【奥赛】小学数学竞赛：约数与倍数(一).教师版解题技巧培优易错难
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 12:49
最佳经验
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教学目标
本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。
本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，
例如：
(1
)
约数、公约数、最大公约数；倍
数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
1.
2.
(
2
)
整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟
“任何一个数字都可以表示为
△
△
...
△
的结构，
而且表达形式唯一
”
☆
☆
☆
知识点拨
一、
约数、公约数与最大公约数概念
(1)
约数
:
在正整数范围内约数又叫因数
,
整数
a
能被整数
b
整除，
a
叫做
b
的倍数，
b
就叫做
a
的约数；
(2)
公约数
:
如果一个整数同时是几个整数
的约数，称这个整数为它们的
(3)
最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)
0
被排除在约数与倍数之外
“公约数
”；
1
．
求最大公约数的方法
①
分解质因数法
：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：
231 3 7 11
，
252 2
2
3
2
7
，所以
(231,252) 3 7 21
；
218 12
②
短除法：
先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
39 6
，所以
(12,18) 2 3 6
；
32
③
辗转相除法：
每一次都用除数和
余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相
除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用
小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第 一个余数除
小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一
个余数，得第三个余 数；这样逐次用后一个余数去除前
一个余数，直到余数是
0
为止．那么，最后一个除数就是所
求的最大公约数．
(
如果最后的除数是
1
，那么原
来的两个数是互质的
)
．
例如，求
600
和
1515
的最大公约数：
1515 600 2L 315
；
600 315 1L 285
；
315 285 1L 30
；
285 30 9L
15
；
30 15 2L 0
；所以
1515
和
600
的最大公约数是
15
．
2
．
最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数
的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n
．
3
．
求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数
a
；求出各个分数的分子的
最大公
约数
b
；
b
即为所求．
a
4
．
约数、公约数最大公约数的关系
1
)
约数是对一个数说的；
2
)
公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
、倍数的概念与最小公倍数
(1)
倍数
:
一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
(2)
公倍数
:
在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些 倍数就叫做它们的公倍数
(3)
最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1.
求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
22
例如：
231 3 7 11
，
252 2
2
3
2
7
，所以
231,252
②短除法
2
2
3
2
7 11 2772
；
求最小公倍数；
218 12
22
例如：
39 6
，所以
18,12 2 3 3 2 36
；
32
ab
(a,b)
③
[a,b]
2.
最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两
个数具有倍数关系， 则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3.
求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；
求出各个分数分子的最小公倍数
a
；求出各个分数分母的最大公约数
为所求．例如：
[
3
4
,
1
5
2
]
(
[
4
3
,
,
1
5
2
]
)
1
4
5
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数
1 4 1,4
1
,
4
.
例如：
2
,
4
3
2
,
3
4
1
b
；
b
即
a
4
．
倍数、公倍数、最小公倍数的关系
(
1
)
倍数是对一个数说的；
(
2
)
最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1
．
两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果
m
为
A
、
B
的最大公约数，且
A ma
，
B mb
，那么
a
、
b
互质，所以
A
、
B
的最小公倍数为
mab
，
所
以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①
A B ma mb m mab
，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是
A
、
B
、
A B
、
A B
及最小公倍数的约数．
2
．
两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于
这两个数的乘积。
即
(a,b) [a,b] a b
，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3
．
对于任意
3
个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)
奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小
公倍数
例如：
5 6 7 210
，
210
就是
567
的最小公倍数
b
）
偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的
2
倍
例如：
6 7 8 336
，而
6,7,8
的最小公倍数为
336 2 168
性质（
3
）不是一个常见考点，
但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，
即“几
个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大
”。
四、求约数个数与所有约数的和
1
．
求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数
积。
如
:1400
严格分解质因数之后为
2
3
5
2
7
，所以它的约数有
（
3+1
）
×
（
2+1
）
（
×
1+1
）
=4
×
3
×
2=24
个。
（
包括
1
和
1400
本身
）
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过
的数字
“唯一分解定理
”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌
握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有
多少个
约数，然后再结合其他几个条件将原数
“还原构造
”出来，或者是
“构造出可能的最值
”。
（
次数
）
加
1
后所得的乘
2
．
求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从
1
加至这个质因数的最
高次
幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：
21000 2
3
3 5
3
7
，所以
21000
所有约数的和为
2 3 2 3
（
1 2 2
2
2
3
）（
1 3
）（
1 5 5
2
5
3
）（
1 7
）
74880
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提< br>取公因式，建议帮助学生找规律性的记
忆即可。
模块一、求最大公约数
【例
1
】
把一张长
1
米
3
分米
5
厘米、宽
1
米
5
厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，
而没有剩余，
问：能
裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
【考点】求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还
不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长
方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大 的正方形纸块，所以
正方形纸块的边长是长方形的
长和宽的最大公约数．
1
米
3
分米
5
厘米＝
135
厘米，
1
米
5
厘米＝
105
厘米，
（
135,105
）
15
，长方
形纸块的面积为
135 105 14175
（
平方厘米
）
，正方形纸块的面积为
15 15 225
（
平方厘
米
）
，共可
裁成正方形纸块
14175 225 63
（
张
）
．
【答案】边长
15
，裁成
63
块
【巩固】一个房间长
450
厘米，宽
330
厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少
块
（
整块
）
，才能正好把房间地面铺满？
【考点】求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边
长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间
长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长 尽可能大，所以方砖
边长应为房间长与宽的最大公
约数．
450
和
330
的最大公约数是
30
．
450 30 15
，
330 30 11
，共需
15 11 165
（
块
）
.
