小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)汇总
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 20:10
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.
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙
漏模型）
，共边（含燕尾模型和风筝模型）
，
掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，
面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
S
1
:
S
2
a
:
b
③夹在一组平行线之 间的等积变形，如右图
S
△
ACD
S
△
BCD< br>；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形< br>)
；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
< br>⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相
等，面积比等于它们的 高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．
如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB< br>,
AC
上的点如图
⑴
(
或
D
在< br>BA
的延长线上，
E
在
AC
上
)
，
S
1
a
S
2
b
A
B
C
D
则
S
△
ABC
:
S
△
ADE
< br>(
AB
AC
)
:
(
AD
AE
)
可编辑
.
D
A
A
D
E
E
D
C
B
图⑴
图⑵
B
C
A
S
2
B
S
1
O
S
3
S
4
三、蝶形定 理
任意四边形中的比例关系
(
“蝶形定理”
)
：
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S
2
:
S4
S
3
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形 的面积问题
的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四
边形的面积关系与四边形内的三 角形相联系；另一方
面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系
(
“梯形蝶形定理”
)
：
①S
1
:
S
3
a
2
:
b2
②
S
1
:
S
3
:
S2
:
S
4
a
2
:
b
2:
ab
:
ab
；
③
S
的对应份数为
a
b
2
．
四、相似模型
B
A
S
2
C
a
S
1
O
S
3
b
S
4
D
C
(
一
)
金字塔模型
(
二
)
沙漏模型
A
E
A
F< br>D
D
B
AB
AC
F
G
BC
AGE
C
B
G
C
①
AD
AE
DE
AF
；
②
S
△
ADE
：
S
△
ABC
AF
2
:
AG
2
．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
(
只要其 形状不改变，
不论大小怎样改变它们都相似
)
，与相似三角形相关的常用的性质及定理 如
可编辑
.
下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似
比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工
具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
S
ABO
:
S
ACO
BD
:
DC
．
A
E
O
B
D
C上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因
为
ABO
和< br>
ACO
的形状很象燕子的尾巴，
所以这个定理被称
为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，
面积对应底边之间提供互相联系的途径
.
典型例题
【例
1
】
F
它的特 殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形
如图，
正方形
AB CD
的边长为
6
，
AE
1
.
5
，
CF
2
．长方形
EFGH
的
面积为
．
_
H
_
D
_
H
_
D
_
A
_
E
_
G
_
A
_
E
_
G
_
B
_
F
_
C
_
B
_
F
_
C
【解析】
连
接
DE
，< br>DF
，
则长方形
EFGH
的面积是三角形
DEF
面积 的二倍．
三角形
DEF
的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△
DEF
6
6
1.5
< br>6
2
2
6
2
< br>4.5
4
2
16.5
,
所以 长方形
EFGH
可编辑
.
面积为
33
．
【巩固】如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形
EBGF
的长
BG
为
1 0
厘
米，那么长方形的宽为几厘米？
_
E
_
A
_
F
_
D
_
G
_
C
_
B
_
F
_
D
_
A
_
E
_
B
_
C
_
G
【解析】
本
题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(
长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
．
三角形面积等 于与它等底等
高的平行四边形面积的一半．
证明：
连接
AG
．
(
我们通过
△
ABG
把这两个长方形和正方形联系在一
起
)
．
∵在正方形
ABCD
中，
S
△< br>AB
G
AB
AB
边上的高，
∴
S
△
ABG
S
W
ABCD
(
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半
)
同理，< br>S
△
ABG
S
EFGB
．
∴正方形
ABCD
与长方形
EFGB
面积相等．
长方形的宽
8
8
10
6.4(
厘
米
)
．
【例
2
】
1
2
1
2
1
2
长方形ABCD
的面积为
36
cm
2
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任
意一 点，问阴影部分面积是多少？
A
H
D
E
G
B
F
C
【解析】
解
法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
可编辑
.
