剧院魅影-皮卡丘大侦探

2021年2月1日发(作者：三顺)
图形的分割与组合

图形的分割与组合是几何学中一个非常有趣味的课题，
研 究图形的分割与组合问题不仅可以
增强几何图形的直观感觉和判断能力，
丰富对图形的想象力，
提高数学的思维能力，
而且还
有一定的实用价值，对工厂里的下料、工艺美术的图案设 计都有一定的用处．



例
1
将图
12
—
1
所示的图形分成两块，然后拼成一个正方形．









图
12
—
1












分析：如果我们假设每个 小正方形的边长是
1
个单位，要拼成的正方形的面积为
16
，所以
边 长为
4
．而这个缺角的长方形的长为
6
，宽为
3
，切分后将 右边向左平移
2
个单位，再向
上平移
1
个单位，作切分时应注意到缺 角的特点．


解：沿图
12
—
2
中的粗线将原图 分割开，把右块推至左块之上，拼成一个边长为
4
的正
方形，如图
12
—
3
．







例
2
将图
12
—
4
中的图形分成四个形状相同， 大小相等的四个部分，然后拼成一个正
方形．

分析：先考虑面积，因为
s< br>型图案由
16
个大小一样的小正方形组成，所以拼成的正方
形每边正好是
4
个小正方形．把图
12
—
4
分成大小相等的四个部分，每部分的 面积都是
4
个小正方形．

再考虑形状．如果能将图
12
—
4
先分成两个面积相等、形状相同的图形，然后再将其
中的一个再分成两个面积相等、 形状相同的图形
,
那么达到目的了．






将图
12
—
4
先分成两个面积相等、形状相同的图形比较 容易．只要沿图
12
—
4
中间的
那条横线的中间剪开即可，见图12
—
5
．现在再将图
12
—
5
分成两个面积 相等、形状相同
的图形，按图
12
—
5
粗线剪开即可．






解：按图
12
—
6< br>将它分成形状和面积都相同的四个部分，再按图
12
—
7
拼成一个正方
形．







例
3
有一块长
6
米、
宽
3
米的长方形地 毯，
现要把它放到长
4.5
米、
宽
4
米的房间中，
能否将它剪成形状相同，大小相等的两块，使其正好铺满房间．






分析：
因为原地毯的长比要拼成的长方形的长多
1.5
米，
宽少
1
米，
所以我们将原地毯
分成长
1.5
米 、宽
1
米的小长方形，如图
12
—
8
．这样分成
1 2
个小长方形．因为新的长方
形的长为
4.5
米、宽
4
米， 长应减少一个小长方形，宽应增





加一个小长方形 ．
可以沿对角线的方向把它剪成呈阶梯状的两块，
并使它们的形状和大
小完全相同，< br>如图
12
—
9
，
然后把它们错位对齐，
这样拼成了一 个新的长方形，
如图
12
—
10
．



解：按图
12
—
9
中的粗线将长方形分成两块，然后错位对齐，即可 拼成新的长方形，
见图
12
—
10
．



例
4
图
12
—
11
是一块正中间开有长方形孔的 长方形木板，尺寸如图所示（单位：厘
米）．把它锯成两块，拼成一个面积为
100
平 方厘米的桌面，如何切分．






分析：切 分前木板面积为
120×
90-80×
10=10000
（平方厘米），与拼 成后的正方形面
积相等．拼成的正方形的边长为
100
厘米．由于大长方形的长比正中 间的长方形的长的左
右分别长
20
厘米，正中间的长方形的宽为
10
厘米，因此先将图
12
—
11
分成
20×
10
的小
长方形，如图
12
—
12
．因为拼成的正方形的边长为
10 0
厘米，将原大长方形的长去掉一个




小长方形的长 ，宽增加一个小长方形的宽，
采用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，如 图
12
—
12
中的
粗线切分，最后拼成一个正方形，如图
1 2
—
13
．



