初中数学数学名师斐波那契
余年寄山水
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2021年02月01日 07:40
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惧怕的近义词-筑梦中国
斐波那契
斐波那契，
L
．
(Fibonacc i
，
Leonardo)
约
1175
年生于意大利比萨；
1250
年卒于比萨．数
学．
斐波那契是 波那契
(Bonacci)
家族的成员．这个家族在当时的比萨很有影响．斐波那契
的 父亲圭列尔莫
(Guiliellmo)
作为比萨共和国的官员，于
1192
年左右被派往布日伊
(Bougie
，今属阿尔及利亚
)
，管理比萨的商业侨 民．
斐波那契受过良好的教育．
22
岁时 随父亲到布日伊，
在那里学会了用印度数码计算．
后
来，又随父亲到埃及、叙利亚、希 腊
(
拜占庭
)
、西西里和普罗旺斯旅行；他通过广泛的学习
和认真的 研究，熟练掌握了多种计算技巧．
12
世纪末，斐 波那契回到比萨，在这里度过了四分之一个世纪．他在比萨著书立说，
书中不仅用印度数码和方法进行计 算，
把它们应用于商业活动的所有领域，
并且阐述了许多
代数和几何问题．他的最重要 成果表现在不定分析和数论方面，并远远超过了前人．
大约
1225
年，
斐波那契受到国王腓德烈二世
(1194
—
1 250)
的召见，
成为宫庭数学家．
在
保存下来的一份
1240年的文件上写着：由于斐波那契曾向市民和官吏讲授计算方法，每年
给予他薪金若干金磅．
保存至今的斐波那契著作有
5
部：
(1)< br>《算盘书》
(Liber abbaci
，
1202
，
122 8)
；
(2)
《实用几何》
(Practica geometriae，
1220
，
1221)
；
(3)
《花》
(F los
，
1225)
；
(4)
给帝国
哲
学
家
狄
奥
多
鲁
斯
(Theodorus)
的
一
封
未
注
明
日
期
的
信
；
(5)
《
平
方
数
书
》
(Liber
quadra-torum
，
1225)
．
我们知道他还有其他著作 ，
例如关于商业算术的
《小方法》
(Di
minor
guisa )
．遗憾的是他对欧几里得《几何原本》第
10
卷的评述失传了，在该书中，斐波那契
以其对无理量的数值处理取代了欧几里得的几何表示．
邦孔帕尼
(ni)
和利 布里
(Libri)
曾编辑整理斐波那契的著作；
G
．
康托尔
(Cantor)
、
G
．
洛里亚
(Loria)
和
A
．
П
尤什克维奇
(
Юш
keB
Ич
)
对斐波那契著作的基本原理作过仔细的探讨．
1
．
《算盘书》
这里的“算盘”
(abacus)
不是指古老的算盘或沙盘，而是指一般计算．从
13
世纪到
15
世纪，该书有过
12
种版本，但是，只有
13
世纪和< br>14
世纪初的
3
种版本是完整的．该书有
15
章，分四部分．
第一部分，第
1
—
7
章 ．斐波那契首先讲述罗马数码和指算法，然后介绍印度数码，按
照阿拉伯方式，个位“在前面”
(
在右边
)
，分数在整数的左边．此外，他引进了分数中间的
那条横杠．计算 方法是通过数值的例子讲授的，并且多用去九法核对结果
(
也常用去七法和
去
11
法
)
．书中还给出把分数分解为单位分数的规则，引进了多种表示分数
第二部分，第
8
—
11
章．这部分是与商人有 关的问题，例如货物的价格、利润、物物交换、
利息、工资、合股分红、货币兑换等．其中的“百鸡问题 ”
，可能受到中国的影响．它实际
是一个不定方程问题．
第三部分，第
12
—
13
章．这部分内容最为广泛，包活 许多怪题、难题．例如：
(1)
“水
池问题”
：一只蜘蛛每天沿水池的墙向上 爬若干英尺，每天晚上往回爬若干英尺，问它多长
时间能爬出来？
(2)
“兔和狗问题 ”
：