A
H
D
E
G
B
可
得
：
S
E HB
1
1
1
S
AHB
、
S< br>
FHB
S
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，
而
2
2
2
F
C
S
ABCD
S
A HB
S
CHB
S
CHD
36
1
1
S
S
S
(
S
S
S
)
36
18
；
即
EHB
BHF
< br>DHG
AHB
CHB
CHD
2
2
而
S
EHB
S
BHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
，
1
1
1
1
1
S
EBF
BE
BF
(
AB
)
(
BC
)
36
4.5
．
2
2
2
2
8
所以阴影部分的面积是：
S
阴影
18
S
EBF
18
4.5
13.5
解法二：特殊点法．找
H
的特殊点，把< br>H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
A
D
(
H
)
E
G
这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
F
C
B
1
1
1
1
1
1
1
S
阴 影
S
ABCD
S
AED
S
BEF
S
CFD
36
36
36
36
13.5
．
2
2
2
2
2
2
2
【巩固】在边长为
6
厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，将正方形的一组对边
二等分，另一组对边三等分，分别与
P
点连接
,求阴影部分面积．
A
D
A
(
P
)
D
A
D
P
P
【解析】
（
法
1
）特殊 点法．由于
P
是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，
B
C
BC
B
C
可编辑
.
假设
P
点与A
点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴
影三角形的面积分别占正方形面积 的
1
和
1
，所以阴影部分的面积为
4
6
1
1
6
2
(
)
15
平方厘米 ．
4
6
（法
2
）连接
PA
、
P C
．
由于
PAD
与
PBC
的面积之和等于正方形
ABCD
面积的一半，所以上、
下两个阴影三角形的面积之和等 于正方形
ABCD
面积的
1
，同理可知
4
左、右两个阴影三 角形的面积之和等于正方形
ABCD
面积的
1
，所以阴
6
影 部分的面积为
6
2
(
1
1
)
15
平方厘米．
4
6
【例
3
】
如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为
70
，
AB
8
，
AD
15
，四边形
EFGO
的面积为
．
A
D
O
E
B
F
G
C
【解析】
利
用图形中的包含关系可以先求出三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的
面积之和，以及三角形
AOE
和
DOG
的面积之和，进而求出四边形
EFGO
的面积．
由
于
长
方
形
120
ABCD
的
面
积
为
15
8
120
，所
以
三
角
形
BOC
的
面
积
为
1
3
30
，所以三角形
AOE
和
DOG
的面积之和为
120
70
20
；< br>
4
4
1
1
又三角形
AOE
、< br>DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为
120
< br>
30
，所以
2
4
四边形
EFGO
的面积为
30
20
10
．
另解：从整体上来看，四边形
EFGO
的面积
三角形
AFC
面积
三角形
BFD
面积
白色部分的面积，而三角形
AFC
面积
三角形
BFD面积为长
方形面积的一半，即
60
，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即
120
70
50
，所以四边形的面 积为
60
50
10
．
可编辑
.
【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是36
，
E
是
AD
的三等分点，
AE
2
ED
，则
阴影部分的面积为
．
A
O
B
【解析】
如
图，连接
OE
．
E
D
A
M
O
E
N
D
C
B
C
根
据
蝶
形
定
理
，
ON
:
ND
S
COE
:
S
CDE
S
CAE
:
S
CDE
1 :1
，
所
以
S
OEN
1
S< br>
OED
；
2
1
2
1
1
OM
:
MA
S
BOE
:
S
BAE
S
BDE
:
S
BA E
1:
4
，所以
S
OEM
S
OEA
．
5
2
1
1
又S
OED
S
矩形
ABCD
< br>3
，
S
OEA
2
S
OED
6
，所以阴影部分面积为：
3
4
1
13
6
2.7
．
2
5
【例
4
】
已知
ABC
为等边三角形，面积为
400
，
D
、
E
、
F
分别为三边的中点，
已知甲、乙、丙面积和为
143
，求阴影五边形的面积 ．
(
丙是三角形
HBC
)
A
甲
乙
I
J
M
B
N
H
丙
E
D
F
【解析】
因
为
D
、
E
、
F
分别为三边的中点，所以
DE
、
DF
、
EF
是三角 形
ABC
的
中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形
ABN
和三
角形
AMC
的面积都等于三角形
ABC
的一半，即为< br>200
．
根据图形的容斥关系，有
S
ABC
S
丙
S
ABN
S
AMC
S
AMHN
，
即
400
S
丙
200
2 00
S
AMHN
，所以
S
丙
S
AMHN
．
又
S
阴影
S
ADF
S
甲
S
乙
S
AMH N
，所以
C
可编辑
.
