实数全章教案
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 07:38
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6.1
平方根（第
1
课时）
1.
知识 与技能：
了解算术平方根的概念，
会用根号表示正数的算术平
方根，并了解算术平方根 的非负性；
2.
过程与方法：
了解开方与乘方互为逆运算，
会用平 方运算求某些非
负数的算术平方根；
3.
情感态度价值观：
通过对 实际生活中问题的解决，
让学生体验数学
与生活实际是紧密联系着的，
通过探究活动培 养动手能力和激发学生
学习数学的兴趣。
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
算术平方根的概念。
设计理念
“神舟”
五号成功发射
和安全着陆，
标志着我< br>国在攀登世界科技高
峰的征程上又迈出具
有重大历史意义的一
步，
是我 们伟大祖国的
荣耀．此内容有感染
力，使学生对
本章知识的应用价值
有一个感性认识，
同时
激发学生的好奇心和
学习的兴趣．
这里的计
算实际上是已知
幂和乘方的指数求底
数的问题，
是乘方的逆
运算，
学生以前没有见
过，
由此引出了本章所
要研究的主要内容，
以
及研究这些内容的大
体思路．
练
习
：
教
科书
的
填
表．
这个问题抽象成数
学问题
就是已知正方形的面
积求正方形的边长，
这
与学生以前学过的
已知正方形的边长求
它的面积的过程互逆，
教学时可以让学生初
步体会这种互逆的 过
程，
为后面的学习做准
备。
同学们，
2003
年
10
月
15
日，
这是我们每个中国人
值得骄傲的日子．因 为这一天，
“神舟”五号飞船
载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年
的飞天 梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升
空时的画面）
．那么，你们知道宇宙飞船离开地球< br>进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时
它的速度要大于第一宇宙速度
v
1
（米／秒）而小于
第二宇宙速度：
v
2
（米／秒）
．v
1
、
v
2
的大小满足
情境导入
教学目标
教学难点
知识重点
教学过程（师生活动）
v
1
gR
,
v
2
2
gR
.
怎样求
v
1
、v
2
呢？这就要用
到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．
这节课我们先学习有关算术平方根的概念．
请看下面的问题．
2
2
提出问题
感知新知
多媒体展示教科书的问题（问题略）
，然后提出问
题：
你是怎样算出画框的边长等于
5dm
的呢？（学
生思考并交流解法）
这个问题相当于在等式扩
=25
中求出正数
x
的值．
练习：教科书的填表．
1
上面的问题，可 以归纳为“已知一个正数的平方，
求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知
一个数的指 数和它的幂求这个数．
一般地，如果一个正数
x
的平方等 于
a
，即
x
2
=a
，那么这个正数
x
叫做
a
的算术平方根．
a
的
算术平方根记为
a
，读作“ 根号
a
”，
a
叫做被开
方数．规定：
0
的算术平方 根是
0.
a
也
可
以
写
成
2< br>a
,
读作“二次根号
归纳新知
a
”
。
2
也就是，
在等式
x
=a
(x
≥
0)
中，
规定
x
=
a
.
