最大公约数和最小公倍数
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2021年02月01日 12:26
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短歌行原文-白居易的琵琶行
最大公约数和最小公倍数
知识对对碰
1.
基本知识
(1)
约数与最大公约数
< br>几个数公有的约数，
叫做这几个数的公约数，
所有的公约数中最大的一个叫做这几个数< br>的最大公约数。
自然数
a
，
b
的 最大公约数记作
(a
，
b)
，例如
(12
，
8)= 4
，
(4
，
6
，
10) =2
。
如果
(a
，
b)=l
，则
a
与< br>b
互质。如果
a
是
b
的倍数，则（
a
，b
）
=b
。
自然数
a
能被 自然数
b
整除，则称
a
是
b
的倍数，
b
是
a
的约数。
(2)
倍数与最小公倍数
几个自然数公有的倍数，
叫做这几个数的公倍数。
公倍数中最小的一个叫做这几个数的
最小公倍数。一般用符号
[a
，
b]
表示
a
，b
的最小公倍数，例如：
[4
，
10] =20
。
(3)
求解方法
①求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。
②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。
2.
性质
(1)
两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。
如果 （
a
，
b
）
=d
，
c|d
，那么
c|a
，
c|b
。
(2)
两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。
如果
(a
，
b)=d
，那么（a÷d，
b
÷d）
=1
。
(3)
若一个数
c
能同时被两个自然数< br>a
，
b
整除，
那么
c
一定能被这两个数的最小公倍数
整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
(4)
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例
1
(★)已知两个数分别是
4
和
B
，已知
4
=2×2×3×5．B=2×3×3×5，求
A
，
B
的最大公
约数。
例
2
(★)一箱图书可以平均分给
2
，
3
，
4
，
5< br>，
6
名小朋友，这箱图书最少有多少本？
例
3
(★)三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分 钟，
45
秒钟和
1
分
15
秒钟，三人同时从起点出发，最少 需要多长时间才能再次同时在起点相会？
例
4
(★)在
1500 -8000
之间能同时被
12，
18
，
24
和
42
四个数整除的自然数共有多少个？
例
5
(★)将一块长
3.57
米，宽
1.05< br>米，高
0.84
米的长方体木料，锯成同样大小的正方体
小木块，问当正方体的 边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？（不计锯时的损耗，
锯完后木料不许有剩余）
例
6
(★)加工某种机器零件 ，
要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成
6
个零件，
第 二道工序每个工人每小时可完成
10
个零件，
第三道工序每个工人每小时可完成
15
个零件，
要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。
例
7
(★★)有
3
根钢管，其中第 一根的长度是第二根的
1.6
倍，是第三根的一半，第三根比
第二根长
220
厘米。
现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，
问共可以截成多少段。
例
8
(★★)四
(1)班学生分组做游戏，
如果每
3
人一组就多出
1
人，
如果 每
4
人一组就多出
2
人，如果每
5
人一组就多出
3
人。问：这个班至少有多少个学生？
例
9
(★★)一支队伍不超过
1000
人，列队时分别按
2
人、
3
人、
4
人、
5
人、
6
人一 排，最
后一排都缺
1
人，改为
7
人一排时正好。问：这支队伍共有多 少人？
例
10
(★ ★)用自然数
a
去除
374
，
410
，
464，得到相同的余数。
a
最大是多少？
例
11
(★★★)两个自然数的差是
27
，它们的最大公 约数与最小公倍数的和是
1179
。那么这
两个数的和是
_________
。