六年级奥数最详细全面数论教师版
萌到你眼炸
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2021年02月01日 07:32
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数论
数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全 平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，
但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌 握的知识点有：平方数性质、平方差公式、
约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等
. 本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍
数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻
.
专题回顾
【例
1
】
一个
5
位数，它的各位数字和为
43
，且能 被
11
整除，求所有满足条件的
5
位数．
【分析】
现
在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11
整除，但我们发现被
11
整除性
质的运用要有具体的数字，而现在没 有，所以我们选择先从数字和入手．
5
位数数字和最大的为
9×
5 =45
，这样
43
的可能性只有
9
，
9
，
9
，
9
，
7
或
9
，
9
，
9
，
8
，
8
．这样我
们接着用
11
的整除 特征，发现符合条件的有
99979
，
97999
，
98989．
【例
2
】
已
知
A BCA
是一个四位数，若两位数
AB
是一个质数，
BC
是一个完全平 方数，
CA
是一个质数与
一个不为
1
的完全平方数之积，则满足条件 的所有四位数是
_____________.
【分析】
本
题综 合利用数论知识，因为
AB
是一个质数，所以
B
不能为偶数，且同时
BC
是一个完全平方
数，
则符合条件的数仅为
16
、
36< br>，
当
B
1
时，
满足
AB
是一个质 数的数有
11
，
31
，
41
，
61
，71
，
时，此时同时保证
CA
是一个质数与一个不为
1
的完全平方数之积，只有
3163
符合；
当
B
3
，满足
AB
是一个质数的数有
13
，
23
，43
，
53
，
73
，
83
，此时同时保证CA
是一个质
数与一个不为
1
的完全平方数之积，只有
8368
符合．
专题精讲
分解质因数
【例
1
】
2001< br>个连续的自然数之和为
a
b
c
d，若
a
、
b
、
c
、
d
都是质数，则< br>a
b
c
d
的最小值是
多少？
【分析】
遇
到等量关系的表述时，
先将其转化为数学语 言．
设这
2001
个连续自然数中最小的一个是
A
，
则最大的一个是
A
2000
(
遇到多个连续自然数问题，转化时 一般均采用假设法，自己需要的量，
题目中没有时，可以设未知数
)
，则它们的和是：
A
A
2000
200 1
A
1000
2001
A
1000
3
2 3
29
，则
A
1000
是质数，所以
A
的
2
最小值是
9
．
a
< br>b
c
d
的最小值是：
1009
3
23
29
1064
.
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［拓展］
1
01
个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的 积，那么这个最小的和应该是
_______
．
［分析］
设
这
101
个自然数中最小的数为
a
，则
101
个连续自然数的和为：
a
+
(
a
+1)+
(
a+2)+
……
+
(
a
+100)
=
(
a
+
a
+100)×
101
2=
(
a
+50)×
101
因为
101
是质数，所以
a
+ 50
必须是
3
个质数的乘积，要使和最小．
经检验
a+50=66=2×
3×
11
最小，所以和最小为
66×
101 =6666
．
［铺垫］
已
知□△×△□×□ 〇×☆△
=
□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么
四位数〇△ □☆是多少？
［分析］
因
为
□
△
□< br>△
□
△
□
△
10101
，所
以
在
题
述
等
式
的
两
边同
时
约
去
□
△
即
得
△
□×□
〇
×
☆
△
10101
．作质因数分解得
10101
3
7
13
37
，由此可知该数分解为
3
个两位数乘积的方
法仅有
21
13
37
．
注意到两位数
△
□
的十位数字和个位 数字分别在另外的两位数
□
〇
和
☆
△
中出
现，所以
△
□=
13
，
□
〇
=
37
，☆
△
=
21
．即
〇
=
7
，
△
=
1
，
□=
3
，
☆
=
2
，所求的四位数是
7132
．
【例
2
】
N
为自然数，
且
N
1
，
N
2
、
……
、
N
9
与
690
都有大于
l
的公约数．
N
的最小值为
__ _____
．
【分析】
690
2
3
5
23
，连续
9
个数中，最多有< br>5
个是
2
的倍数，也有可能有
4
个是
2
的倍 数，
如果有
5
个连续奇数，这
5
个连续奇数中最多有2
个
3
的倍数，
1
个
5
的倍数，
1< br>个
23
的倍数，
所以必然有一个数不是
2
、
3
、
5
、
23
的倍数，即与
690
没有大于
l的公约数．
所以
9
个数中只有
4
个奇数，
这 个数中，
有
2
个
3
的倍数，
1
个
5
的倍数，
1
个
23
的倍数，
则
N
1< br>、
N
3
、
N
5
、
N< br>
7
、
N
9
是偶数，剩下的
4
个 数中
N
2
、
N
8
是
3
的倍数（
5
个偶数当中
只有
N
5
是
3
的倍数）
，还有
N
4
、
N
6
一个是
5
的倍数，一个是
23
的倍数
.
剩下的可 以用中国剩余定理求解，
N
5
是
2
和
3
的倍数，且相邻两个数中一个是
23
的倍数，另
一个是
5
的倍数，显 然
N
5
24
是最小解，所以
N
的最小 值为
19
．
约数、倍数
【例
3
】
已知，甲乙 两数的最小公倍数是
288
，最大公约数是
4
，甲乙两数不是
288
和
4
中的数，那么甲
乙两数的乘积为多少
?
和为多少
?
