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2021年2月1日发(作者：降价)
《数学》
（八年级上册）知识点总结（北师大版）

《数学》
（八年级上册）知识点总结（北师大版）

第一章

勾股定理

1
、勾股定理
-----
已知直角三角形，得边的关系

直 角三角形两直角边
a
，
b
的平方和等于斜边
c
的平方，即< br>a

b

c

2
、勾股定理的逆定理
-----
由边的关系，判断直角三角形
< br>如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
有关系
a< br>
b

c
，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数
：满足
a

b

c
的三个正整数a
，
b
，
c
，称为勾股数。

常见的勾股数< br>有：
（
6,8,10
）
（
3,4,5
）
（< br>5,12
，
,13
）
（
9,12,15
）
（
7,24,25
）
（
9,40,41
）……

2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
规律：
（
1
）
、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直 角边的
平方。即当
a
为奇数且
a
＜
b
时，如果b

c

a
，那么
a,b,c
就是一组勾股数
.
如：
（
3,4,5
）
（
5,12
，< br>,13
）
（
7,24,25
）
（
9,40,41）……

（
2
）大于
2
的任意偶数，
2n(n
＞
1)
都可构成一组勾股数分别是：
2
n
,
n
1,
n

1

如：
（
6,8,1 0
）
（
8,15,17
）
（
10,24,26
）… …

4
、常见题型应用：

（
1
）已知任意两条边 的长度，求第三边
/
斜边上的高线
/
周长
/
面积……

（
2
）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度
//
斜边上的高线
/
周长
/
面
积……

（
3
）判定三角形形状：

2
2
2
a2

b
2

c
2

锐角三角形，a
2

b
2

c
2
直角三角形，a
2

b
2

c
2
钝角三角形


判定直角三角形

a..
找最长边；
b.
比 较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；
c.
确定形状



第二章

实数

1.
无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。


1
《数学》
（八年级上册）知识点总结（北师大版）



算 术平方根定义如果一个非负数
x
的平方等于
a
，即
x
2
a

那么这个非负数

x
就叫做
a
的算术平方根，记为
a
，

算术平方根为非负数
a

0





平方根

正数的平方根有
2
个，它们互为相反数


0
的平方根是
0





负数没有平方根
2
.
无理数 的表示


定义：如果一个数的平方等于
a
，即
x
2

a
，那么这个数就


叫做
a
的平方 根，记为

a




正数的立方根是正数


立方根


负数的立方根是负数





0
的立方根是
0


定义：如果 一个数
x
的立方等于
a
，即
x
3

a，那么这个数
x




就叫做
a
的 立方根，记为
3
a
.

概念有理数和无理数统称实数




正数

分类

有理数




3
.
实数及其相关概念

< br>或

无理数

0




负数

绝对值、相反数、倒数的意义同有理数


实数与数轴上的点 是一一对应


实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则




运算规律相同。

一、实数的概念及分类

1
、实数的分类





正有理数

有理数


0


有限小数与无 限循环小
数
实数





负有理数



无理数


正无理数
实数

正实数

0



负无理数< br>
无限不循环小数











负实数



2

《数学》
（八年级上册）知识点总结（北师大版）








2
、无理数：
无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（
1
）开方开不尽的数，如
7
,
3
2
等根号
a
（
a
为非完全平方数或非立方数）
。

（
2
）有特 定意义的数，如圆周率
π
（
π
=3.14159265
…
)
，或化简后含有
π
的数，如
π
+8
等；

3
（
3
）有特定结构的数，如
0.1010010001
…；
0.585885888588885
……
(
相邻两个
5
之间8
的个数
逐次加
1
等；

（
4
）某些三角函数值，如
sin60
等；


二、实数的倒数、相反数和绝对值

1
、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）
，从数
轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果
a
与
b
互为相反 数，则有
a+b=0
，
a=
—
b
，反之亦成立。

2
、绝对值

在数轴上，
一个数所对应的点与原点的距离，
叫做该数的绝对值。
（
|a|
≥
0
）
。
零的绝对值 是它本
身，也可看成它的相反数，若
|a|=a
，则
a
≥
0
；若
|a|=-a
，则
a
≤
0
。

3
、倒数

如果
a
与
b
互为倒数，则有< br>ab=1
，反之亦成立。倒数等于本身的数是
1
和
-1
。零没 有倒数。

4
、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数 轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不
可）
。


3
o
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解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5
、估算
.


注意：
（
1
）近似计算时，中间过程要多保留一位；

（< br>2
）要求记忆：
2

1
.
414


三、平方根、算数平方根和立方根

1
．平方根和算术平方根：

2
（
1
）概念：如果
x

a
，那么
x
是
a
的平方根，记作：< br>
a
；读作“正、负根号
a
”
，

3

1
.
732


5

2
.
2
3
6
.
其中
a
叫做
a
的算术平方根，读作根号
a
。

（2
）性质：①当
a
≥
0
时，
a
≥
0< br>；



当
a
＜０时，
a
无意义；

②



a
＝
a
；





③

2
a
2

a

。
（区分②、③）

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（
3
）开平方：求一个数
a
的平方根的运算，叫做开平方。



a

0

（开平方的被开方数的条件）
注意

：
a
的双重非负性：




a

0

（算术平方根的非负性）
2
．立方根：

3
（
1< br>）概念：若
x

a
，那么
x
是
a
的 立方根（或三次方根）
，记作：
3
a
；


（2
）性质：①
3
a
3

a
；




②


3
a
3

a
；



③
3

a
＝

3
a


性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：
3

a


3
a
，

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

区分：
平方根
、
立方根的性质

根源：
开平方是平 方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非

负数才可以开 平方，因此一个非
0
正数开平方后有
2
个；而任何数的立方后的符号与原数的

符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有
1
个，符号与 原数的符号也一

致。

四、实数大小的比较

1
、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右


4
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边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表

