经典难题：最大公约数与最小公倍数
余年寄山水
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2021年02月01日 07:28
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最大公约数与最小公倍数（
1
）
n
2
n
1
1
、证明：对所有的正整数
n
，分数
2不可约。
n
2
n
2
、正整数< br>a
1
,
a
2
,
,< br>a
49
的和为
999
，令
d
为
a
1
,
a
2
,
,
a
4 9
的最大公约数，
d
的最大值为多少？
3
、确 定所有的三元正整数组
(
a
,
b
,
c
)
， 使得
a
b
c
是
a
,
b
,
c
的最小公倍数。
4
、求所有的正整数
a
,
b
，使得
(
a
,
b
)
9
[
a
,
b
]
9
(
a
b
)
7
ab
。
5、从
1
,
2
,
3
,
2 0
这
20
个数中挑选几个数，要使选出的数中，任何两数的最小公倍数也在选出的数< br>中，则最多可以选出多少个数？
6
、设正整数
a
,
b
,
c
的最大公约数为
1
，并且
ab
c
。证明：
a
b
是一个完全平方数。
a
b
最大公约数与最小公倍数（
2
）
1
、把
1
，
2
，
，
19
分成
n
组，每组至少
1
个数，使得有
2
个数 以上的各组中任意
2
个数的最小公
倍数不在同一组，求
n
的最小值。
2
、自然数
a
1
,
a
2,
,
a
n
的和为
1001，设
d
为
a
1
,
a
2
,
< br>
,
a
10
的最大公约数，求
d
的最大值 。
3
、设
a
,
m
,
n
为正整数，
a
1
，且
a
m
1
a
n
1
。证明：
m
n
。
4
、设
k
为正奇数，证明：
1
2
n
整除
1
2
< br>
n
。
5
、设
[
r
,
s
]
表
示
正
整
数
r
和
s
的
最
小
公
倍
数
，
求
有
序
三
元
正
整
数
组
(
a
,
b
,
c
)
的
个
数
，
其
中
k
k
k
[
a
,
b
]
1000
,
[
b
,
c
]
2000
,
[
c
,
a
]
2000< br>。
1
6
、两数之和为
667
，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于
120
，求这两数。
最大公约数与最小公倍数（
3
）
1
、对自然数
x
,
y
，称
(
x
,
y
)
为一个数组 ，此外还规定当
x
y
时，数组
(
x
,
y
)
与
(
y
,
x
)
是不同的数
组。 如果自然数
x
,
y
的最小公倍数为
30
，求这样的数组(
x
,
y
)
的个数。
2
、一个大于
1
的自然数，如果它恰好等于其不同真因子（除
1
及本身以外的因 子）的积，那么称它
为“好的”
。求前十个“好的”自然数的和。
3
、整数
a
,
b
,
c
,
d
满足 ：
ad
bc
1
。证明：
(
a
b
,
ac
bd
)
1
。
4
、证明：对任意正整数
n
，都有
(
2< br>2005
2
2
1
,
2
n
1
)
1
。
5
、
100< br>个正整数之和为
101101
，则它们的最大公约数的最大可能值是多少？证明你的结论 。
6
、已知正整数
a
,
b
,
c
,
d
的最小公倍数为
a
b
c
d
。证明：
abcd
是
3
或
5
的倍数 。
最大公约数与最小公倍数（
4
）
1
、若
n
为小于
50
的自然数，求使代数式
4
n
5
和
7
n
6
的值有大于
1
的公 约数的所有
n
的值。
2
、已知两数中每一个数除以它们 的最大公约数所得的商之和等于
18
，它们的最小公倍数等于
975
。求这两 个数。
3
、已知
n
为正整数，使得
1
n
能的
n
值的总和是多少？
4< br>、若正整数
m
,
n
满足
[
m
,
n< br>]
(
m
,
n
)
m
< br>n
，证明：
m
,
n
中有一个整除另一个。
5
、费尔马数
F
n
定义为
F
n
2
2
2
m
n
(
n
1
)
n
(
n
1
)(
n
2
)
2
k
，其中
k
是 正整数。请问：所有可
2
6
1
。证明：对任意不同的正整数
m
,
n
，有
(
F
n
,
F
m)
1
。