小升初图形专题——五大模型
巡山小妖精
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2021年02月01日 20:12
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西迁精神-智力题
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一、等积变换模型
（
1
）等底等高的两个三角形面积相等；
（
2
）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
S
1
S
2
S
1
:
S
2
a
:
b
（
3
）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图
S
△
ACD
=
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
。
（
4
）正方形的面积＝边长×边长
＝对角线×对角线÷2
S
正方形
＝
a
×a
S
正方形
＝b×b÷2
1
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（
5
）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
二、鸟头定理（共角定理）模型
【共角三角形】
定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
规律：共 角三角形的面积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比。
如图，
在
△
ABC
中，
D
,
E分别是
AB
,
AC
上的点
(
如图
1)
或
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上(
如图
2)
，则
S
△
ABC
:
S△
ADE
(
AB
AC
)
:
(
AD
AE
)
图
1
图
2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S
2
:
S
4
S
3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型：一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；
2
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另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
2
2
①
S
1
:
S
3
a
:
b
2
2
②
S
1
:
S
3
:
S
2
:
S
4
a
:
b
:
ab
:
ab
；
③梯形
S
的对应份数为
a
b
2
。
3
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四、相似模型
相似三角形性质：
金字塔模型
沙漏模型
①
AD
AE
DE
AF
2
2
；
②
S
△
ADE
:
S
△
ABC
AF
:
AG
。
AB
AC
BC
AG
所谓的相 似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
(
只要其形状不改变，不论大
小怎样改变 它们都相似
)
，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
（
1
）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
（
2
）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
S
△ABG
∶
S
△AGC
＝
S
△BGE
∶
S
△EGC
＝
BE
∶
EC
S
△BGA
∶
S
△BGC
＝
S
△AGF< br>∶
S
△FGC
＝
AF
∶
FC
S
△ AGC
∶
S
△BCG
＝
S
△ADG
∶
S< br>△DGB
＝
AD
∶
DB
典型例题精讲
例
1
、一个长方形分成
4
个不同的三角形，绿色三角形面 积是长方形面积的倍，黄色三
4
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角形的面积是
21
平 方厘米。长方形的面积是
__________
平方厘米。
例
2
、如图，三角形田地中有两条小路
AE
和
CF
，交叉处为
D
，张大伯常走这两条小路，他知
道
DF
＝
DC
，且
AD
＝
2
DE
。则两块地
ACF
和
CFB
的面积比是
______ ____
。
【举一反三】
两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，
三个三角形的面积分别是
3
，
7
，
7
，则阴影四边形的面积是多少
【拓展】
如图，已知长方形
ADEF
的面积
16
，三角形
ADB
的面积是
3
，三角形
ACF
的面积是
4
，那
么三角形
ABC
的面积是多少
5
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