【答案】边长
30
，需要
165
块
【例
2
】
将一个长和宽分别是是
1833
厘米和
423
厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是
（
）个。
（
A
）
78
（
B
）
7
（
C
）
5
（
D
）
6
【考点】求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛，第
3
题
解析】
本题不是求
1833
与
423
的最大公约数，因为题目没有强调是相同正方形，所以应该用辗转相处法，
求
商，因为
1833 423=4L L 141
，所以先切成
423 423
的共有
4
个
剩下长方形
141 423
的
423 141=3
，
所以应该还可以切成
3
个，所以一共有
4 3=7
个，选择
B
答案】
B
例
3
】
如图，某公园有两段路，
AB
＝
175
米，
BC
＝
125
米，在这两段路上安装路灯，要求
A
、
B
、
C
三点
各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯
___
个
.
【考点】
求最大公约数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第
7
题
【解析】
175
与
125
的最大公约数为
25
，所以取
25
米为两灯间距，
175
＝
25
×
7
，
125
＝
25
×
5
，
AB
段应按
7
＋
1
＝
8
盏灯，
BC
段应按
5
＋
1
＝
6
盏灯，但在
B
点不需重复按灯，故共需安装
8
＋
6
－
1
＝
13
（盏）
【答案】
13
盏
【例
4
】
把
20
个梨和
25
个苹果平均分给小朋友，
分完后梨剩下
2
个，而苹果还缺
2
个，一共最多有多少个
小
朋友？
【考点】求最大公约数
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多
2
个，苹果数是人数的整数倍还缺
2
个，所以减掉
2
个梨，
补
充
2
个苹果后，
18
个梨和
27
个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是
18
和
27
的公约数，要求
最多
的人数，即是
18
和
27
的最大公约数
9
了．
【答案】
9
人
【例
5
】
有
336
个苹果，
252
个桔子，
210
个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物
中，三样水果各多少？
【考点】求最大公约数
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，
有
（
336,252,210
）
42,
即可以分
42
份，每份中有
苹果
8
个，桔子
6
个，梨
5
个．
【答案】
42
份，每份中有苹果
8
个、桔子
6
个、梨
5
个
【巩固】教师节那天，某校工会买了
320
个苹果、
240
个桔子、
200
个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这
些
果品，最多可以分成多少份同样的礼物
（
同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼
此相等
）
？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
【考点】求最大公约数
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】因为
（
320,240,200
）
40
，
320 40 8
，
240 40 6
，
200 40 5
，所以最多可分
40
份，每份中有
8
个苹果
6
个桔子，
5
个鸭梨
.
【答案】可分
40
份，每份中有
8
个苹果
6
个桔子，
5
个鸭梨
.
模块二、约数
【例
6
】
2004
的约数中，比
100
大且比
200
小的约数是
。
【考点】约数
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第
4
题，
5
分
【解析】
2004=3
×
4
×
167
，所以结果为
167
【答案】
167
【例
7
】
过冬了，小白兔只储存了
180
只胡萝卜，小灰兔只储存了
120
棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃，
小灰
兔用十几棵大白菜换了小白兔的一 些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜
可以换
只胡萝卜。
【考点】约数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试，第
13
题
【解析】
方法一：若使他们存储粮食的数量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔
180 120 2=30
（只），
但是本
题需要去换，即若干次换完后要多
30
个胡萝卜即可，若想用十几颗大白菜换，而
30
里面只
有
15
这个约数是十
几，
所以需要换
15
次，，每次换后要多
30 15=2
（只），所以
1
棵白菜换了
2 1=3
只胡萝卜
方法二：设
1
棵白菜换
x
只胡萝卜，灰兔用
a
棵白菜换胡萝卜，则
a 10,20
，
180 ax a 120 a ax? a x 1 30 2 15
，∴
a 15
，
x 1 2
，∴
x 3
，