奥数专题：几何五大模型(鸟头模型)
绝世美人儿
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2021年02月01日 20:03
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鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．
如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点如图
⑴
(
或
D在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上如图
2)
，
则
S
△
ABC
:
S
△< br>ADE
(
AB
AC
)
:
(AD
AE
)
D
A
A
D
E
E
B
C
B
C
图⑴
图⑵
【例
1
】
如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点，且
AD
:
AB
2:5
，
A E
:
AC
4:7
，
S
△
ADE
16
平方厘米，求
△
ABC
的面积．
A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
【解析】
连
接
BE
，
S
△
ADE
:
S
△
ABE
AD
:
AB
2
:5
(2
4)
:
(5
4)
，
S
△
ABE
:
S
△
ABC
AE
:
AC
4
:
7
(4
5)
:
(7
5)
，所以
S
△
ADE< br>:
S
△
ABC
(2
4)
:(7
5)
，设
S
△
ADE
8份，
则
S
△
ABC
35
份，
所以< br>1
份是
2
平方厘米，
S
△
ADE
16
平方厘米，
△
ABC
35
份就是
70
平方厘米 ，
的面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面 积比
等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比
．
【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的
5
倍，
AC
是
AE
的
3
倍，如果三角形
ADE
的面积等
page
1
of
11
于
1
，那么三角形
ABC
的面积是多少？
AD
E
C
D
A
E
C
B
【解析】
连
接
BE
．
B
∵
EC
3
AE
∴S
V
ABC
3
S
V
ABE
又∵
AB
5
AD
∴
S
VADE
S
V
ABE
5
S
V
ABC
15
，∴
S
V
ABC
15
S
V
ADE
15
．
【巩固】如图，三角形
ABC
被分成了甲
(
阴影部分
)
、 乙两部分，
BD
DC
4
，
BE
3
，
AE
6
，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
E
B
甲
D
E
A
乙
C
B
甲
D
乙
C
【解析】
连
接
AD
．
∵
BE
3
，
AE
6
∴
AB
3
BE
，
S
V
ABD
3
S
V
BDE
又∵
BD
DC
4
，
∴S
V
ABC
2
S
V
ABD
，∴S
V
ABC
6
S
V
BDE
，
S
乙
5
S
甲
．
【例
2
】
如图在
△
ABC
中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB
:
AD
5:
2
，
AE
:
EC
3:
2
，
S
△
ADE
< br>12
平方厘米，求
△
ABC
的面积．
D
D
A
A
E
B
C
B
E
C
【解析】
连
接
BE
，
S
△
AD E
:
S
△
ABE
AD
:
AB
2
:5
(2
3)
:
(5
< br>3)
S
△
ABE
:
S
△
ABC
AE
:
AC
3:
(3
2)
(3
5)
:
(3
2)
5
，
page
2
of
11
所以
S
△< br>ADE
:
S
△
ABC
(3
2)
:
5
(3
2)
6
:
25
，
设
S
△
ADE
6
份，
则
S
△
ABC
25
份，
S
△
ADE
12
平方
厘米，所以
1
份是< br>2
平方厘米，
25
份就是
50
平方厘米，
△
ABC
的面积是
50
平方厘米．由
此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角
(
相等角或互
补角
)
两夹边的乘积之比
【例
3
】
如图所示 ，在平行四边形
ABCD
中，
E
为
AB
的中点，
A F
2
CF
，三角形
AFE
(
图中阴
影部 分
)
的面积为
8
平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
D
F
A
B
C
E
【解析】
连
接
FB
．
三角形
AFB
面积是三角形
CFB
面积的
2
倍，
而三角形
AFB
面积是三角形
AEF
面积的
2
倍，所以三角形
ABC
面积是三角形
AEF
面积的
3
倍；又因为平行四边形的面
积是三角形
ABC
面积的2
倍，所以平行四边形的面积是三角形
AFE
面积的
（
3
2
）
6
倍．因此，平行四边形的面积为
8
6
48
(