算术平方根的概念比
较抽象，
原因之一是学
思考：这里的数
a
应该是怎样的数呢？
生对石这个新
2
试一试：你能根据等式：
12
=144
说出144
的
的符号的理解要有一
个过程．通过此问题，
算术平方根是多少吗 ？并用等式表示出来．
使学生对符号
“而”
表
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它
示的具体含义有更具
们的值吗？
体、更深刻的认识．
建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写
出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法
写出对应的值．例如
25
表 示
25
的算术平方根，
因为……
例．
（课本的例
1
）求下列各数的算术平方根：
49
（
1
）
100
；
(2)1
；
(3)
64
；
(4)0. 0001
应用新知
建议：首先应让学生体验一个数的算术平方根应满
足怎样的等式，应该用怎样的记号来表示它，在此
基础上再求出结果，例如求
100
的算术平方根，就
2
是求一个数< br>x
，使
x
=100
，因为
10
100
2
例题的解答展示了求
数的算术平方根的思
考过程．在开始阶段，宜让学生适当模仿，
熟
练后可以直接写出结
果．
提出问题：怎 样用两个面积为
1
的小正方形拼成一
个面积为
2
的大正方形？
方法
1
：课本中的方法，略；
方法
2
：
探究拓展
可还有其他方法，鼓励学生探究。
问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？
教科书在边空提出问
题
“小正方形的对角线
的长是多少”
，
这是为在
10
．
3
节介绍
在
数
轴
上
画
出
表
示
2
的点做准备．
大正方形的边长是
2
，表示
2
的算术平方根，它
到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
2
建议学生观察图形感受
2
的大小．小正方形的对
角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形
的边长的大小）它的近似值我们将在下节课探究．
小结与作业
课堂小结
提问
:1
、这节课学习了什么呢？
2
、算术平方根的具体意义是怎么样的？
3
、怎样求一个正数的算术平方根？
必做题：课本习题
第
1
、
2
、
3
题；第
11
题。
备选题：
（
1
）判断下列说法是否正确：
是
25
的算术平方根；
2
6
一
6
是
的算术平方根；
布置作业
0
的算术平方根是
0
；
0.01
是
0.1
的算术平方根；
⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积
的算术平方根．
（
2
）下列各式哪些有意义，哪些没有意义？
①－
3
②
3
③
3
2
④
10
2
在本节的第一个“探
究”栏目之前， 重点
是介绍算术平方根的
概念，因此所涉及的
数
（包括例题中的数）
都是完全平方数（能
表示成一个有理数的
平方）
，
所求的是这些
完全 平方数的算术平
方根．
（
3
）一个正方形的面积为
10< br>平方厘米，求以这个
正方形的边为直径的圆的面积。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本节课是本章的第一节课，主要是要建立算术平方根的概念为了使学生体会引入算
术 平方根的必要性，感受新数（无理数）的产生是实际生活和科学技术发展的需要，也
为了激发学生的学习 热情，所以章前图的学习不要省略．特别地应提醒学生这里求速度
的问题实际上是已知幂和乘方求底数的 问题，是一个新的数学问题．
通过一个简单的实际问题，引人算术平方根的概念对学生来说是容易接受并有兴趣
的 ．教学中要注意算术平方根的非负性，对它的符号的理解与接受要有一个过程，但这
也是最重要的，能从 根号很自然地联想到算术平方根的意义（应满足的一个等式）这是
学好平方根概念的基本保证，所以在例 题之前安排了试一试和想一想，教师还可根据学
生实际情况进行有关的训练．
通过对两个小正方形拼成一个大正方形的探究活动，一方面是培养学生的动手能力
和思维能力， 调动学生的学习积极性，另一方面是使学生理解引人算术平方根符号的必
要性，明确有些正数的算术平方 根不能容易地求得，为下节课的学习做准备．
6.1
平方根（第
2
课时）
教学目标
1
、
知识与技能：
会用计算器求一个数的算术平方根；
理解被开方数
3
扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律；
2
、过程与方法：能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；
3
、情感态度价值观：体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着
不同于有理数的一类新数。
教学难点
知识重点
夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。
夹值法及估计一个（无理）数的大小。
设计理念
2
教学过程（师生活动）
我们已经知道：正数
x
满足x
=a,
则称
x
是
a
的算
术平方根．当
a
恰是一个数的平方数时，我们已经
能求出它的算术平方根了，例如，
16
=4
；但当
a
不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥
求呢？例如课 本的大正方形的边长
呢？
问题：
2
究竟有多大？
建议：
1
、先让学生思考 讨论并估计大概有多大，
在此基础上按书本讲解并板书．可以这样提出问题
并讲解：
由 直观可知招大于
1
而小于
2
，
那么了
2
是
1
点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近
2
的
1
位小数是1.4
，
而平方数大于
2
且最接近的
1
情境导入
位小数是
1.5
，
2
大于
1.4
而小于
1.5......