1
S
阴影
S
甲
S
乙
S
丙
S
ADF
143
400
43
．
4
【例
5
】
如图，已知
CD
5
，
DE
7
，
EF
15
，
FG
6
，线段
AB将图形分成两部
分，左边部分面积是
38
，右边部分面积是
65
，那么三角形
ADG
的面
积是
．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
E
B
F
G
【 解析】
连
接
AF
，
BD
．
根据题意可知，
CF
5
7
15
27
；< br>DG
7
15
6
28
；
15
S
CBF
，
S
B E
C
12
S
CBF
，
S
< br>AEG
21
S
ADG
，
S
< br>AED
7
S
ADG
，
27< br>28
27
28
7
12
21
15
S
S
CBF
38
；
S
S
65
于是：
；
ADG
ADG
CBF
28
27
28
27
所以，
S
BE
F
可得
S
ADG
40
．故三角形
ADG
的面积是
40
．
【例
6
】
如图在
△
ABC
中，
且
AD
:
AB
2:5
，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点，
AE
:
AC
4:7
，
S
△
ADE
16
平 方厘米，求
△
ABC
的面积．
A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
【解析】
连接
BE
，
S
△
ADE
:
S
△
ABE
AD
:
AB
2
:5
(2
4)
:
(5
4)
，
S
△
ABE
:
S
△
ABC
AE
:
AC
4
:
7
(4
5):
(7
5)
，
所
以
，
设
S
△
A DE
:
S
△
ABC
(2
4)
:
(7
5)
S
△
ADE
8
份 ，则
S
△
ABC
35
份，
S
△
ADE
16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△
ABC
的面积是70
平方厘米．由此我们得到一
个重要的定理，
共角定理：
共角三角形的 面积比等于对应角
(
相等角或
互补角
)
两夹边的乘积之比
．
可编辑
.
【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的
5
倍，
AC< br>是
AE
的
3
倍，如果三角
形
ADE
的面积等 于
1
，那么三角形
ABC
的面积是多少？
A
D< br>E
C
D
A
E
C
B
【解析】
连
接
BE
．
B
∵
EC
3
AE
∴
S
V
ABC
3
S
V
ABE
又∵
AB
5
AD
∴
S
VADE
S
V
ABE
5
S
V
ABC
15
，∴
S
V
ABC
15
S
V
ADE
15
．
【巩固】如图，三角形
ABC
被分成了甲
(
阴影部分
)
、 乙两部分，
BD
DC
4
，
BE
3
，
AE
6
，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
E
B
甲
D
E
A
乙
C
B
甲
D
乙
C
【解析】
连
接
AD
．
∵
BE
3
，
AE
6
∴
AB
3
BE
，
S
V
ABD
3
S
V
BDE
又∵
BD
DC
4
，
∴S
V
ABC
2
S
V
ABD
，∴S
V
ABC
6
S
V
BDE
，
S
乙
5
S
甲
．
【例
7
】
如图在
△
ABC
中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB
:
AD
5:
2
，
AE
:
EC
3:
2
，
S
△
ADE
< br>12
平方厘米，求
△
ABC
的面积．
可编辑
.
D
D
A
A
E
B
C
E
【解析】
连
接
BE
，
S
△
AD E
:
S
△
ABE
AD
:
AB
2
:5
(2
3)
:
(5
< br>3)
S
△
ABE
:
S
△
ABC< br>
AE
:
AC
3:
(3
2)< br>
(3
5)
:
(3
2)
5
，
B
C
所以
S
△
ADE
:S
△
ABC
(3
2)
:
5
(3
2)
6
:
25
，设
S
△
ADE
6
份，则
S
△
ABC
25
份，
所以
1
份是
2
平方厘米，
S
△
ADE
12
平方厘米，
25份就是
50
平方厘米，
△
ABC
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共
角三角形的面积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比
【例
8
】
如图，平行四边形
ABCD
，
BE
AB
，
CF
2
CB
，
GD
3
DC
，
HA
4
AD
，平
行四边形ABCD
的面积是
2
，
求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面
积比．
H
H
A
G
D
F
B
C
E
A
G
D
F
B
C
E
【解析】
连
接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△
ABC
和
△
BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
∴
S
△
ABC
S
△< br>FBE
AB
BC
1
1
1
．
BE
BF
1
3
3
又
S
△
ABC
1
，所以
S
△
FBE
3
．
同理可得
S
△
GCF
所以< br>S
EFGH
所以
S
ABCD
S
EFGH
< br>8
，
S
△
DHG
15
，
S
△
AEH
8
．
S
△
AE H
S
△
CFG
S
△
DHG
S
△
BEF
S
ABCD
8
8
15+3+2
36
．
2
1
．
36
18
可编辑
.
