初中数学常见模型及部分解题思路
别妄想泡我
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2021年02月01日 20:14
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仇的拼音-靓丽
知行合一
知识改变命运，行动成就人生
1
初中数学常见模型解题思路
代
数
篇
1
、循环小数化分数：(1)
设元
(2)
扩大
(3)
相减抵消法【等式性质的运用】< br>
例：把
0
.
108108108
...
化为分数
.
设
a
=0
.
108108108
...
①
两边同时乘以
1000
，得
1000
a
=108
.
108108
...
②
②
-
①
，得< br>999
a
=108
，从而得
a
=108/999=4/37.
2
、对称式计算技巧：
“平方差公式、完全平方公式”
【整体思想的结合】< br>
x
y
,
x
y
,
xy
,
x
2
y
2
中，知二求二
.
(
加减配合，灵活变形
.)
如
(
x
y
)
2
x
2
y
2
2
xy
x
2
y
2
(
x
y
)
2
2
xy
；
(
x
y
)
2
x
2
y
2
2
xy
(
x
y
)
2
4
xy
.
1
1
3
、特殊公式
(
x
)
2< br>
x
2
2
2
的变型及应用
.
x
x
4
、立方和
/
差公式：
x
3
y
3
(
x
y
)(
x
2
xy
y
2
)
；
x
3
y
3
(
x
y
)(
x< br>2
xy
y
2
).
5
、等差数列求和的法：首尾相加法
. (
方法
+
公式
)
例：计算
1+2+3+4+
...
+2018.
【规律推导法；等式性质推导】
6
、等比数列求和法：
(1)设元
(2)
乘等比
(3)
相减
(4)
求解
.
例：计算
1+2+4+8+
...
+2
n
.
【这两种数列均可用等式性质进行推导】
1
1
n
m
1
1
n
m
7
、
的灵活应用
.
;
m
n
mn
m
n
mn
1
1
1
1< br>1
1
4
8
12
16
28
32
例：计 算
(1)
...
；
(2)
...
.< br>
2
6
12
20
30
380
1
< br>3
3
5
5
7
7
9< br>13
15
15
17
8
、韦达定理求关于 两根的代数式的值
.
1
1
1
1
(1)
对称式：
变和积
.
x
2
y
2
；
xy
2
x
2
y
；
；
2
2
.
(
x
、
y
为一元二次方程的两根
)
x
y
x
y
(2)
非对称式：根的定义
降次
变和积
(
一代入二韦达
)
9
、三大非负数及三大永正数
(
如
|
x
|+2).
10
、常用最值式：
(
x
y
)
2
正数
等
11
、换元大法
.
12
、 自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型
(
如配方
)
只能加一个数，
同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
13
、拆项法、配方法。
(
原理同上
)
14
、十字相乘法
.
15
、统计概率：两查
(
抽 样；普查
)
、三事
(
必然；随机；不可能
)
、四图
(
折线；条
形；扇形；直方
)
、三数三差、两频
(
频数；频 率
)
一概
(
概率
).
16
、一元二次方程应用题
.
如利率问题、握手送花问题等
17
、
a
b
，
则
a
b
在动点问题中的巧妙应用
(
避免繁琐的因为点的相对位置变
知行合一< br>
知识改变命运，行动成就人生
2
化引起的符号变化问题；平面直角坐标系 中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对
值的代数解法
).
18
、四个角的正 切值：
22.5
度的正切值为
2
1
；
67.5< br>度的正切值为
2
1
；
75
度的正切值为
2
3
；
15
度的正切值为
2
3
.
几
何
篇
1
、线、角的等量问题：
等角
(
如右图
)
：条件
AOB
COD
结论：
A
O
C
B
O
D
说明：可视作由旋转产生的“共点等角”
O
等线
(
如下图
)
：条件
AB
CD
结论：
AC
BD
C
说明：可视作由平移产生
O
A
B
C
D
B
A
C
B
D
A
2
、两条平行线夹一角
(
即“拐点问题”
)
A
E
A
E
例：如图
1
，条件
AE
∥
CF
P
P
结论：
P
AEP
PFC
360
如图
2
，条件
AE
∥
CF
C
F
C
F
结论：
P
EAP
FCP
3
、平行线夹等
(
同
)
底三角形：面积相等。
C
D
m
同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。
若
m
∥
n
，则
S
ABC
S
ABD
.
反之，若
S
ABC
S
ABD
，则
m
∥
n
.
A
B
n
4
、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和。
5
、三角形的角平分线
.