示的数大。

2
、实数大小比较的几种常用方法

（
1
）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（
2
）求差比较：设
a
、
b
是实数，
< br>a

b

0

a

b
,< br>
a

b

0

a

b
,

a

b

0

a

b

（
3
）求商比较法：设
a
、
b
是两正实数，
a
a
a

1

a

b
;

1

a

b
;

1

a

b
;

b
b
b
（
4
）绝对值比较法：设
a
、
b
是两负实数，则
a

b

a

b
。

（
5
）
平方法
：

①

设

a

0,
b

0
，则

a

b

a

b

②

设

a

0,
b

0
，则

a

b

a

b
。

③

同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。

如：比较

2
2
2
2
3
6
与3.4
；
3
6
与
53

2
（
6
）
倒数法
：设
a

0,
b

0

，则
a

b



规律：同号取倒（数）反向

五、算术平方根有关计算（二次根式）

1
、含有二次根号“
2
、性质：

（
1
） 非负性
1
1
1
1

；设
a

0,
b

0

，则
a

b



a
b
a
b
”
；

被开方数
a< br>必须是非负数，即：
a
中
a

0
。

a

0

2
（
2
）
(
a
)

a
(
a

0
)

（

a

2
中前提，被开方数
a

0）


a
,(
a

0)
（
3
）
a

a


（

a
, (
a

0)

2
a
2
中隐含被开方数a
2

0
）

（
4
）
ab< br>
a

b
(
a

0
,
b< br>
0
)
；
（
a

b

ab
(
a

0
,
b

0
)
）
（前提根号要有意义）


5
《数学》
（八年级上册）知识点总结（北师大版）

（
5
）
a
a
（

(
a

0
,
b

0
)

；
b
b
a
b

a
（前提式子和根号要有意义，
）

(
a
0
,
b

0
)
）
b
拓展：
三 个重要非负数：

a
2

0,
a

0,< br>a

0

.
注意：
非负数之和为
0


它们都是
0.
3
、运算结果若含有“
a”形式，必须满足：
（
1
）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2
）被开
方数中不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

（
1
）六种运算：
加、减、乘、除、乘方


、
开方

（
2
）
实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（
3
）运算律

加法交换律

a

b

b

a

加法结合律

(
a

b
)

c

a

(
b

c
)

乘法交换律

ab

ba

乘法结合律

(
ab
)
c
a
(
bc
)

乘法对加法的分配律

a
(
b

c
)

ab

ac

（
4
）
与实数有关的概念：

在实数范围内，相反数，倒数 ，绝对值的意义与有理数范围内的意义完
全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，< br>即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。


第三章

位置的确定

一、

在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念

1
、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做
x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做
y
轴或纵轴，取向上为正方向；
x< br>轴和
y
轴统称坐标

6
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轴。它们的公共原点O
称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2
、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被
x
轴和
y
轴分割而成的 四个部分，分别叫做第
y
一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：
x
轴和
y
轴上的点（坐标轴上的点）
，不属于任何一个象限。

三
一
0
二
四
x
3
、点的坐标的概念< br>
对于平面内任意一点
P,
过点
P
分别
x
轴 、
y
轴向作垂线，垂足在上
x
轴、
y
轴对应的数
a
，
b
分
别叫做点
P
的横坐标、纵坐标，有序数对（
a
，
b
）叫做点
P
的坐标。

点的坐标用（
a
，
b
）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间

有“，
”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，

a
0
当
a

b
时，
（
a
，b
）和（
b
，
a
）是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。

4
、不同位置的点的坐标的特征

（
1
）
、各象限内点的坐标的特征

（结合图形，过点P
分别
x
轴、
y
轴向作垂线，垂足在上
x
轴、
y
轴对应的数
x
,
y
在坐标轴的正
向为正，负向为 负）


点
A
(
x
1
,
y
1
)
在第一象限

x
1

0,
y
1

0

点
B
(
x
2
,
y
2
)
在第二象限

x
2

0,
y
2

0

点
C
(
x
3
,
y
3
)
在第三象限

x
3

0,
y
3

0

点
D
(
x
4
,
y
4
)
在第四象限

x
4

0,
y
4

0

（
2
）
、坐标轴上的点的特征

点
P(x,y)< br>在
x
轴上

y

0
，
x
为 任意实数

点
P(x,y)
在
y
轴上

x

0
，
y
为任意实数

P
y
b< br>x
(-,+)
x
3
C
y
B
y
y1
y
2
x
1
y
3
y
4
(+, +)
A
x
4
x
D
(+,-)
x
2
0
(-,-)
B
(0,
y
2
)
C
(
x
3
,0)
0
A
(
x
1
,0)
D
(0,
y
4
)
x
点
P(x,y)
既在< br>x
轴上，又在
y
轴上

x
，
y
同时 为零，即点
P
坐标为（
0
，
0
）即原点

（
3
）
、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)
在第一、三象限夹角平分线（直线
y=x
）上

x
与
y
相等

点
P(x,y)
在第二、四象限夹角平 分线上

x
与
y
互为相反数

（
4
）
、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征


y
C
0
45°
45°
A
x
B
D
7

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