【分析】
设
甲乙两个数为
4
x
，
4
y
，
(
x
和
y
都不等于
1
或< br>72),
则
x
，
y
两数互质，于是
4
x，
4
y
的最小公
288
倍数为
4
xy
，所以
xy
72
，
72
2
3
3
2
，由于
x
，
y
互质，所以
2
或
3
不可能在
x
，
y
的因
4
子中都出现，所以
x
，
y
一个是
8
一个是
9
，所以两数的乘积等于
4
y
4
x
4
4
xy
1152
，和为
4
x
4
y
4
8
9
68
.
【例
4
】
有
15
位同学，每位同学都有编号，它们是
1
号到
15
号．
1
号同学写了一个自然数，
2
号说：
“
这
个数能被
2
整除
”
，
3
号说
“
这个数能被
3
整除
”
，
……
，依次下去，每位同学都说，这个数能被
他的编号数整 除，
1
号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：
⑴说 得不对的两位同学，
他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你，
1
号写的数是五 位数，
请求出这个数．
【分析】
⑴
首先可以断定编号是
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘
以
2
后所得 编号也将说得不对，这样就与
“
只有编号相邻的两位同学说的不对
”
不符合． 因此，这
个数能被
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
都整除．
其次利用整除性质可知，这个数也能 被
2×
5
，
3×
4
，
2×
7
都整 除，即编号为
10
，
12
，
14
的同学说的
也对． 从而可以断定说的不对的编号只能是
8
和
9
．
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⑵这个数是
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
10
，
11
，
12
，
13< br>，
14
，
15
的公倍数，
由于上述十二个数的最小公倍数是
60060
，
因为
60 060
是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以
1
号同学写的数就 是
60060
．
［拓展］
一
个两位 数有
6
个约数，且这个数最小的
3
个约数和为
10
，那么此 数为几？
［分析］
最
小的三个约数中必然包括约数
1< br>，除去
1
以外另外两个约数和是
9
，由于
9
是
1
个奇数，所以
这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包 含偶约数，那么它
一定是
2
的倍数，即
2
是它的约数．于是显然的，
2
是这个数第二小的约数，而第三小的约数是
7
，所以这个两位数是
14
的倍数，由于这个两位数的约数中不含
3
、
4
、
5、
6
，所以这个数只能是
14
或
98
，其中有
6
个约数的是
98
．
约数个数定理：
设自然数
n
的质因子分解式如
p
1
a
1
p
2
a
2
p
3
a
3
L
p
n
a
n
.
那么
n
的约数 个数为
d
n
a
1
1
a
2
1
a
3< br>
1
L
a
n
1
< br>
a
1
a
1
1
a
2
2< br>1
自然数
n
的约数和为
S
n
P
L
P
P
2
a
2
1
L
P
2
2
P
2
1
1
L
1
P
1
1
P
1
1
P
2
L
P
n
a
n
P
n
a
n
1
L
P
n
2
P
n
1
1
【例
5
】
两
数乘积为
2800
，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多
1
，
那么这两个数分别是___________
、
___________
．
【分析】
2800
2
4
5
2
7
，
由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多
1
，
所以这两个数中有一个数
的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为
2
2
、
2
4
、
5
2
、
2
2
5
2
或
2
4
5
2
． 经检
验，只有两数分别为
2
4
和
5
2
7
时符合条件，所以这两个数分别是
16
和
175
．
［铺垫］
在
三位数中，恰好有
9
个约数的数有多少个？
［分析］
9
1
9
3
3
，
所以
9
个约数的数可以表示为一个质数的
8
次方，
或者两个不同质数的平方的乘积，
前者在三位数中只有
256
符合 条件，后者中符合条件有
100
、
196
、
484
、
676
、
225
、
441
,
所以符合条件的有
7
个
.
【例
6
】
两个整数
A
、
B
的最大公约数是
C
，最小公倍数是
D
，并且已知
C
不等于
1
，也不等 于
A
或
B
，
C
D
187，那么
A
B
等于多少？
【分析】
最
大公约数
C
，当然是最小公倍数
D
的约数，因此
C是
187
的约数，
187
11
17
，
C
不等于
1
，
只能是
C
11
或者
C
17
．如果
C
11
，那么< br>D
187
11
176
．
A< br>和
B
都是
176
的约数，
A
和
B
不 能是
11
，只能是
22
，
44
，
88
，< br>176
这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约
数都不是
11
，由此得出
C
不能是
11
．现在考虑
C
17
，那么
D
187
17
170< br>，
A
和
B
是
170
的约数，又要是
17的倍数，有
34
，
85
，
170
三个数，其中只有34
和
85
的最大公约数是
17
，因
此，
A< br>和
B
分别是
34
和
85
，
A
B
34
85
119
．
【例
7
】
已知
A
是一个有
12
个约数的合数，
8
A
、
10
A
有
24
个约数，
12
A
有
40
个约数，求
15
A
有多少个
约数？
【分析】
设
A
2
a
3
b
5
c
d，
d
中不含有
2
、
3
、
5
因子，
那么
A
的约数个数有
a
1
b
1
c
1
N
12
L
L
L
L
①
(
其中
N为
d
的约数个数
)
a
4
2
,
于是
a
2
，
a
1
c
2
3
10
A
的约数个数为
a
2
b
1
c
2
N
4
b
1
c
2
N
< br>24
，与
①
比较
，于是
c
1< br>，
c
1
2
b
2
< br>2
，于是
b
0
，
12
A
的约数个 数为
a
3
b
2
< br>c
1
N
10
b
2
N
40
，与
①
比较得到
b
1
8
A
的约数个数为
a
4
b
1
c
1
N
24
，与
①
比较得到