A
A
M
A
(1)
两内角平分线相交角：
P
90
2
P
A
一内一外角平分线相交角：
M
B
C
2
B
C
A
A
两外角平分线相交角：
N
90
(
如图
)
A
2
(2)
一内角平分线分对边所成的两条线段之比
B
C
等于该角两边之比
.
AB
BD
如：
AD
平分∠
BAC
，则
.
B
D
C
N
AC
CD
F
6
、三角形的中线：重心分中线为
1:2
两部分
.
A
B
K
如：三中线
AD
、
BE
、
CF
交于点
K
，则
D
2
2
2
E
A
AK
2
KD
AD
;
BK< br>
2
KE
BE
;
CK
2
KF
CF
.
3
3
3
C
F
7
、三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆
.
E
如：
AD
、
BE
、
CF
为高 ，则
AD
BC
BE
AC
CF
AB
;
△
ADB
∽△
CFB
等；
B
、
C
、
E
、
F
四点共圆等
.
B
D
C
D
B
C
A
D
知行合一
知识改变命运，行动成就人生
3
8
、
(1)
高与一角平分线的夹角等于另外两角差的一半
.
如：
AD
、
AE
分别为△
ABC(AB
≠
AC)
的角平分线和高，
A
C
B
B
E
D
C
.
2
(2)
两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的
5
倍
.
F
如：
AE
、
BF
分别为△
ABC
的中线，且
AE
⊥
BF
，
则∠
DAE=
则
AC
2
BC
2
5
AB
2
.
9
、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积
.
(1)
在△< br>ABC
中，
AD
、
BE
、
CF
相交于同一点
O
，
则
S
ABO
:
S
ACO
BD
:
CD
.
(2)
任意 四边形中的比例关系
(
“蝶形定理”
)
：
AO
:
OC
(
S
1
S
2
)
:
(
S
3
S
4
)
S
1
:
S
2
S
3
:
S
4
或者
S
1
S
4
S
2
S
3
.
A
A
C
F
O
E
D
A
S
1
S
2
O
S
3
S
4
B
C
E
B
B
D
C
10
、等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三
等变等直
.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦
=
底边的一半
/
腰
< br>*
重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边
×
这个角的余弦
=
另一边
A
的一半，此三角形为等腰三角形
(
一边为腰，另一边为底
).
BC
如图：
AB
cos
B
△
ABC
为等腰三角形
(BC
为底
).
B
C
2
*
“两线一圆模型”：已知线段
AB(
两定点
A
、
B)
，在平面内
找一点
C
，使△
ABC
为等腰三角形
.
这样的点< br>C
的集合在以
A
B
A
、
B
为半径的圆和
AB
的垂直平分线上
(
与
A
、
B
共线的点
除外
)
【等腰三角形存在性问题】
11
、直角三角形斜高 的求法：斜高
=
两直角边的乘积
/
斜边
*
直角三 角形存在性之“两线一圆模型”
：已知线段
AB(
两
定点
A
、
B)
，在平面内找一点
C
，使△
ABC
为直角 三角形
.
B
A
满足条件的
C
的集合在过
A
、
B
作线段
AB
的垂线及 以
AB
为直径的圆上的除
A
、
B
两点的任意点都可与A
、
B
组成
直角三角形
.(
即所谓的“两线一圆”
)
12
、等边三角 形面积的求法：
S
边长为
a
的等边三角形
3
2< br>a
4
高
13
、求面积的套路：
(1)
复杂 图形：一拆用加；二放用减
.
(2)
三角形：①面积公式；
②两边与夹角正弦的积的一半
(
遇钝变补
)
；
宽
③铅垂线法
(
宽高法
)
；④等边三角形的面积；
⑤利用相似比的平方等于面积比
(
借助面积可求的三角形的面积和相似比求解
)
；
⑥让出去
(
化归
).
知行合一
知识改变命运，行动成就人生
4
(3)
平行四边形面积
=
两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面 积
=
边长的平方与
一个内角的正弦的乘积；梯形的面积
=
两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半
.
(4)
共角
(
有一个角相等
)
三角形：面积的比等于等角两边乘积的比
(
鸟头定理
).
两个三角形中有一个角相等或互补，
这两个三角形叫做共角三角形
.
共 角三角形的
D
面积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
A
A
两夹边的乘积之比
.
D
如图，在△
ABC
中，
D
、
E
分别是
E
E
AB
、
AC< br>上
(
或延长线上
)
的点，则
S
ABC
:
S
ADE
(
AB
AC
)
:
(
AD
AE
)
B
C
B
C
14
、三大蝴蝶：
(1)
一线两等边
.