【例
9
】
如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
12
13
D
13
【解析】
题< br>目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，
难以运用公式直接
求面积
.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形
OAB
绕顶点
O
逆时针旋转，使长为
13
的两条边重合，此时三
角形
OAB
将旋转到三角形
OCD
的位置
.
这样，
通过旋转后所得到的新图
形是一个边长为
12
的正方形，且这个正方形的面积就是原来 四边形的
面积
.
因此，原来四边形的面积为
12
12
144
.(
也可以用勾股定理
)
【例
10
】
如图所示，
ABC
中，
ABC
90
，
AB
3< br>，
BC
5
，以
AC
为一边向
A BC
12
12
A
B
外作正方形
ACDE
，中心为< br>O
，求
OBC
的面积．
E
E
O
A
3
B
5
C
D
O
A
3
D
C
5
B
【解析】
如
图，将
OAB
沿着
O点顺时针旋转
90
，到达
OCF
的位置．
F
由于
ABC
90
，
< br>AOC
90
，所以
OAB
OCB
180
．而
OCF
OAB
，
所以
OCF
OCB
180
，那么
B
、
C
、< br>F
三点在一条直线上．
由于
OB
OF
，
BOF
AOC
90
，
所以
BOF
是等腰直角三角形，
且斜边
1
BF< br>为
5
3
8
，所以它的面积为
8
2
16
．
4
根据面积比例模型，
OBC
的面积为
16
5
10
．
8
可编辑
.
【例
11
】
如图，以正方形的边
AB
为斜边在正方形内作直角三角形< br>ABE
，
AEB
90
，
AC
、
BD
交于
O
．已知
AE
、
BE
的长分别为
3cm
、
5cm
，求
三角形
OBE
的面 积．
C
B
C
B
O
E
D
A
D
O
E
A
F
【解析】
如
图，< br>连接
DE
，
以
A
点为中心，
将
A DE
顺时针旋转
90
到
ABF
的位置．
那么
EAF
EAB
BAF
EAB
DAE
90< br>
，而
AEB
也是
90
，所以四边形
AFBE
是直角梯形，且
AF
AE
3< br>，
所以梯形
AFBE
的面积为：
3< br>
5
3
1
12
(
cm
2
)
．
2
又因为
ABE
是直角三角形，根据勾股定理，
AB
2
AE
2
BE
2
3
2
5
2
34
，
所以
S
ABD
1
AB
2
17
(
cm
2
)
．
21
S
BDE
2.5
(
cm
2)
．
2
那么
S
BDE
S
ABD
S
ABE
S
ADE
S
ABD
S< br>AFBE
17
12
5
(
cm
2
)
，
所以
S
OBE
【例
12
】
如下图，六边形
ABCDEF
中，
AB
ED
，
AF
CD
，
BC
EF
，且有
AB
平行
于
ED
，
AF
平行于CD
，
BC
平行于
EF
，
对角线
FD
垂直于
BD
，
已知
FD
24
厘米，
BD
18
厘米，请问六边形
ABCDEF
的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
ED
F
E
D
【解析】
如
图，
我们将
BCD
平移使 得
CD
与
AF
重合，
将
DEF
平移使得
ED
与
AB
重
可编辑
.
合，这样EF
、
BC
都重合到图中的
AG
了．这样就组成了一个长方形< br>BGFD
，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形
BGFD
的面积为24
18
432
平方厘米，所以六边形
ABCDE F
的面积为
432
平方厘米．
【例
13
】
如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
A
3
3
E
F
3
1
2
C
D
BD
:
DC
1:
2
，
AD
与< br>BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于
．
A
E
B
D
A
E
F
B
D
C
F
C
B
S
△
ABF
AE
S
△ABF
BD
1
1
,
【解析】
方
法一：连接
CF
，根据 燕尾定理，
，
S
△
CBF
EC
S
△
ACF
DC
2
设
S
△
BDF
1份，则
S
△
DCF
2
份，
S
△ABF
3
份，
S
△
AEF
S△
EFC
3
份，
如图所标
所以
S
DCEF
5
5
S
△
ABC
12
12
方法二：连接
DE
，由题目条件可得到
S
△
ABD
S
△
ABC
，
1
1
2
1
BF
S
△
ABD
1
，
S
△
ADE
S
△
A DC
S
△
ABC
，所以
FE
S
△
ADE
1
2
2
3
3
1
3< br>1
3
S
△
DEF
1
1
1
1
1
1
1
S
△
DEB
S
△
BEC
S
△
ABC
，
2
2
3
2
3
2
12
2
1
1
S
S
而
△
CDE
．所以则四边形
DFEC
的面积等于5
．
△
ABC
3
2
3
12
【巩固】
如图，
长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，阴
EC
2
DE
，
F
是
DG
的中点．
影部分的面积是多少平方厘米
?
