精确到）
2.
估算
3
5
10
37
的大小（全部精确到）
，你还能估算出哪些数的
大小根据你估算的结果， 用“＞”把这些数字连接起来
（练习估算的方法，可以再让学生举一些例子；用“＞”把数字 连接起来，为了把无理数
比较大小做准备，便于观察规律，增强数感）
总结：由上可知
:
两个非负数中较大的，它的算术平方根
（也较大
/
较小）
比较大小：
⑴
20
31
⑵
1
3
7
4
⑶
6
5
⑷
-
6
10
5
6
训练案
［提升能力］
1.
比较
2.
若
a
是
30
的整 数部分，
b
是
30
的小数部分，试确定
a
、
b的值。
［反思归纳］
4.
当
a
不是一个完全平方数时，能用逼近法求
a
的近似值
5.
通过求近似值比较大小。规律：被开方数越大，算术平方根越大
6.
体会数学来自生活，又用之生活的思想
3
1
1
与
的大小
2
2
平方根（
3
）
学习目标
:
1.
理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
2.
学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题
3.
体会从一般到特殊的数学思想方法
学习重点
:
平方根的概念和表示方法
学习难点
:
求一个非负数的平方根
学习过程
:
预习案
2
1.
∵（
）
=81
∴
81
的算术平方根是
2.
求下列各数的算术平方根
4
2
⑴
⑵
⑶
225
⑷
（
-5
）
9
3.
求下列各式的值
⑴
错误
!
⑵
错误
!
⑶
-
错误
!
问题：①如果一个数的平方等于
9
，这个数是多少
②填表
x
x
2
1
9
16
9
25
总结平方根的概念：
例：根据平方根的概念求下列各数的平方根
9
⑴
100
⑵
⑶
16
你还能举出其它的例子吗
问题
2：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系
，可以用什么方法求一个数的平方根（认识开平方运算，理解开平方运算和平
方运算之间的互逆 关系）
问题
3
通过对例题的解答，你认为正数的平方根有什么特 点
0
的平方根呢负数呢
总结平方根的性质：
正数有
个平方根，它们
0
的平方根是
负数
问题
4
：用什么方法来表示正数的两个平方根呢阅读教材回答下列问题：
①
在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号
②
被开方数
a
为什么要大于或等于
0
③
在数字下面的横线上，表示该数的平方根
4
400 2
9
（对平方根表示方法的练习）
探究案
⑴
10
的平方根可表示为
；算术平方根为
；负的平方根可表示为
2
⑵（
-4
）
的平方根可表示为
；算术平方根可表示为
；负的平方根克表示
为
例：说出下列各式表示的意义，并求值
⑴
144
⑵
-
错误
!
⑶±
错误
!
1
、判断下列说法是否正确
⑴
5
是
25
的算术平方根
（
）
⑵
5
25
是
的一个平方根
（
）
6
36
2
⑶
4
的平方根是－
4
（
）
⑷
0
的平方根与算术平方根都是
0
（
）
2
、⑴
121
____,
⑵< br>
1.69
____,
⑶
49
____,
⑷
100
0.3
2
____
3
、若
x
7
，则
x
_____
，
x
的平方根是
_
__
_
_
训练案
1.
x
为何值时，下列各式有意义
（
1
）
2
x
（
2
）
x
（
3）
x
1
（
4
）
1
x< br>
x
2.
下列各数有平方根吗如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由
.
⑴
-64
⑵
0
⑶
144
⑷
25
2
⑸
(-
16
)
⑹
4
81
3.
如果一个正数的两个平方根为
a
1
和
2
a
7
，请你求出这个正数
2
4.
解方程
3x
-27=0
5.
讨论：（
1
） （
0
.
01
）
＝
，（
5
）
＝
；
（
2
）
16
2
＝
，
(
16
)
2
＝
，
(
5
)
2
＝
；
通过计算你有什么发现
2
2
a
(
a
0
)
2
结论：（
a
）
＝
a
（
a≥
0
），
a
2
，
a
(
a
0
)
［反思归纳］
⒈本节课学习内容
⑴平方根的概念（注意和算术平方根概念的区别和联系）
⑵认识开平方运算（清楚和平方运算互为逆运算）
⑶平方根的性质
（正数的两个平方根互为相反数：正的平方根即为算术平方根；如果给出其中的一个平方
根，另一个平 方根即可知）
⑷平方根的表示方法：
a
（
a
≥
0
）
（不能丢符号）
立方根
学习目标
:
1.