在
2
出现之前，
方运算，通过观察的< br>方法求一些完全平方
数的算术平方根，但
是对于像
2
这样的非
完全平方数，如何求
它的算术平方根，对
学生来讲是一个新问
题．
教科书给出两种
求
2
的方法：一种
2
等于多少
学生 已经知道利用乘
是估算，一种是使用
这里默认了非负数
a
和
b
当
a
＜
b
时，
a
b
这
计算器 ．对于第一方
法，教科书利用夹值
的办法，夹值法是重
里可以从
4
9
得到。
要的有效的求近似值
2
、用夹值法去逼近一个（ 无理）数，是一个重要
的方法，所以应详细
的求近似数的方法，也是一种无限逼近的数学思讲解．
想，教师应加以重视，让学生体验它的妙处．
对于无限不循环
3
、关于
2
是一个“无限不循环小数”要向学生详
小数这个概念，教学
时可以适当回忆以前
细说明．为无理数的概念的提出打下基础．
学生学过的数，通过
归纳
（提出问题）
：
你对正数
a
的算术平方根
a
的
比较，了解无限不循
环小数的特征，为后
结果有 怎样的认识呢？
面学习实数做铺垫。
a
的结果有两种情：
当
a
是完全平方数时，
a
是
一个有限数；当
a
不 是一个完全平方数时，
a
是
一个无限不循环小数。
4
例
1
（课本的例
2)
用计算器求下列各式的值：
用
计
求
一
有
理
算
术
根
算
个
数
平
器
正
的
方
（
1
）
3136
（
2
）
2
（精确到0.001
）
可按照书本讲．注意计算器的用法，指出计算器上
显示的 也只是近似值，但我们可以利用计算器方便
地求出一个正数的算术平方根的近似值．
安排学生独立解决引言中的问题，利用计算器求出
通过例题，使学生掌
握使用计算器求算术平方根的方法，可以
和上面所估计的
2
的大小比较。
v
1
和
v
2
的值．
例
2
（用多媒体显示课本的例
3
）题略．
建议：
1
、首先要注意学生是否弄清了题意；然后
分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片， 就是要
比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边
长是
20 cm
，所 以只需求出长方形的边长，设长方
形的长和宽分别是
3xcm
和
2xcm,
综合应用
例题给出了一个实际
问题背景，学生一般
会认为一定能用 一块
面积大的纸片裁出一
块面积小的纸片，通
求得长方形的长为
3
5 0
cm
后，
接下来的问题是比
过学习可以纠正学生
的认识．重点使学 生
较
3
50
和
20
的大小，这是个难点，要让学生思
掌握通过平方数比较
考，充分发表自己的意见，然后再比较．
有理数与无理数大小
2
、视学生掌握知识的情况在例
3
前可先解决下面
的一种方法．
的问题：比较
4
和
15
，
2
7
和< br>27
大小．
练习
课本的练习（其中第
2
题要求不用计算器）
课本中的用计算器探究 被开方数扩大（或缩小）与
它的算术平方根扩大（或缩小）的规律．
对于（
1
）应有如下的规律：当被开方数扩大（或
缩小）
100
倍，
100 00
倍…时，其算术平方根相应
地扩大（或缩小）
10
倍，
100< br>倍…
1
、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根
也相应地增大 或缩小，因此我们可以利用夹值的方
法来求出算术平方根的近似值；
2
、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的
近似值
3
、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩
大（或缩小）的规律是怎样的呢？
4
、怎样的数是无限不循环小数？
课本习题
第
5
、
6
、
9
、
10
题；
探究规律
小结与作业
课堂小结
布置作业
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
5
1
、本节课首先提出“
2
有多大”的问题，这是一个学生关 注的具有挑战性的问题，
也是说明引入算术平方根必要性的好问题（如果算术平方根都可以像完全平方数 的算术
平方根那样求得，
恐怕就没有必要花那么多的精力来学习算术平方根了）
，所以教学中要
引起重视．解决这个问题的过程体现了“数学中的无限逼近的思想”并使学生体验
“无
限不循环”小数的特点（学生对无限的体会没有障碍，但对不循环会因计算实际的局 限
无法体会，是本节课的一个疑点，教师可适当说明，不要深究）
．
2
、课本的例
3
是一个实际问题，它有两个作用：一是用算术平方根解决实际问题，二< br>是涉及了一个有理数与一个无理数的大小比较的问题．后者提供的方法在今后的学习中
会经常用到 ，所以要引起重视．
3
、
利用计算器求一个数的算术平方根是本章的一 个重要教学要求，
学生掌握其方法应
该不成问题，但对精确度和有效数字的要求要重视，另一方 面要求学生掌握被开方数的
