基本图形在几何问题中的运用
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 17:26
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基本图形在几何问题中的运用
平面几何主要研究的是平面图形的形状、大小和相互的 位置关系
.
基本图形指的是学
习中的重要定义、公理、定理、推论等所对应的图形.
每一个重要的基本图形常常具有相
应的综合性，对应多个重要的知识点，掌握基本图形有 利于添加辅助线构造基本图形，
有利于探求思路拓宽条件．
例
1
己知：如图，
AB
⊥
AE
于点
A
，
∠AED
=120°
，
∠
EDC
=30°
，求证：
AB
∥
CD
解法
1
：如图
(1)
延长
AE
与
CD
相交于
F
．
∵
AB
⊥
AE
于
A
，
∴∠
BAE
=90°
∵
∠
AED
=
∠
EFD
+
∠
D
，
∠
A ED
=120°
，
∠
D
=30°
∵
∠
EFD
=90°
∴
∠
A
+
∠
EFD
=180°
∴
AB
∥
CD
(
同旁内角互补，两直线平行
)
解法
2
：又如图
(2)
延长
BA
、
DE
交于< br>F
．
∵
AB
⊥
AE
于
A
∴
∠
FAE
=90°
∠
AED
=
∠
FAE
+
∠
F
又
∠
AED
=120°
∴
∠
F
=30 °
∵∠
D
=30°
∴∠
D
=
∠
F
∴
AB
∥
CD
(
内错角相等，两直线平行
)
我们还可以这样
来做 ：
解法
3
：
作直线< br>MN
，分别与
B
交于
A
，与
DC
交于
N
．
同
(1)
可证
∠
MAB
=
∠
END
，
∴
AB
∥
CD
(
同位角相等两直线平行
)
例
2
己知：如图，在梯形
ABCD
中，
AB< br>∥
CD
，过
D
作直线
DE
平行于
AC
，又过
B
作直线
BE
平
行于
AD
，两直线交于
E
，连结
EC
．
求证：
S
△
DCE
=
S
△
CA B
．
证明：连结
BD
、
AE
∵
AC
∥
DE
，
∴
S
△
DEC
=
S
△
DEA
．
∵
AD
∥
BE
，
∴
S
△
DAE
=
S
△
DAB
∵
DC
∥
AB
，
∴
S
△
DAB
=
S
△
CAB
．
∴
S
△
DCE
=
S
△
CAB
这个图形的两条直线平行，由于平行线间的距离相等，所以在平行线中等底上所加
的 三角形的面积，一定是相等的．这个基本图形能帮助我们解决比较难以找到的等积形
式．它对我们今后学 习解决面积问题有极大的帮助，希望同学们注意．
例
3
在△
ABC
中，
BE
、
CF
分别是∠
ABC，
∠
ACB
的平分线，
AG
⊥
BE
于
G
，
AH
⊥
ICF
于
H
，求证
HG
∥
BC
．
分析：两条直线的位置关系：两条直线在同一平面内 ，有相交与平行两种，相交中
的特例：当交角是
90°
时，两直线垂直．不相交则平行 ．题目中给了两个重要条件，一
个是角平分线，一个是垂直．当一个角被平分以后，有一条直线与角平分 线垂直，这就
形成了一个基本图形，
也就是等腰三角形三线合一的基本图形．
根据三角 形中位线定理：
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，因此可以得到
HG
∥
MN
．也就是
HG
∥
BC
证明：延长
AH
、
AG
分别与
BC
交于
M
、
N
．
∵
BE
平分∠
ABC
，
AG
⊥
BE
于
G
∴△
AB G
≌△
NBG
．则
AG
=
GN
.
同理，
AH
=
HM
．
∴
HG
是
△
AMN
的中位线．
∴
HG
∥
MN
，即
HG
∥
BC
．
例
4
已知：如图，在
△
ABC
中，
AC
=
BC
，∠
ACB
=90°
，
AD
平分∠
CAB
，
BD
⊥
AD
于
D
交
BC
于
E
．求证：
AE
=2
DB
．
证明：延长
AC
、
BD
交于
F
．
∵
AD
平分∠
CAB
，
∴∠
1=
∠
2
．
∴
AD
⊥
BD
于
D
，
∴∠
FDA
=
∠
BDA
=90°
．
又
AD
=
AD
，
∴△ADF
≌△
ADB
(
ASA
)
．
∴
BD
=
DF
，即
BF
=2
BD
．
∵∠
ACB
=90°
，∠
ADB
= 90°
∠
CEA
=
∠
DEB
．
∴∠
1=
∠
3
．
在
△
AEC
和
△
BFC
中，
∵∠
1=
∠
3
，
AC
=
BD
．
∠
ACB
=
∠
BDE
，
∴△
AEC
≌△
BFC
(
ASA
)
．
∴
AE
=
BF
．
∴
AE
=2
BD
．
例
5 < br>己知：如图，四边形
ABCD
中，∠
ACB
=
∠
AD B
=90°
，
M
、
N
分别是
AB
和
CD
的中点，求证：
MN
⊥
CD
．
证明：连结
DM
，
CM
∵∠
ACB
=
∠
ADB
=90°
，
AM
=
MB
．
∴
DM=
AB
，
CM
=
AB
．
∴
DM
=
CM
．
∵
N
是
DC
中点，
∴
MN
⊥
DC
例
6 己知：如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
A
=90°
，
D
为
BC
中点，使∠
EDF
=90°
，求证：
EF
2
=
BE
2
+
FC
2
．
分析：这道题目要求证的是
EF
2
=
BE
2
+
FC
2
，只有在直角三角形中，两条直角边的平
方和才等于斜边的平方，所以要构造直角三角形．
证明：延长
ED
到
G
，使
ED
=
DG
，连结
FG
．
∵
D
是
BC
中点，
BD
=
DC
，
∠
BDE
=
∠
CDG
，
∴△
BDE
≌△
CDG
．
∴
ED
=
DG
，
BE
=
GC
，
∠
B
=
∠
DCG
．
∵
FD
⊥
EG
．