可编辑
. < br>A
F
B
G
D
E
C
A
A
3< br>F
B
B
3
G
1
D
D
E
F< br>x
2
y
3
y
x
C
E
G
C
【解析】
设
S
△
DEF
1
份，
则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影
5
5
S
△
BCD
12
12
平方厘米
.
【例
14
】
四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(
如图所示
)
．如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的面积的
1
，且
AO
2
，
DO
3
，那么
CO
的长度
3
是
DO
的长度的
_________
倍．
A
O
B
C
B
D
A
H
O
D
G
【解析】
在本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形”
，无
外 乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解
决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形 ．看到题目中给出条件
S
V
ABD
:
S
V
BCD< br>
1:
3
，
这可以向模型一蝶形定理靠拢，
于是得出一种解法 ．
又
C
观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得
到 第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边
形”
，于是可以作
A H
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高
之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比， 得出
结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从
而主观上愿意掌握并使 用蝶形定理解决问题．
解法一：
∵
AO
:
OC
S
ABD
:
S
BDC
1:
3
，
∴
OC
2
3
6
，
∴
OC
:
OD
6:3
2 :1
．
解法二：作
AH
BD
于
H，
CG
BD
于
G
．
1
1
1
S
S
DOC
，
S
S
∵
ABD
BCD
，∴
AH
CG
，∴
AOD
3
3
3
∴
AO
1
CO
，∴
OC
2
3
6
，∴
OC
:
OD
6:3
2:1
．
3
可编辑
.
【巩固】如 图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面
积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG
:
GC
？
A
2
B
C
【解析】
⑴
根据蝶形定理，
S
V
BGC
1
G
3
D< br>
1
2
3
，那么
S
V
BGC
6
；
⑵根据蝶形定理，
AG
:
GC
1
2
:
3
6
1:
3
．
【例
15
】
如图，平行四边形
ABCD
的对角 线交于
O
点，
△
CEF
、
△
OEF
、△
ODF
、
△
BOE
的面积依次是
2
、
4
、
4
和
6
．
求：
⑴求
△
OC F
的面积；
⑵求
△
GCE
A
O
G
D
的面积
．
F
C
B
E
【解析】
⑴
根据题意可知，
△
BCD
的面积为< br>2
4
4
6
16
， 那么
△
BCO
和
CDO
的
面积都是
16
2
8
，所以
△
OCF
的面积为
8
4
4
；
⑵由于
△
BC O
的面积为
8
，
△
BOE
的面积为
6
，所 以
△
OCE
的面积为
8
6
2
，
根
据
蝶
形
定
理
，
S
GCE
:
S
GCF
EG
:
FG
1:
2
，
EG
:
FG
S
COE
:
S
COF
2< br>:
4
1:
2
，
所
以
那么
S
GCE
1
1
2S
CEF
2
．
1
2
3
3
【例
16
】
如图，长方形
ABCD
中，
BE
:
EC
2: 3
，
DF
:
FC
1:
2
，三角形
DFG
的面积
可编辑
.