扩大和缩小与平方根的扩大和缩小之间的规律．
6.1
平方根（第
3
课时）
1、
知识与技能：
掌握平方根的概念，
明确平方根和算术平方根之间
的联系 和区别；
2
、
过程与方法：
能用符号正确地表示一个数的平方根，
理解开平方
运算和乘方运算之间的互逆关系；
3
、切割过他的价值观：培养学生的探究能力和归纳问题的能力．
平方根和算术平方根的联系与区别
平方根的概念和求数的平方根。
设计理念
如果一个数的平方等于
9
，这个数是多少？
< br>学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它
们是
3
和－
3.受前面知识的影响学生可能不易想到
－
3
这个数，这时可提醒学生，这里的这个数 可以
这个思考题是引入平
方根概念的切入点，
要让学生有充分的时
间进行思考 和体验．
在等式中求出
x
2
3
9
是负数．注意
中括号的作用．
的值，
为填表做准备．
通过填表中的
x
4
x
2
的值，进一步加深时
25
又如：
，则x
等于多少呢？
“两个互为相反数的
使学生完成课本的填表练习．
平方等于同一个数”给出平方根的概念：如果一个数的平方等于
a
，那
的印象，为平方根的
引 入做准备．
2
x
么这个数就叫做
a
的平方根．
即 ：
如果
=a
，
那么
教学中可以引导
x
叫做
a
的平方根．
学生通过查阅资料等
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
方式，了解平方根产
（
通常
例如：
3
的平方等于
9
，
9
的平方根是
3
，所以
生发展的过程．
平方与开平方互为逆运算．
称为平方根．在研究
观察：课本 中的图中的两个图描述了平方与开平方
有关
n
次方根的问题
6
教学目标
教学难点
知识重点
教学过程（师生活动）
思考归纳
导入概念
互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本
质．
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个
关系说出
1, 4,9
的平方根．
注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先
不引入 平方根的符号，给出的数是完全平方数．
例
1：
（课本的例
4
）
。求下列各数的平方根。
9
（
1
）
100
（
2
）
16
（
3
）
0.25
建议教师要规范书写格式。
按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问
题：
正数的平方根有什么特点？
0
的平方根是多少？负
数有平方根吗？
时，为使各次方根的
说法协调起见，常采
用二次方根的说法．
3< br>表示＋
3
和一
3
两个
数．这种写法学生不
太习惯，在 以后的教
学中宜不断提到。
通过此例使学生明白
平方根可以从平方运
算中求得，并能规范
地表述一个数的平方
根．这个例题也为后
面探讨平方根的特征< br>做好准备．
讨论归纳
深化概念
通过讨论，使学 生对
2
建议：可引导学生通过观察
x
=a
中的
a
和
x
的取
有理数的平方根有一
个全面的认识．也是
值范围和取值个数得 出．
平方根概念的进一步
根据上面讨论得出的结果填课本
166
页的表．
深化．
注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习
惯，一 个是正数有两个平方根，即正数进行开平方
体验分类思想，巩固
运算有两个结果，这与学生过去 遇到的运算结果惟
平方根概念．
一的情况有所不同，另
一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运
算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的
加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到
(0
作除数的情况除外）< br>．教学时，可以通过较多实例
加深对符号意义的理
说明这两点，并在本节以后的教学中继 续强化这两
解和对平方根概念的
点．
灵活应用．
引入符号：正数
a
的算术平方根可用
a
表示；正
数
a
的负的平方根可用
-
a
表示．例如……
思考：
a
表示什么意思，这里的
x
可取什么样的
测试学生对平方根概
念的掌握情况．
数呢？
而对于
< br>x
1
又该怎样理解呢？这里的
x
又可取
什么样的数 呢？
7
例
2
下列各数有平方 根？如果有，求出它的平方
熟练应用平方根的概
根，如果没有，说明理由。
念，计算有关算式的
值，是本课的主要内
2
2
4
10
－
64
、
0
，
，
容。
如果有要用平方根的符号来表示。
例
3
：课本的例
5
，求下列各式的值。
被开方数 不是完全平
方数时，可用计算器
121
求出它的近似值
0
.