如图，△
ABC
、△
ECD
为等边三角形，
B
、
C
、
D< br>E
共线，则有：△
BCE
≌△
ACD
、△
DCG
≌△
ECF
、
△
BCF
≌△
ACG
；旋转
60°
形成的全等三角形，所以
A
K
△
CGF
也是等边三角形；三组平行线；
G
F
∠
AKB=
∠
BKC=
∠
DKC=60°
;KC
平分∠
BKD
；
K
、
F
、
C
、
G
四点共圆
.
D
B
C
(2)
一个三角形两等边
.
如图，以△
ABC
的两边
A B
、
AC
D
A
为边向外作等边△
ADB
和等边△
ACE
，则有：
E
△
ADC
≌△
ABE
CD=BE ,
∠
DGB=60°
,
∠
DGE=120°
又< br>S
ADC
S
ABE
点A
到
DC
和到
BE
的距离相等
A G
是∠
DGE
的平分线，∠
DGA=
∠
EGA=60°.
(3)
一个三角形两个正方形
.
如图，以△
ABC
的两边
AB
、
AC
为边向外作正方形
ABGF
和 正方形
ACDE
，
则有：
FC=BE
，
FC⊥
BE
；
AH
平分∠
FHE
；
G
A
、
F
、
B
、
H
四点共圆
.
15
、平行四边形的面积关系：
1
(1)
S< br>
AED
S
平行四边形
ABCD
；
2
(2)
平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线
(
一般找平行于两轴的直线
)
的距离相等
.
16
、平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：
AC
2
BD
2
AB
2
BC
2
CD
2
DA
2
长
宽17
、矩形一边上任意一点到对角线距离的和
=
.
对角线
G
B
F
E
C
A
H
B
A
O
E
C
C
D
D
B
A
D
P
18
、矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等
.
B
E
C
如图，矩形
ABCD
内任意一点
P
，则有：
PA
2
PC2
PB
2
PD
2
.
19
、矩形经典对折图
.
如图，矩形
ABCD
沿对角线
BD
对 折，
A
F
C
点到了
E
点 ，则一对全等
(
小直角三角形
)
一对相似，两个
等腰.
例：
AE:BD=3:5
则
AB:BC=4:8=1:2
，这 是因为相似比
为
3:5
，所以
EF:FB=3:5,
因此
ED=4(
勾股
)
而
AD=DF+FA=8.
B
D
C
知行合一
知识改变命运，行动成就人生
5
20
、正方形垂等图
.
垂直
相等
横平竖直；
“改邪归正”的辅助线方法
.
21
、正方形三兄弟成面积图
.
三个正方形如图摆放，
AN
恰好过
E
点
.
A
D
S
结论：
S
.
AGN
正方形
ECGF
A
G M
D
N
F
E
解法：
AC
∥
EC
∥
FN(
关键点
) < br>S
AGN
S
AGE
S
EGN
;
E
F
M
B
H
C
H
N
G
A
D
N
M
E
F
S
AGE
S
ECG
,
S
EGN
S
EGF
.
B
C
22
、两正方形垂直相等图
.
如图，
ABCD
、
CGFE
是正方形：
(1)< br>△
DCG
≌△
BCE;(2)BE
⊥
DG
，
BE=GD
；
(3)A
、
B
、
M
、D
四点共圆，
∠
ADB=
∠
AMB=
∠AMD=45°
,
△
ADM
∽△
AND,
B
C
G
AD
2
AM
< br>AN
；
(4)
若
DM
2
=ME
•
M A
，则
BD=BG
，△
BDG
为等腰三角形
.
(
∠
GDC=
∠
DAM=
∠
DBM=
∠
MB G)
，此时
MA=MB.
23
、正方形内含半角
(
其中产 生的两个双八字相似和等腰直角三角形
)---
邻边相等
的圆内接四边形内含半角图< br>.
A
E
D
条件：正方形
ABCD
中，∠
EBF=45°
,
结论：
G
1
H
(1)
EF=AE+FC
；
(2 )
l
AGN
l
正方形
ABCD
;(3 )
∠
DCA=
∠
EBF=45°
2
F
B
、
C
、
F
、
H
四点共圆，∠
BFH=90°
K
△
BHF为等腰直角三角形；
(4)
同上：∠
DAC=
∠
EBF=45°
B
C
B
、
K
、
E
、
A
四点共圆，∠
BFE=90°
A
△
BHE
为等腰直角三角形
.
24
、正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图
.
E
(1)
正方形内含
45°
模型推广到圆内接四边形(
对角互补的四边形
)
，
D
有一组邻边相等，且相等的邻边的夹角内含半角
.
