小学几何五大模型
绝世美人儿
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2021年02月01日 20:08
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雨伞的英语-羽毛球比赛
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鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，
其特点是通过边与面积的关系来解决问题。
对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。
一、鸟头模型的相关知识
1.
定
义：两个三 角形中有一个角相等或互补（相加等于
180
度），这两个三角形就叫共角三角形。这个模型就叫鸟头模型。其中存在的比例关系就叫做共角定理。
2.
核
心：比例模型有：
二、鸟头模型的原理剖析
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三、鸟头模型的方法运用
鸟头模型解题四部曲：
第一步：观察：图中是否有鸟头模型
第二步：构造：鸟头模型
第三步：假设：线段长度或图形面积
第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算
例
1
：如图，已知
AD:BD=2:3
，
AE:EC=3:1
，三角形
ADE
的面积是
6
平方厘米，求三角形
ABC
的面
积
?
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第一步：标条件
第二步：确定等角位置
A
小夹边
AD
×
AE(
小夹边指的是：小三角形夹着等角
A
的两边
)
大夹边
AB
×
AC
第三步：利用鸟头模型结论
S
△
A DE
：
S
△
ABC=
小夹边乘积
:
大夹边乘积=(2
×
3):(5
×
4)=6:20=3:10
3:10
的意思是：三角形
ADE
的面积是
3
份，三角形
ABC
的面积是
10
份。
第四步：先除后乘算面积
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三角形
ADE
的面积是
6
平方厘米，对应
3
份，
6
÷
3=2< br>平方厘米
/
份
;
所求三角形
ABC
的面积是
10
份，
2
×
10=20
平方厘米。
的面积
?
例
2
：如图，已知
BC
：
CD=5:2
，
AE:EC=1:1
，三角形
ABC
的面 积是
20
平方厘米，求三角形
CDE
第一步：标条件
第二步：确定补角位置
C
小夹边
CD
×
CE(
小夹边指的是：小三角形夹着补角
C
的两边
)
大夹边
CA
×
CB
第三步：利用鸟头模型结论
S
△
CDE
：
S△
ABC=
小夹边乘积：大夹边乘积
=(2
×
1):(2
×
5)=2:10=1:5
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1:5
的意思是：三角形
CDE
的面积是
1
份，三角形
ABC
的面积是
5
份。
第四步：先除后乘算面积
三角形
ABC
的面积是
20
平方厘米，对应
5
份，
20
÷
5=4
平方厘米
/
份
;
比例模型版块威力最大且最难掌握的就是风筝模型！
风筝模型命题很容易拉开难度，既可以出基础题，也可以作为爆难的华杯赛全国总决赛题目（
2013
年
18
届华杯赛全国总决赛笔试二试第
4
题），所以筝模型是各大杯赛命题老师非常喜欢考察的
第
知识
点。
“风筝的骨架”，而能算的面积都是骨架连起来之后构成的三
观察发现，可以用来算比值的都是
这个角形！
“风筝的骨架”，第二步是把骨架连起来，即先找叉叉，再包
所以应用风筝模型的时候，第一步
是找叉叉。
命题老师最喜欢考的是标红的面积
因为这种大块的面积比较隐蔽，
适合考察同学们在图形中的
比，
观察能力。
所求三角形
CDE
的面积是
1
份，
4
×
1=4
平方厘米。
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【题目】沙漏模型
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【小升初奥数专题】几何之五大模型
新完
)
2015-12-1200:00
一、五大模型简介
（
1
）等积变换模型
1
、等底等高的两个三角形面积相等；
(
已更
几何五大模型
例、如图，三角形
的中点，求三角形
（
2
）鸟头（共角）定理模型
1
、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
：< br>、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图
S[sub]1[/su
S[sub] 2[/sub]=a:
2
b]
b
①所示，
；
：
S[sub]2[/sub]=a
、两个三角形底相等，面积 在之比等于高之比，如
3
S[sub]1[/sub]
:b
图②所示，
；
、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，< br>△
BCD[/sub]
；反之，如果
4
S[sub]
△
ACD[/sub]=S[sub]
S[sub]
△
ACD[/sub]=S[sub]
△
B
则可知直线
AB
平行于
CD
。
ABC
的 面积是
24
，
D
、
E
、
F
分别是
BC
、
AC
、
AD
DEF
的面积。
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2
、共 角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹
边的乘积之比。如图下图三角形
ABC
中，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上
或
AB
、
AC
延长线上的点
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则有：
S[sub]
△
ABC[/sub]
：
S[sub]
△
ADE[/sub]=
（
AB
×
AC
）：（
AD
×
AE
）
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
△
ABE[/su
b]
△
CBE[/s ub]=AE
：
CE
，
：
S[sub]
所以
如图连接
BE
，根据等积变化模型知，
S[ sub]
△
ADE[/sub]
：
S[sub]
△
ABE[ /sub]=AD
：
AB
、
S[sub]
△
ABE[/s ub]
：（
S[sub]
△
ABE[/sub]+S[sub]
△
CBE[/sub]
）
=AE
：
AC
，因此
S[sub]
△
ADE[/sub]
：
S[sub]
△
ABC[/sub]=
（
S[sub]
△
ADE[/sub]< br>：
S[sub]
△
ABE[/sub]
）×（
S[sub]< br>△
ABE[/sub]
：
S[sub]
△
ABC[/sub]
例、如图在
ABC
中，
D
在
BA的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB
：
AD=5 :2
，
AE
：
EC=3:2
，
△
ADE
的面积为
12
平方厘米，求
ABC
的面积。
（
3
）蝴蝶模型
1
、梯形中比例关系
(
“梯形蝴蝶定理”)
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例、如图，梯形
ABCD
，
AB
与
CD
平行，对角线
A C
、
BD
交于点
O
，已知△
AOB
、
△< br>BOC
的面积分别为
25
平方厘米、
35
平方厘米，求梯形
2
、任意四边形中的比例关系
(
“蝴蝶定理”)：
例、如图，四边形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
交于点
O
，如果三角形
ABD
的面积等于三
角形
BCD
面积的
1/3
，且
AO=2
、
DO=3
，求
CO
的长
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的对角线的比例关系。
（
4
）相似模型
1
、相似三角形：形状相同
,
大小不相等的两个三角形相似；
2
、寻找 相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两
边或两边延长线相交，所构成的三角形与 原三角形相似。
3
、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段
(
对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为 金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含
DE
这样的一对平行线！
有
BC
平
行
例、如图，已知在平行四边形
ABCD
中，
AB=16
、
AD=10
、
BE=4
，那么
FC
的长度是多少？
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四 边形的
面积关系与四边形内的三
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（
5
）燕尾模型
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫
做燕尾模型
S[su
△
ABG[/sub]
：
S[sub]
△
ACG[/sub]=S[sub]
△
BGE[/ sub]
：
S[sub]
△
CGE[/sub]=BE
：
C E
b]S[
△
BGA[/sub]
：
S[sub]△
BGC[/sub]=S[sub]
△
GAF[/sub]
：
△
GCF[/sub]=AF
：
CF
sub]
S[sub]
△
AGC[/sub]
：
S[sub]
△
BGC[/sub]=S[sub]
△
AGD[/sub]
：
S[su
S[sub]
△
BGD[/sub]=AD
：< br>BD
b]
例、如图，
E
、
D
分别
在
AC
、
BC
上，
且
AE
：
EC=2:3
，
BD
：
DC=1:2
，
AD
与
BE
交于
点
,
看一下它都有哪些性质：
F
，四边
DFEC
的面积等
于
形
22
平方厘米，求三
角形
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二、五大模型经典例题详解
（
1
）等积变换模型
例
1
、图中的< br>E
、
F
、
G
分别是正方形
的边长是
12
，那么阴影部分的面积是多少？
ABCD
三条边的三等分点，如果正方形
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例
2
、如图所示，
Q
、
E
、
P
、
M
分别为直角梯形
行，已知
AD=5
、
BC=7
、
AE=5
、
EB=
（
2
）鸟头（共角）定理模型
例
1
、如图所示，平行四边形
平行四边形
ABCD
的面积为
2
，求平行四边形
ABCD
两边
AB
、
CD
上的点，且
D Q
、
CP
、
ME
彼此平
ABCD
，
BE= AB
、
CF=2CB
、
GD=3DC
、
HA=4AD
，
ABCD
与四边
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