为
2
平方厘米，求长方形
ABCD
的面积．
A< br>G
D
F
C
A
G
D
F
C
B< br>E
，
B
E
，
所
以
【解析】
连
接
AE
，
FE
．
因
为
BE
:
EC
2:3
DF
:
FC
1:
2
3
1
1
1
S
V
DEF
(
)
S
长方形
ABCD
S
长方形
ABCD
．
5
3
2
10
1
因为
S
V
AED
S
长方形
ABCD
，
AG
:
GF
1
:
1
5:1
，所以
S
V
AGD
5
S
VGDF
10
平方
2
2
10
1
厘米， 所以
S
V
AFD
12
平方厘米．因为
S
V
AFD
S
长方形
ABCD
，所以长方形
6ABCD
的面积是
72
平方厘米．
【例
17
】
如图，正方形
ABCD
面积为
3
平方厘米 ，
M
是
AD
边上的中点．求图中
阴影部分的面积．
B
C
G
A
D
【解析】
因为
M
是
AD
边上的中点，
所以
AM
:
BC
1:
2
，
根据梯形蝶形定理可以知
道
S
△
AMG
:
S
△
ABG
:
S
△
MCG
:
S
△
BCG
1
2
（
:
1
2
）
（
:
1
2
）
:
2
2
1:
2
:
2
:
4
M
，
设
S
△
AGM
1< br>份
，
则
S
△
MCD
1
2
3
份
，
所
以
正
方
形
的
面
积
为
1
2
2
4
3
12
份
，
S
阴影
2
2
4
份，所以
S
阴影
:
S
正方形
1:
3
，所以
S
阴影
1
平方厘米．
【巩固】在下图的正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边的中点，
AE
与
BD相交于
F
点，
三
角
形
BEF
的
面积
为
1
平
方
厘
米
，
那
么正
方
形
ABCD
面
积
是
可编辑
.
平方厘米．
A
D
F
B
【解析】
连
E
C
，
根
据
蝶
形
定
理
得
接
DE
，
根
据
题
意
可
知
BE
:
AD
1:
2
2
S< br>梯形
（
1
2
）
9
(
平方厘米
)
，
S
△
ECD
3
(
平方厘米
)
，
那么
S
W
ABCD
12
(
平
方厘米
)
．
【例
18
】
已知< br>ABCD
是平行四边形，
BC
:
CE
3:
2
，
三角形
ODE
的面积为
6
平方厘
米．则阴影部 分的面积是
平方厘米．
A
O
D
A
O
D
B
【解析】
连
接
AC
．
C
E
B
C
E
由于
ABCD
是平 行四边形，
BC
:
CE
3:
2
，所以
C E
:
AD
2:3
，
根据梯形蝶形定理，
S
V
COE
:
S
V
AOC
:
S
V
DOE
:
S
V
AOD
2
2
:
2
3:
2
3:
3
2
4
:
6
:
6
:
9
，
所
以
S
V
AOC
6
(
平
方
厘
米< br>)
，
S
V
AOD
9
(
平
方
厘
米
)
，
又
S
V
ABC
S
V
ACD
6
9
15
(
平方厘米
)
，阴影部分面积为
6
15
21
(
平方厘米
)
．
【巩固】右图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所
示
(
单位：平方厘米
)
，阴影部分的面积是
平方厘米．
可编辑
.
A
9
21
4
B
E
D
A
9
21
C
B
O
4
E
D
【分析】
连
接
AE< br>．
由
于
AD
与
BC
是
平
行
的
，
所
以
AECD
也
是
梯
形< br>，
那
么
C
S
OCD
S
OAE
．
2
根据蝶形定理，
S
OC D
S
OAE
S
OCE
S
OAD
4
9
36，故
S
OCD
36
，
所以S
OCD
6
(
平方厘米
)
．
【巩固】右图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行 四边形，已知三角形面积如图所
示
(
单位：平方厘米
)
，阴影部分的 面积是
平方厘米．
A
8
16
2
B
E
C
B
E
16
D
A
8
O
2
C
D
【解析】
连
接
AE
．
由
于
AD
与
BC
是
平
行
的
，
所
以
AECD
也
是
梯
形
，
那
么
S
OCD
S
OAE
．
S< br>
OCD
S
OAE
S
OCE
S
OAD
2
8
16
，
根据蝶形定理，
故
S
OCD
2
16
，
所以
S
OCD
4
(
平方厘米
)
．
另解：在平行四边形
ABED< br>中，
S
ADE
S
Y
ABED
16
8
12
(
平方厘米
)
，
所以
S
AOE
S
ADE
S
AOD
12
8
4
(
平方厘米
)
，
根据蝶形定理，阴影部分的面积为
8
2
4
4
(
平方厘米
)
．
【例
19
】
如图，长方形
ABCD
被
CE
、
DF
分成四块，已知其中
1
2
1
2
3
块的面积分别
为
2
、
5
、
8
平方厘米，那么余下的四边形
OFBC
的面积为
___________
平方厘米．
可编辑