约数与倍数(一)(含详细解析)
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 12:38
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小学奥数特训营
5-4-1.
约数与倍数（一）
教学目标
1.
2.
本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。
本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，
（
2
）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟
“
任何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
...
△
☆
的结构， 而
且表达形式唯一
”
例如：
（
1
）约 数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
知识点拨
一、
约数、公约数与最大公约数概念
(1 )
约数
:
在正整数范围内约数又叫因数
,
整数
a
能 被整数
b
整除，
a
叫做
b
的倍数，
b
就叫 做
a
的约数；
(2)
公约数
:
如果一个整数同时 是几个整数的约数，称这个整数为它们的
“
公约数
”
；
(3)
最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)0
被排除在约数与倍数之外
1
．
求最大公约数的方法
①
分解质因数法
：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例 如：
231
3
7
11
，
2 52
2
2
3
2
7
，所以< br>(231
,252)
3
7
21
；
218
12
②
短除法：
先找出所有共有的约数，然后 相乘．例如：
3
9
6
，所以
(12,18)
2< br>
3
6
；
3
2
③
辗转 相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：
先用小的一个数除大的一个数，
得第一个余数；
再用第一个余数除小的一个
数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐 次用后一个余数去除前一个余数，直
到余数是
0
为止．
那么，
最后一 个除数就是所求的最大公约数．
(
如果最后的除数是
1
，那么原来的两个数是 互质
的
)
．
例如，求
600
和
1515
的最大公约数：
1515
600
2
315；
600
315
1
285
；
31 5
285
1
30
；
285
30
9
15
；
30
15
2
0
；所以
1515
和
600
的最大公约数是
15< br>．
2
．
最大公约数的性质
①
几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②
几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③
几个数 都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n
．
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3
．
求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分 母的最小公倍数
a
；求出各个分数的分子的最大
b
公约数
b
；
即为所求．
a
4
．
约数、公约数最大公约数的关系
（
1
）约数是对一个数说的；
（
2
）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)
倍数
:
一个整数能够 被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
(2)
公倍数
:
在 两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数
(3)
最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1.
求最小公倍数的方法
①
分解质因数的方法；
例如：
231
3
7
11
，252
2
2
3
2
7
， 所以
231,252
2
2
32
7
11
2772
；
②
短除法求最小公倍数；
218
12
例如：
3
9
6
，所以
18,12
2
3
3
2
36
；
3
2
a
b
③
[
a
,
b
]
．
(
a
,
b
)
2.
最小公倍数的性质
①
两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②
两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③
两个数具有倍 数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3.
求一组分数的最小公倍数方法步骤
b
先将各个分数化为假分数；求出各个分 数分子的最小公倍数
a
；求出各个分数分母的最大公约数
b
；
即为< br>a
3
5
[3,5]
15
所求．例如：
[
,< br>]
4
12
(4,12)
4
1
4
1,4
4
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数
.