平方厘米
)
．
【例
4
】
已知
△
DEF
的面积为7
平方厘米，
BE
CE
,
AD
2
BD
,
CF
3
AF
，求
△
AB C
的面积．
A
F
D
B
E
C
【解析】
S
△
BDE
:
S
△
A BC
(
BD
BE
)
:
(
BA
BC
)
(1
1)
:
(2< br>
3)
1:
6
，
S
△
CEF:
S
△
ABC
(
CE
CF
)
:
(
CB
CA
)
(1
3)
:
(2
4)
3:8
S
△
ADF
:
S
△
ABC
(
AD
AF
)
:
(
AB
AC
)
(2
1)
:
(3
4)
1:6
设
S
△
ABC
24
份，则S
△
BDE
4
份，
S
△
ADF
4
份，
S
△
CEF
9
份，
S
△
DEF
24
4
4
9
7
份，恰
好是
7
平方厘米，所以
S< br>△
ABC
24
平方厘米
【例
5
】
如图，三角形
ABC
的面积为
3
平方厘米， 其中
AB
:
BE
2:5
，
BC
:
CD
3:
2
，三角形
BDE
的面积是多少？
page
3
of
11
A
B
C
D
E
A
B
C
E
D
【解析】
由
于
ABC
DBE
180
，所以可以用共角定理，设
AB
2
份，
BC
3
份，则
BE
5
份，
BD
3
2
5
份，由共角定理
S
△
ABC
:
S
△
B DE
(
AB
BC
)
:
(
BE
BD
)
(2
3)
:
(5< br>
5)
6
:
25
，设
S
△
ABC
6
份，恰好是
3
平方厘米，所以
1
份是
0.5
平方厘米，
25
份就是
25
0.5
12.5
平方厘
米，三角形
BDE
的面积是
12.5< br>平方厘米
【例
6
】
(
20 07
年”走美”五年级初赛试题
)
如图所示，正方形
ABCD
边长为
6
厘米，
AE
1
AC
，
3
1< br>CF
BC
．三角形
DEF
的面积为
_______
平方厘米．
3
A
D
E
B
F
C
【解析】
由
题意知
AE
1
1
2
AC
、
CF
BC
，可得
CE
AC
．根据”共角定理”可得，
3
3
3
S
△< br>CEF
:
S
△
ABC
(
CF
< br>CE
)
:
(
CB
AC
)
1
2
:
(3
3)
< br>2
:
9
；
而
S
△
ABC
6
6
2
18
；
所以
S△
CEF
4
；
同理得，
S
△
CDE
:
S
△
ACD
2
:3
;
，S
△
CDE
18
3
2
12
，
S
△
CDF
6
故< br>S
△
DEF
S
△
CEF
S△
DEC
S
△
DFC
4
12
6
10
(
平方厘米
)
．
【例
7
】
如图，
已知三角形
A BC
面积为
1
，延长
AB
至
D
，使
BD< br>
AB
；延长
BC
至
E
，使
CE
2
BC
；
延长
CA
至
F
，使
AF
3
AC
，求三角形
DEF
的面积．
F
F
A
B
D
C
E
B
A
C
E
D
【解析】
(
法
1
)
本题是性质的反复使用．
连接
AE
、
CD
．
page
4
of
11
∵
S
VABC
1
，
S
V
ABC
1
，
S
V
DBC
1
∴
S
V
DB C
1
．
同理可得其它，最后三角形
DEF
的面积
18
．
(
法
2
)
用共角定理∵在
V
ABC
和V
CFE
中，
ACB
与
FCE
互 补，
∴
S
V
ABC
AC
BC
1
1
1
．
S
V
FCE
FC
CE
4
2
8
又
S
V
ABC
1
，所以
S
V
FC E
8
．
同理可得
S
V
ADF
6
，
S
V
BDE
3
．
所以
S
V
DEF
S
V
ABC
S
V
FCE
S
V
ADF
S
V
BDE
1
8
6
3< br>
18
．
【例
8
】
如图，平行四边形
ABCD
，
BE
AB
，
CF
2
CB
，
GD
3
DC
，HA
4
AD
，平行四边形
ABCD
的面积是
2
，
求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H
H
A
G
D
F
B
C
E
GA
D
F
B
C
E
【解析】
连
接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△
ABC
和
△
BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
∴
S
△
ABC
AB
BC
1
1
1
．
S
△
FBE
BE
BF
1
3
3
又
S
△
ABC
1
，所以
S
△
FBE
3
．
同理可得
S
△
GCF
8
，
S
△
DHG
15
，
S
△
AEH
8
．
所以
S
EFGH
S
△
AEH
S
△
CFG
S
△
DHG
S
△
BEF
S
ABCD
8
8
15+3+2
36
．
所以
【例
9
】
如图，四边形
EFGH
的面积是66
平方米，
EA
AB
，
CB
B F
，
DC
CG
，
HD
DA
， 求四
S
ABCD
2
1
．
S
EFGH
36
18
边形
ABCD
的面积．
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5
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11