B
条件：四边 形
ABCD
中，
BA=BC
，∠
ABC+
∠
D=1 80°
，
F
1
A
EB F
ABC
,
结论：
EF=AE+CF.
C
2
F
(2)
等腰直角三角形内含
45°
.
条件：等腰直角△
ABC
，∠
FBE=45°
，
E
结论：
EF
2
AF
2
CE
2
.
B
C
(3)
其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半 角图
.(
根据上述模型类比解决：用三角
A
B
A
B
比找到相关边的关系
.)
A
B
正方形互补型
.
(1)
对称中心有直角：
OE=OF
O
E
Q
(2)
直角顶点在对角线上：
D
C
PB=PQ
D
C
P
D
F
C
知行合一
知识改变命运，行动成就人生
6
小结：对角互补模型
A
D
C
O
E
B
A
C
O
B
D
E
(1)
全等型
--90°
条件： ①∠
AOB=
∠
DCE=90°
;
②
OC
平分∠< br>AOB
结论：①
CD=CE;
②
OD+OE=
2
O C
；
1
③
S
ODCE
S
OCD
S
OCE
OC
2
.
2
(2)
全等型
--120°
C
A
条件：①∠
AOB=2
∠
DCE=120°
;
D
②
OC
平分∠
AOB
O
E
结论：①
CD=CE;
②
OD+OE=OC
；
③
S
ODCE
S
OCD
S
OCE
3
OC
2
.
4
A
B
C
O
D< br>E
B
25
、正方形中
123
成
135°
< br>点
E
是正方形
ABCD
内的一点，连接
AE
、
BE
、
CE
，
将△
ABE
绕点
B顺时针旋转
90°
到△
CBE’
的位置
.
B
C
E
’
若
AE=1
，
BE= 2
，
CE=3
，则∠
BE’C
=
.
26
、相似模型：
(1)
正
A
、错< br>A
；正八、错八；正射影、错射影；正
K
、错
K(
一线三等角
)
射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比
.
A
(2)
双八字
(
共圆图之一
)
D
条件：∠
BAC=
∠
BDC(
同弦对等角
)
结论 ：
B
、
C
、
D
、
A
四点共圆；
B
C
△
ABM
∽△
DCM,
△
ADM
∽△
BCM;
其中
AB
、
BC
、
CD
、DA
四条弦所对的四对圆周角相等
.
(3)
线束定理：两平行线被过一点的三线所截得的四条“横线”对应成比例
.
O
AB
BC
A
条件：直线
m
∥
n
，结论：
.
DE
EF
(4)
平行于一边的线段截得的图形
A
B
C
m
D
E
(
三角形、四边形
)
面积之间的关系
.
D
E
F
n
条件：
DE
∥
BC
，
O
结论：图形中“对应”线段的比，
C
B
相关面积的比，知一求其它
.
A
A
(5)
三角形内叉型：知两比求其它比
.
D
D
BE:EC
CD:DA
AF:FE
BF:FD
F
知二求二
(
过已知比的节点作平行线
)
E
(6)
四线六点型：过其中的三条线组成
F
B
E
C
B
的被标记的一个三角形的一个顶点，
C
A
作不过这个顶点的直线的平行线
(
有两条
)
，问题迎刃 而解
.
技巧：如过
C
点可作
AB
或者
DE
的平行线
.
善于从纷繁复杂
D
1
E
的图形中找到这样的模型是关键
.
2
(7)
歪
A
模型
.
条件：∠
1=
∠
2
，结论：歪
A
生歪八，
C
B
歪八补型得歪
A(
延长
BD< br>、
CE
相交于点
A)
；对角互补的圆内接四边形补型
.
A
D
E
知行合一
知识改变命运，行动成就人生
7
28
、解直角三角形、解斜三角形
(
双勾股
)
(1)直角三角形：内高型、外高型、双高型
(
梯形
)
、单高型
(直角梯形
)
口诀：角优先、多求边；造模型、设表列
.
(2)
任意三角形：知三求三
(
三边、两角一边、两边及夹角
)
--
尽量不破坏已知的边和角
(
内高、外高
)
29
、解三角形之：角优先、套模型
.
D
(
附加模型：坡度、坡角、斜率、仰角、俯角、方向角
--
图略
)
O
30
、手拉手模型
D
O
*
模型一：手拉手模型
--
旋转型全等
E
(1)
等边三角形
E
C
C
条件：△
OAB
、△
OCD
均为等边三角形
A
B
A
B
结论：△
OAC< br>≌△
OBD;
∠
AEB=60°
;OE
平分∠
AED .
D
(2)
等腰直角三角形
C
条件：△
OAB
、△
OCD
均为等腰直角三角形
O
E
结论：△
OAC
≌△
OBD ;
∠
AEB=90°
;OE
平分∠
AED.