例如：< br>
,
2
3
2,3
4
．
倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（
1
）倍数是对一个数说的；
（
2
）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1
．
两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
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如果
m
为
A
、
B
的最大公约数，且
A
ma
，
B
mb
，那么
a
、
b
互质，所以
A
、
B
的最小公倍数为
mab
，< br>所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①
A
B
ma
mb
m
mab
，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②
最大公约 数是
A
、
B
、
A
B
、
A
B
及最小公倍数的约数．
2
．
两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
(
a
,
b
)
[
a
,
b
]
a
b
，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3
．
对于任意
3
个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a
)
奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如 ：
5
6
7
210
，
210
就是
567
的最小公倍数
b
)
偶奇偶，那么这三 个数的乘积等于这三个数最小公倍数的
2
倍
例如：
6
< br>7
8
336
，而
6,7,8
的最小公倍 数为
336
2
168
性质（
3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即
“几个
数最小公倍数一定不会比他们的乘积大
”
。
四、求约数个数与所有约数的和
1
．
求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质 因数的指数
(
次数
)
加
1
后所得的乘积。
如
:1400
严格分解质因数之后为
2
3
5
2
7
，
所以它的约数有
(3+1)×
(2+1) ×
(1+1)=4×
3×
2=24
个。
(
包括
1
和
1400
本身
)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，
授 课时应重点讲解，
公式的推导过程是建立在开篇讲过的数
字
“
唯一分解定理< br>”
形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点< br>在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约 数，
然后再结合其他几个条件将原数
“
还原构造
”
出来，或者是“
构造出可能的最值
”
。
2
．
求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，< br>将它的每个质因数依次从
1
加至这个质因数的最高次
幂求和，然后再将这些得到 的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：
21000
2
3
3
5
3
7
，所以21000
所有约数的和为
(1
2
2< br>2
2
3
)(1
3)(1
5< br>
5
2
5
3
)(1
7)
74880
此公式没有第一个公式常用，
推导过程相对复杂，
需要许多步提取公因式，
建议帮助学生找规律性的记忆即
可。
例题精讲
模块一、求最大公约数
【例
1
】
把一张长
1
米
3
分 米
5
厘米、宽
1
米
5
厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块， 而没有剩余，问：能裁
成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
小学奥数特训营
【考点】求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
要
把一张长方形的纸裁成同样大小的正 方形纸块，
还不能有剩余，
这个正方形纸块的边长应该是长方形
的长和宽的公约数．< br>由于题目要求的是最大的正方形纸块，
所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的
最大公 约数．
1
米
3
分米
5
厘米＝
135
厘米，
1
米
5
厘米＝
105
厘米，
(135,105)< br>
15
，长方形纸块的面积
为
135
105
14175
(
平方厘米
)
，正方形纸块的面积为15
15
225
(
平方厘米
)
，共可裁成正方形纸块
14175
225
63
(
张
)
．
【答案】边长
15
，裁成
63
块
【
巩
固
】
一
个房间长
450
厘 米，
宽
330
厘米．
现计划用方砖铺地，
问需要用边长最大为多少厘 米的方砖多少块
(
整
块
)
，才能正好把房间地面铺满？
【考点】求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
要
使方砖正好铺满地面，房间的长和宽 都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、
宽厘米数的公约数．
由于题中要 求方砖边长尽可能大，
所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．
450
和
330
的最大公约数是
30
．
450
30
15
，
330
30
11
，共需
1 5
11
165
(
块
).
【答案】边长
30
，需要
165
块
【例
2
】
将一个长和宽分别是是
1833
厘米 和
423
厘米的长方形分割成若干修正在方形，
则正方形最少是
（
）
个。
（
A
）
78
（
B
）
7
（
C
）
5
（
D
）
6
【考点】求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛，第
3
题
【解析】
本
题不是求
1833
与
423
的最大公约数，
因为题目没有强 调是相同正方形，
所以应该用辗转相处法，
求商，
因为
1833
< br>423=4
141
，所以先切成
423
423
的共 有
4
个
剩下长方形
141
423
的< br>423
141=3
，所以
应该还可以切成
3
个，所 以一共有
4
3=7
个，选择
B
【答案】
B
【例
3
】
如 图，某公园有两段路，
AB
＝
175
米，
BC
＝
1 25
米，在这两段路上安装路灯，要求
A
、
B
、
C
三点各
设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯
___个
.
【考点】
求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第
7
题
【解析】
< br>1
75
与
125
的最大公约数为
25
，所以取
25
米为两灯间距，
175
＝
25×
7
，
125
＝
25×
5
，
AB
段应按
7
＋
1
＝
8
盏灯，
BC
段应按
5
＋
1
＝
6
盏灯，但在
B
点不需重复按灯，故共需安装
8
＋
6
－
1
＝
13
（盏）
【答案】
13
盏
【例
4
】
把
20
个梨和
25
个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下
2
个，而苹果还缺
2
个，一共最多有多少个小
朋友？
【考点】求最大公约数
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
此
题相当于梨的总数是人数的整数倍还 多
2
个，
苹果数是人数的整数倍还缺
2
个，
所以减掉
2
个梨，
补
充
2
个苹果后，
18
个梨和
27
个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是
18
和
27
的公约数， 要求最多的
人数，即是
18
和
27
的最大公约数
9
了．