81
196
（
1
）
144
，
（
2
）－
，
（
3
）
应用
2
56
（
4
）
，
56
< br>
2
建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方
关系和平方根概念的格式 书写解题格式。平方根和
算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别
又有联系．区别在于 正数的平方根有两个，而它的
算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是
它的算术平方根 的相反数，根据它的算术平方根可
以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术
平方根来研 究平方根．
思考：－
15
的值是多少？
课本的练习
小结：
什么叫做一个数的平方根？
正数、
0
、负数的平方根有什么规律？
怎样求出一个数的平方根？数
a
的平方怎样表示？
教科书习题
第
3
、
4
、
7
、< br>8
、
11
、
12
题。
练习巩固
小结与作业
布置作业
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
1
、本课 主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式
x
=a
和已有算
术 平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平
方与平方之间的互逆 关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的
规律也就不难掌握了．
2
、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法．
2
6.1
算术平方根
学
知识与技
能
习
1
．
了解算术平方 根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解
算术平方根的非负性。
2
．
了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平
8
目
过程与方
法
标
情感、态度
与价值观
方根。
通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
1
．
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密
联系着的。
2
．
通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，
提高学习热情。
重
算术平方根的概念。
点
难
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
点
教
学
过
程
教
学
教
学
活
动
环
节
同学们，
2008
年
9
月
25
号，
“神州七号”飞船载人出舱
飞行取得了圆满 成功，实现了中华民族千年的梦想。那么，
卫星离开地球进入正常轨道，它运行的速度在什么范围？这< br>时它的速度要大于第一宇宙速度
v
1
(
米
/
秒
)
而小于第二宇宙
创
设
情
境
导
入
新
课
速度
v
2
(
米
/
秒
)
。
v
1
、
v
2
的大小满足
v
1
=gR，
v
2
=2gR
。其
中，
g
是物理中的一个 常量、
R
是地球半径。怎样求出
v
1
、
v
2
呢？即使给出
g
、
R
的对应值，利用我们已学过的知识，也很
难求 出。这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习
内容。这节课我们先学习有关算术平方根的概念。
展示教材的问题。
问题：
1
．你能算出画布的边长等于多少吗？
2
．说说你是怎样算出来的？
3
．如果这块正方形画布的面积为单 位
1
，那么它
的边长是多少？如果面积分别为
9
、
16、
36
、
2
2
设
计
意
图
4
呢？
25
上面的问 题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这
个正数”的问题。实际上是已知一个正数，求这个正数平方
根的问题。
使学生感受到
“神州七号”的成功
发射这一 伟大壮举，
竟然与我们将要学习
的本章知识有着密切
的联系，激发起学生
的好 奇心和学习兴
趣，感受到学习算术
平方根的必要性。
通过实际问 题抽
象为数学问题，为学
习算术平方根提供背
景和素材，进而引入
算术平方根 的概念。
教
学
教
学
活
动
设
计
意
图
9