D
O
D
B
A
E
O
A
C
B
E
A
B
C
E
(3)
任意等腰三角形
A
B
O
C
条件：△
OAB
、△
OCD
均为等腰三角形
结论：△
OAC
≌△
OBD;
∠< br>AEB=
∠
AOB;OE
平分∠
AED.
D
*
模型二：手拉手模型
--
旋转型相似
O
O
(1)
一般情况
D
C
D
条件：
C D
∥
AB
，将△
OCD
旋转至右图位置
.
C < br>结论：右图中△
OCD
∽△
OAB
△
OAC
∽△
OBD;
A
B
B
A
延长
AC交
BD
于点
E
，必有∠
BEC=
∠
BOA.
(2)
特殊情况
D
条件：
CD
∥
AB
，∠
AOB=90°
，将△
OCD
旋转至右图位置
. 结论：右图中△
OCD
∽△
OAB
△
OAC
∽△
OBD;
O
C
O
延长
AC
交
BD
于点
E
，必有∠
BEC=
∠
BOA;
E
D
C
BD
OD
OB
t an
OCD
;BD
⊥
AC
；
B
A
AC
OC
OA
B
A
连接
AD、
BC
，必有
AD
2
+BC
2
=AB
2
+CD
2
；
1
S
BCD
AC
BD
(
对角线互相垂直的四边形
)
A(
x
A
，
y
A
)
D
(
xD
，
y
D
)
2
31
、三平三交造平四
(
两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等
)
条件：平行四边形
ABCD < br>B
(
x
B
，
y
B
)
C
(< br>x
C
，
y
C
)
x
A
< br>x
C
x
B
x
D
公式：
用中点或平移两种思路都可推理
y
A
< br>y
C
y
B
y
D
知行合一
知识改变命运，行动成就人生
8
32
、共圆图
.
(1)
共边两等角
(
直角
)--
见“双八字”图；
(2)
对角互补
(
对角有两直角
)
、外角等于内对角
.--
等腰梯形四顶点永远共圆
33
、垂径图、弦切图、双切图、切割图 、双割图、相交弦定理
(
对顶三角形相似
)
、
平行弦、圆内共点等弦 所成角被过这点的直径
(
半径
)
平分
.
34
、等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等
.
条件：
AB=AC
，∠
BAC=90°
，
D
为BC
之中点，∠
EDF=90°
A
1
结论：△ADF
≌△
BDE;
S
四边形
AEDF
S< br>
ABC
;
E
G
F
2
△
E DF
为等腰直角三角形；
E
、
D
、
F
、
A
四点共圆；
1
B
D
C
DE
2
=DF
2
=DG
•
DA
；
AE+AF=AB=AC;AD+AE+ AF=
l
ABC
.
2
35
、相似
+< br>公共边比例中项
(
平方：共边相似
+
勾股定理
)
36
、方程思想设表列，几何勿忘角优先，以角定边找关系，比例已知用负元
.
37
、两边分别平行或相等的两个角相等或互补
.
38
、中点四边 形口诀：对垂为矩；对等为菱；菱矩互变；任四为平
.
平正自变
39
、正
A
面积比法
(
知一比求全比
)
40
、三角形内十字叉：知二比求全比
(
六个比知二求四
)
1
1
41
、等腰直角三角形的面积
斜边的平方
直角边的平方
4
2
42
、动点问题的解题套路：
(1)
相似三角形的存在性；
(2)
等腰三角形的存在性：两点间距离公式、余弦大法、几何法；
(3)
直角三角形存在性：射逆、勾逆、斜中逆、一线三直角之逆、直线垂直交轨法
(4)
面积的函数关系及最值：正弦法、铅垂线法、拆放法、相似比转化法
(5)
将军饮马问题：线段和最小、差最大；动点变定线段怎么办；两路一村；两路
两村
.
(6)
平行四边形的存在性：三定一动
(
相对顶点横、纵坐标和相等< br>)
；两动两定
(
按照
定点之间线段分别做对角线及边分类：平行四边形 相关的全等性质求坐标
).
(7)
几何法
(
思路难、计算简
)
；代数法
(
思路简、计算难
)
；代几混合法
(
取长补短更
优越
)
43
、圆内接四边形
(
对角互补
)
的补形法：补形构造大
A
型
(
歪
A)
全等三角 形
.
(
特别注意：双勾股的用法
)
44
、被“误解”和 “冤枉”的
SSA
：两边和一边的对角相等，且第三边所对的角
不互补，则这两个三角 形全等
.