狗不仅往前追而且也往回跑；
速度不是常数而是依算术
级数增加的．问狗 多长时间能追上兔？
(3)
“给与取问题”
：有两个或多个人，
他们中的一个
向其他人中的一个或几个要一定数量的钱，并且知道此时这个人的钱和其他人的钱的比例，
求原 来的钱数．一个简单的例子是：
x
＋
7=5(y-7)
，
y+5=7 (x-5)
．
(4)
“求钱数问题”
：两个
或多个人得到一笔钱，< br>并且知道每个人的钱占总钱数的比例，
求每个人的钱数．
对于
3
个人，
有如下的表达式：
①
x
＋
b=2(y
＋
z)
，
②
y
＋
b=3(x+z)
；
③
z+b=4(x +y)
．
这也是不定方程问题．
还
1
有一组更为广泛流 传的问题，被称做
“单独一个人不能买”
，
说的是：几个人中的任何一个，
只 有当他从别人手中得到一部分钱时，
才能买到某件东西．
这组题有各种变异，
甚至可以 涉
及
7
个人．
5
匹马．以一个仅涉及
3
个人的问题 为例，其方程可写为
书中包含很多余数问题，
例如求满足条件
n
≡
1(mod
2
，
3
，
4
，
5
和
6)
≡
0(mod
7)
的
n
．
另
外，斐波那契还提出 了一个极为有趣的“兔子问题”
，即：
“由一对兔子开始，一年后可以繁
殖成多少对兔 子？”其中假定：
“每对大兔每月能生产一对小兔，而每对小兔生长两个月就
成大兔．
”
斐波那契在运用特殊的方法解决特殊问题方面，
具有惊人的技巧；
他还常常巧妙地引进
辅助未知数．在其他场合，则使用一般的方法，如简单试 位法，反演法，双试位法等．
书中表明，
斐波那契 已注意到负数．
他给出了诸如
22
＋
(
－
9)
＝< br>22
－
9
和－
1
＋
11
＝＋
10< br>的运算．
第四部分，
第
14
，
15
章．
第
14
章依印度－阿拉伯算法讲授求平方根和立方根的 数值方
法，与现代的方法基本一致．他已懂得在被开方数
/2a1
．对于立方根
第一个近似是
虽然纳萨维
(al
－
Nasawi)
已经知道第一个近似，
但进一步的近似则是斐波那契首先发现
的．
他在该章中实现了欧几里得无理量的完整的运算，< br>并且对计算的正确性给出几何式的证
明．
第
15
章分
3
节．
第
1
节讲比例及它们的各种变换． 例如，
在一个问题中给定：
(1)6
∶
x
＝
y
∶< br>9
；
(2)x
＋
y=21
．从
(1)
得xy=54
；然后利用《几何原本》第
2
卷第
5
个命题，得
和
x-y=15
．
从而解得
3
和< br>18
．第
2
节先讲毕达哥拉斯定理的应用；然后是许多不同类型的问题，
例如：给定
32+42=25
，解不定方程
x2
＋
y2=25．此外
容器内的水会溢出多少．
第
3
节给出花拉子米的六种类型的二次方程：
ax2=bx
，
ax2=c
，
bx=c
，
ax2
＋
bx=c
，
ax2
＋
c=bx
和
ax2
＝
bx+c
；
然后对它们作精 确的数值计算．
斐波那契在这里还讲
到能归结为二次方程的高次方程，例如
(1)y= 10/x
，
(2)z=y2/x
和
(3)z2=x2
＋
y2
被给定，就
导至
x8
＋
100x4=10000
．
当涉及几个未知数时，
斐波那契以
radix
和
res
代表
x
和
y
，
以
pars
代表第三个未知数；有时，又把两个未 知数的和定作
res
；对于
x2
，用
quadratus
，
census
或
avere
表示；对于
x3
，用
c ubus
表示
；对于
x4
，用
census decensu
或
censum census
表示，等等．常数项被称作
n umerus
，
denarius
或
dragma
．
2
．
《实用几何》
这是斐波那契的第二部著作，
在罗马、
巴黎等地存有九个抄本．
斐 波那契在这部著作中
不仅通俗地讲授量度问题，
还讲了一些几何的证明方法．
《实用几 何》
分
8
章，
并冠以绪论．
在
2