数论 最大公约数与最小公倍数(知识点+例题)
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 07:45
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最大公约数与最小公倍数
本讲重点解决与最大公约数和最小公 倍数有关的另一类问题——有关两个自然数
.
它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的 问题。
定理
1
两个自然数分别除以它们的最大公约 数，所得的商互质
.
即如果（
a
，
b
）
=d
，那么（
a
÷
d
，
b
÷
d
）＝
1
。
证明：设
a
÷
d=a
1
，
b
÷
d=b
1
，那么
a
＝
a
1
d
，
b=b
1
d
。
假设（
a
1
，
b
1
）≠
1，可设（
a
1
，
b
1
）＝
m
（
m
＞
1
），于是有
a
1
=a
2
m
，
b
1
＝
b
2
m.
（
a
2，
b
2
是整数）
所以
a=a< br>1
d
＝
a
2
md
，
b
＝
b
1
d
＝
b
2
md
。
那么
md
是
a
、
b
的公约数。
又∵
m
＞
1
，∵
md
＞
d。
这就与
d
是
a
、
b
的最大公约数相矛盾
.
因此，（
a
1
，
b
1
）≠
1
的假设是不正确的
.
所以只能是（
a
1< br>，
b
1
）
=1
，也就是（
a
÷
d< br>，
b
÷
d
）＝
1
。
定理
2
两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积
.
（证明略）
定理
3
两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数
.
（证明略）
下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。
例
1
甲数是
36
，甲、乙两数的最大公约数是
4
，最小公倍数是
288
，求乙数
.
解法
1
：由甲数×乙数
=
甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得
36
×乙数
=4
×
288
，
乙数
=4
×
288
÷
36
，
解出
乙数
=32
。
答：乙数是
32
。
解法
2
：
因为甲、
乙两数的最大公约数为
4
，
则甲数
=4
×
9
，
设乙数
=4
×
b
1
，
且< br>（
b
1
，
9
）
=1
。
因为甲、乙两数的最小公倍数是
288
，
育博远教育
QQ:1304180943
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最大公约数最小公倍数
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则
288
＝
4
×
9
×
b
1
，
b
1
＝
288
÷
36
，
解出
b
1
＝
8
。
所以，乙数
=4
×
8=32
。
答：乙数是
32
。
例
2
已知两数的最大公约数 是
21
，最小公倍数是
126
，求这两个数的和是多少？
解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少
.
设这两个数为< br>a
、
b
，
a
＜
b
。
因为这两个数的最大公约数是
21
，故设
a=21a
1< br>，
b
＝
21b
1
，且（
a
1
，b
1
）＝
1
。
因为这两个数的最小公倍数是
126
，
所以
126=21
×
a
1
×
b
1
，
于是
a
1
×
b
1
=6
，
因此，这两个数的和为
21
＋
126=147
，或
42
＋
63=105
。
答：这两个数的和为
147
或
105
。
例
3
已知两个自然数的和是
50
，它们的最大公约数是
5
，求这两个自然数。
解：设这两个自然数分别为
a< br>与
b
，
a
＜
b.
因为这两个自然数的最大公约数是< br>5
，
故设
a=5a
1
，
b=5b
1
，且（
a
1
，
b
1
）
=1
，
a< br>1
＜
b
1
。
因为
a
＋
b=50
，
所以有
5a
1
+5b
1
=50
，
a
1
+b
1
=10
。
满足（
a
1
，
b
1
）
=1
，
a
1
＜
b
1
的解有：
育博远教育
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最大公约数最小公倍数