解：
按图
12
—
12
中的粗线分成两块，
然后错位对齐，
即可拼成新的正方形，< br>如图
12
—
13
．


分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。


我们先来看一个简单的分割图形的题目
──
分割正方形。在正方形内用
4
条线段作
“
井
”
字形分割，可以把正方形分成大小相等的
9
块，这种图形我们常称为九宫格。






用
4
条线段还可以把一个正方形分成
10
块，只是和九宫格不同的是，每块的大 小不一
定都相等。那么，怎样才能用
4
条线段把正方形分成
10
块呢 ？请你先动脑筋想想，在动脑
的同时还要动手画一画，手和脑同时参与活动，才能互相弥补不足，更快地 寻找出答案。



其实，正方形是不难分割成
10
块的，下面就是其中两种分割方法。






想一想，用
4
条线段能将正方 形分成
11
块吗？应该怎样分？请你画一画。

1
．将图
12
—
18
分成两块拼成一个正方形．




2
．将图形
12
—
19
分 成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形．






3
．将一块长
6
米、宽
3.5
米的长方形剪成形 状相同、面积相等的两块，拼成一个长为
5
米、宽为
4.2
米的新的长方形．



4
．有一个长
100
厘米、宽
70
厘米的长方形桌面，中间损坏了一块．现在想在中间挖
去一个长
60
厘米，宽
10
厘米的小长方形，如图
12
—
20
，然后把它分成两块 ，拼成一个正
方形桌子，应怎么切拼？






5
．将图
12
—
21
所示的正方形分成两块，使得这两块的 形状和大小都相同，并且每一
块中只含有
a
、
b
、
c
、
d
、
e
五个字母．






6
．
如图
12
—
22
，
有两个 正方形．
请把每一个正方形分成两块，
两个正方形共分成四块，
使这四块的形状和大小 都相同，并且每一块中都有
1
、
2
、
3
、
4
四个数字．






答案仅供参考：



1
．切拼方法如图
12
—1’
．




2
．
因为小方格的个数是
36
个，
所以拼成的一 个正方形的边长为
6
个小方格，
将图
12-19
分成四个形状、大小 相同的图形，只需将图
12-19
从图的对称中心切开即可，如图
12-
2’
，
然后按照图
12-
3’
拼成一个正方形．









3
．因为新长方 形的长比原长方形的长少
1
米，宽多
0.7
米，因此将原长方形分成长为1
米，
宽为
0.7
米的小长方形，
如图
12-
4’
，
按阶梯形分法分成相同的两块，
然后错位对齐，
即可拼成一个新的长方 形，如图
12-
5’
．



4
．因为拼成的正方形的桌面的面积为：



100×
70-60×
10=6400
（平方厘米）



所以正方形的桌子的边长为
80
厘米．







原长方形的长减少
20
厘米，宽增加10
厘米．将原长方形分成长为
20
厘米，宽为
10
厘米的小长 方形，利用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，
按如图
12-< br>6’
中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图
12-
7’







5
．
图中有相同的字母挨在一 起时，
要从它们之间切开，
因此先在它们之间画上切分线，
然后将这些切分线绕中心点 旋转
180°
，
得到一些切分线，
根据切分线进行切分，
分成形状、
大小相同的两块，每块有
18
个小方格．本题有两种切法，如图
12-
8’
（
1
）、（
2
）．



6
．
把两个正方形叠在一起考虑．
为了便于区别，
将其中一组数字
1
、
2
、
3
、
4
改写为
a
、
b
、
c
、
d
，如图
12-
9’
，为





了使相同的数字不在同一块，可以先在它 们之间画切分线，然后绕中心
180°
又可以找
到一些切分线，根据这些切线将它分割 成大


第十讲

动手剪拼图形

一、剪剪拼拼



图形的分割与剪拼都需要一定的技巧，下面举例说明某些常用技巧的来路及依
据。

例
1
你能想出几种方法，将任意一个三角形分成面积相等的六个三角形？

分析：
把一个三角形分成面积相等的六个三角形，根据等底等高的三角形面积相等
这一 结论。只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形即可。为此，只要把三角
形的任一边六等分，再将分 点与这边相对的顶点用线段连接起来，问题就解决了。