了解立方根的概念，能 用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，
会用立方运算求某些数的立方根；理解“两 个互为相反数的立方根的关系
2
体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别
3.
渗透特殊
----
一般
----
特殊的思想方法。
学习重点
:
立方根的概念和求法。
学习难点
:
立方根与平方根的区别。
学习过程
:
预习案
1.
回顾旧知：说出下列各式表示的意义，并求值
⑴
256
⑵
81
49
2
⑶
⑷
____,
0.3
____
16
100
3
活动：要制作一种容积为
27m
的正 方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少
3
3
2
由以上问 题，有
x
=27
，即
x
=a
的形式，和上节课学习的平方根 （
x
=a
）有什么区别
活动
2
阅读教材
“探究”以上的内容，理解以下知识
1.
立方根（三次方根）的概念
2.
什么是开立方运算和立方运算有什么关系
3.
立方根有什么性质与平方根有什么不同
4.
数的立方根用什么符号表示与平方根有什么区别
探究案
有
个立方根，是
，可以表示为
，即：
=
（考察数的立方根的性质和表示方法）
3
2.
如果
x
=8
，那么
x=
3.
立方根等于本身的数为
是
的平方根，是
的立方根
5.
表示，并求出下列数的立方根
1
⑴
-10
⑵
⑶
0
⑷
27
3
（注意：有些数的立方根是开立方开不出来 的，需带根号表示，如
-10
）
6.
下列说法中不正确的是（
）
（
A
）
8
的立方根是
2
（
B
）
-8
的立方根是
-2
（
C
）
64
的立方根为
2
（
D
）
125
的立方根为±
5
3
7.
-27
的绝对值是（
）
1
1
（
A
）
3
（
B
）
-3
（
C
）
（
D
）
-
3
3
活动
3
例：说出下列各式表示的意义并求值
3
3
⑴
64
⑵
125
⑶
3
2
10
27
3
27
⑷
64
（与课本
P78
例题稍微有些调整，使学生更好的了解立方根的意义）
探究案
1.
教材练习
1
题
2.
求下列各式的值
⑴
－
1
活动
4
探究
3
8
____,
8
____,
所 以
3
8
3
8
< br>因为
3
3
3
27
____,
27
____
27
27
因为
，所以
3
3
9
27
3
3
⑵
729 +
512
你能把发现的结论用含字母
a
的式子表示出来吗
（结论：求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数）
［练习］
3
3
3
1.
同学甲在计算上 面例题的第
2
小题
125
时，
用了这种方法：
125
=
－
125 =
－
5
，
你认为这种方法
（正确
/
不正确）
，不正确的话怎样改正
< br>同学乙在计算上面例题的第
4
小题时，用了这样的方法：
3
27
27
3
64
=
－
3
=
－
64
4
你认为这种方法
（正确
/
不正确）
，不正确的话怎样改正
同学丙认为把立方根的性质
3
a
=
－
3
a
，扩展到平方根中也会有类似的性质，即
-a =
－
a
，你认为正确吗为什么
2.
计算
错误
!
－
3
训练案
1.
当
x
时，
4
x
有意义；当
x
时，
3
4
x
有意义
2.
下列等式成立的是（
）
（
A
）
3
1
=1
（
B
）
3
225
=15
（
C
）
3
125
=
－
5
（
D
）
3
9
=
－
3
3.
64
的立方根是
，
3
8
的平方根是
，
3
512
的立方根是
4.
下列计算或命题中正确的有（
）
①±
4
都是
64
的立方根
②
3
x
3
=x
③
27
的立方根是
3
④
3
(
8
)
2
=
±
4
（
A
）
1
个
（
B
）
2
个
（
C
）
3
个
（
D
）
4
个
5.
求下列各式中的
x
3
3
⑴
8x
+125=0
⑵（
x+3
）
+27=0
3
36.
已知
16x
=9
，
y
=8
，求
x +y
的值
7.
已知一个数的两个平方根分别是
3a+1
和
a+11
，求这个数的立方根
8.
计算下列两组式子，看看你会有什么发现
⑴（
3< br>2
1
125
+
错误
!
2
3
1
3
）
=
（
错误
!
）
=
（
2
）
=
3
3
⑵
3
(
2
)
3
=
3
(
0
.
1
)
3
=
3
你的发现是：
(
1
2
)
3
=