优美句子摘抄大全-个人事迹材料

2021年2月1日发(作者：高性价比)
圆周长公式推导

1.
积分法


在平面直角坐标下圆的方程是
x^2 + y^2 = r^2
这可以写成参数方程

x = r * Cos t
y = r * Sin t
t
∈
[0, 2
π
]
于是圆周长就是

C
= ∫
(0
到
2
π
)
√
( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt
（
Q
:
此处
x,y
对t
为什么都要导？

A
:
将一个圆的周长分成
n份，
x'(t)=
△
x=xn-x(n-1), y'(t)=
△
y=yn-y(n-1).
当
n
→∞，
△
x
，
△
y
→
0
时，
可将每一份以直代曲，即每一份的
长度
C/n=
√
(
△
x^2+
△
y^2)=
√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )
.
所以
C
就
是
√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )
从
0
到
2
π
的积分
.虽然不导得出的结果
是一样的，但原理方面就解释不通了
.
）

=
∫
(0
到
2
π
)
√
( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt
=
∫
(0
到
2
π
) r dt
= 2
π
r


2.
极限法

在圆内做内接等
n
边形，


求等
n
边形周长：可以分割成
n
个以圆心为顶点的三角形，

其底边长为
2*r*sin(
π
/n)
，所以等
n
边形周长为

n*2*r*sin(
π
/n)

这个周长对
n
→∞求极限


lim[n*2*r*sin(
π
/n)]

运用
等 价无穷小
规则，当
x
→
0
时，有
sinx
→
x

所以
lim[n*2*r*sin(
π
/n)] =lim[n*2*r*
π
/n]=2
π
r.




圆面积公式推导

应用圆周长
C = 2
π
r
1.

可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆 分成无数个面积相等的扇形
并展开，在拼接起来，
底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为< br>π
r
，高为
r
的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。



2.

积分法

可将圆看成由无数个同心圆
环
组成
.
设圆半径为
R
，里面的同心圆环半径为
r
，
为自变量
.
设每个圆环厚度为
dr
→
0
，
则圆环周长可看为
2
π
r
，
圆面积为所有这
些圆环的面积之和
.
所以
S
= ∫
2
π
r dr,
从
0
积到
R.
所以
S=2
π
[1/2(R^2-0^2)]=
π
R^2.(
球体积公式推导方法中的“球壳法

Shell Method
”与此法是类似的
.)

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