另外，
6=1
×
6=3
×
2=2
×
3
。
如果我们 把分得的每一个小三角形的面积看成
“
1
”
，
那么
1
×
6
就可看成把原三角形的面积直接六等分，而
3
×
2
可 看成先把原三角形的
面积二等分，再把其中的每一份分成面积相等的三个小三角形。同理，
2< br>×
3
可看成
先把原三角形分成三个面积相等的三角形，再把其中的每一个三角形 又分成两个面
积相等的小三角形。



除了上面的几种分法外，还 可以这样想，因为
6=1+5=2+4=3+3
。所以对

余下的三角形分成 五个面积相等的小三角形。对
6=2+4
而言，可先从原三角形

分出的三角 形和剩下的三角形分别分成
2
个和
4
个面积相等的小三角形，对
6= 3+3
可采用与上面类似的方法进行分割。

解法
1
将三角形的任 一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见
图
10-1
。


解法
2
以面积而言，先将原三角形二等分再三等分，或先将原三角形三等 分再二等
分。分法见图
10-2
。

解法
3
先将 原三角形分成两个三角形，
使它们面积比为
1
∶
5
或
2∶
4
或
3
∶
3
。
再将
面积为“
5
”、“
2
”、“
4
”、“
3
”的那个三角形分 成
5
个或
2
个或
4
个或
3
个面
积 相等的小三角形，分法见图
10-3
。







图
10-1
至图
10-3
中，在同一三角形中 ，标有相同符号的线段彼此相等。还有
别的分法，请读者自己给出。


例< br>2
把图
10-4
两个图形中的某一个，
分成三块，
最后都拼在 一起，
正好拼成一个正
方形，应怎么分与拼？


分析与解：
不管将图
10-4
中的哪一个图形如何分成三块，
最后拼得的正方形面积总
等于图
10-4
中两个图形面积之和。



图
1 0-4
中长方形的面积为：
100
×
50=5000
（平方厘米）< br>。
另一个图形的面积为：
100
×
70-40
×（
7 0-20
）
=5000
（平方厘米）。这两个图形的面积和为
10000（平方
厘米）。因此，拼得的正方形的面积也是
10000
平方厘米，其边长为< br>100
厘米。而
图
10-4
中的两个图形，
都正好有一边长< br>100
厘米。
为了方便，
可以用它们做正方形
的一条边，这样就有了下 面的一些剪法。



第一种，将图
10-4
中不规则的那 块图形，按图
10-5
中虚线所示分成三块，拼
得的正方形见图
10-6。





第二种，将图
10-4
中的长方形图形，按图
10-7
中虚线所示分成三块，拼得的
正方形见图
10 -8
。


例
3
有一块长
24
米、宽< br>15
米的长方形地毯，现在要把它移到长
20
米、宽
18
米的
新房间里去。问是否可以找到一种剪裁法，把长方形地毯分成形状与面积都一样的
两块，拼合后 正好能铺满新房间的地面？

分析与解：
地毯的面积为
24
×
15=360
（平方米），新房间地面面积为
18
×
20=360
（平方米），两者面积相等，但长、宽不等。因为
24
比
20
多
4< br>，
18
比
15
多
3
。所
以可先把地毯分成< br>30
个
4
×
3
（平方米）的长方形，具体分法见图
1 0-9
。把图
10-9
中最右边一列的五个小长方形，移到下边去，补成图
1 0-10
所示的形状，图
10-10
所示的地毯正好能铺满新房间的地面。





现在讨论如何将图
10
—
9所示图形，分成面积和形状都相同的两块，然后拼成
图
10
—
10
所示的长方形。



先考虑面积。将图
10
—
9
分成面积相等的两块，每块的面积为
180
平方米，也
就是
15< br>个
4
×
3
（平方米）的小长方形。再考虑形状。将
15
个大小一样的长方形，
象砌墙似的就可摆成图
10
—
11
所示的形 状，
然后适当移动上面四层小长方形的位置，
便可得图
10
—
12< br>所示的阶梯状图形，
两个图
10
—
42
那样的阶梯状图形，< br>上下
“咬”
在一起，就能拼成图
10
—
10
所示的长 方形。这就启发我们得到下面的剪拼方法。




按图
1 0
—
13
中粗实线，把地毯分成形状与面积都一样的两块，然后上下一移、
左 右一错便能拼成图
10
—
14
中所示的长方形，它正好能铺满新房间的地面。


例
4
图
10
—
15
中有两 个大小一样的正方形，现在要把每一个正方形都分成两块，
并要求被分得的四块的形状和大小都相同，且 每一块中都有
A
、
B
、
C
、
D
四个字母，
问应怎么分？


分析与解：
先将图
10
—
15
中（
a
）、（
b
）两个图形叠合在一起，为了便于区别，将< br>图（
a
）中的字母
A
、
B
、
C
、< br>D
改写为
a
、
b
、
C
、
d
，图（
b
）中的字母不变，得图
10
—
16
。因为要求分成 四块后，每块中只能有
A
、
B
、
C
、
D
四 个字母，所以相同字母必
须分开。因此，可在两个
A
、
B
、
C
、
a
、
b
、
c
之间画上粗实线，表示把它俩分开 ，见
图
10
—
16
。如果把一个正方形分成了符合要求的两个图形， 把这个图形绕正方形的
中心旋转
90
°、
180
°后所得出的图形仍 符合要求，现将图
10
—
16
绕正方形中心按
逆时针方向旋转
180
°，得图
10
—
17
。原在图
10
—16
的粗实线在图
10
—
17
中的位
置用虚线表示。< br>



图
10
—
15
中每个正方 形都有
36
个小方格，
其一半应是
18
个小方格。
现在把图
10
—
16
中的粗实线与图
10
—
17
中 的虚线都在图
10
—
15
（
b
）
中用粗实线标出，
得图
10
—
18
。在图
10
—
18
中，再将图
10
—
15
（
a
）中的字母
A
、
B
、
C
、
D
在相应位置标
出，得图
1 0
—
19
。在图
10
—
19
中，同时考虑
A
、
B
、
C
、
D
和
a
、
b
、
c
、
d
，又可在图
10
—
19
的某些字母之间添粗实线。从图
10
—
19
中去掉
a
、< br>b
、
c
、
d
，得图
10
—
20。
考虑所分得图形的连通性和
A
、
B
、
C
、< br>D
四个字母必同在一块内，又可以在图
10
—
20
上添上一些 粗实线。这时每一块中都各有四个不同的字母
A
、
B
、
C
、
D
，但是一个
图形中只有
17
个小方格，另一个图形却有
1 9
个小方格，这不符合要求。为此将图
10
—
20
左起第一行中从上 到下的第二个
B
旁边的粗实线略加改变，
得图
10
—
21< br>。
图
10
—
21
中的粗实线正好将正方形分成了符合题目要求 的两块。





按图
10
—
21
和图
10
—
22
中的粗实线，正好将图
10
—
15
（
a
）、（
b
）中的两个
正方形，分成了形状 和大小都相同，且每块都有
A
、
B
、
C
、
D
四个字母的四小块。

例
5
图
10
—
23是边长分别为
1
、
4
、
8
个长度单位的三个正方形叠在 一起组成的一
个不规则图形，问最少分成几块后拼在一起，正好是一个正方形（分时按图中已有
格子线分）？

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