学习方法-谢霆锋个人资料

2021年2月2日发(作者：天堂寨)
八年级数学（下册）知识点总结

第十六章

二次根式


1.
二次根式
：式子
a
（
a
≥
0
）叫做二次根式。

2.
二次根式
有意义的条件
：

大于或等于
0
。

3.
二次根式的
双重非负性：
a
：

a

0
，

a
0


附：具有非负性的式子：

a

0
；

a

0
；

a
2

0

4
.
最简二次根式：
必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母
中不含根式。

5.
同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，
若被

相同，
则这几个二次根式就是同类
二次根式。

6.
二次根式的性质：

2

2
a
（
a
＞
0
）

（
1
）
（
a
）
=
a

（
a
≥
0
）
；


（
2
）
a

a


7.
二次根式的运算：

0
（
a
=0
）
；



a
（
a
＜
0
）
（
1
）
二次根式的
加 减法
：
先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（
2
）二次根式的
乘除法
：二次根式相乘（除）
，将被开方数相乘（除）
，所得的
积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab< br>=
a
·
b
（
a
≥
0
，
b< br>≥
0
）
；

b
b
（
b≥
0
，
a>0
）
．


a
a
（
3
）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，
•
乘法 对加法的分配
律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1
、概念与性质

例
1
下 列各式
1
）
1
1
,
2)

5,3)

x
2

2,
4)
4,5)
(

)
2
,6)
1

a
,7)
a
2

2
a

1
，

5
3
其中是二次 根式的是
_________
（填序号）
．

例
2
、
求下列二次根式中字母的取值范围

x

5

1
（
1
）

3

x
；

（
2
）

(x
-
2)
2

例
3
、

在根式
1)
a
2

b
2
;2)
x
5
;3)
x
2

xy
;4)
27
abc
，最简二次根式是（
A
．
1) 2) B
．
3) 4) C
．
1) 3) D
．
1) 4)
例
4
、
已知：

y< br>
1

8
x

8
x

1< br>
1
,
求代数式
x

y

x
y
2
y
x
2

y

x

2
的值。

例
5
、

（
2009
龙岩）已知数
a
，
b
，若
(
a

b)
2
=b
－
a
，则
(

)
A. a>b


B. a
C. a≥b




D. a≤b

2
、二次根式的化简与计算

例
1.

将
根号外的
a
移到根号内，得
(


)
A.
；


B.
－
；


C.
－
；


D.

1
例
2.

把（
a
－
b
）
－
a
－
b

化成最简二次根式

例
3
、计算：

例
4
、
先化简，再求值：



）5

1
5

1
1
1
b

，其中
a=
，
b=
．

2
2
a

b
b
a
(
a

b
)


例
5
、
如图，实数
a
、
b
在数轴上的位置，化简

：
a
2

b
2

(
a

b
)
2


4
、
（
1
）
、根式变形法

当
a

0,
b

0
时，①如果
a

b
，则
a

b
；②如果
a

b
，则
a

b
。

例
1
、比较
3
5
与
5
3
的大小。

（
2
）
、平方法

当
a

0,< br>b

0
时，①如果
a
2

b
2，则
a

b
；②如果
a
2

b
2
，则
a

b
。

例
2
、比较
3
2
与
2
3
的大小。

（
3
）
、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例
3
、
比较
2
1
与
的大小。

3

1
2

1
比较数值

（
4
）
、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例
4
、
比较< br>15

14
与
14

13
的大小。

（
5
）
、倒数法

例
5
、比较
7

6
与
6

5
的大小。

（
6
）
、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例
6
、
比较
7

3
与
87

3
的大小。

（
7
）
、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①
a

b
0

a

b
；②
a

b< br>
0

a

b

例
7
、
比较

（
8
）
、求商比较法

它运用如下性质：当
a>0
，
b>0
时，则：

①

1

a

b
；

②

1

a

b

b
b
a
a
2

1
2
与
的大小。
3

1
3
例
8
、比较
5

3
与
2

3
的大小。

5
、规律性问题

例
1.

观察下列各式及其验证过程：

，

验证：
；


验证
:
.
（
1
）
按
照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
4
4
的变形结果，并进行验证；

15
（
2
）针对上述各式反映的规律，写出用
n(n≥2，且< br>n
是整数
)
表示的等式，并给出
验证过程
.





第十七章

勾股定理



1.
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，
斜边长为
c
，
那么
a
2< br>
b
2

c
2
。

应用：

（
1
）已知直角
三角形的两边求第三边（
在

AB C
中，

C

90

，则
c
< br>a
2

b
2
，
b

c
2< br>
a
2
，
a

c
2

b< br>2
）

（
2
）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。


2.
勾股定理逆定理：
如果三角形三边长
a
,b,c满足
a
2

b
2

c
2
，那 么这个三角形是直
角三角形。


应用：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（定理中< br>a
，
b
，
c
及
a
2

b< br>2

c
2
只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角
形 三边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
< br>c
2

b
2
，那么以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是直角三角形，
但是
b
为斜边）

3
、勾股数


①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾 股数，
即
a
2

b
2

c
2中，
a
，
b
，
c
为正整数时，称
a
，
b
，
c
为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速 度，如
3,4,5
；
6,8,10
；
5,12,13
；7,24,25
等

③勾股数扩大相同的的倍数依然是一组新的勾股数。如
ka,kb,kc
4.
直角三角形的性质



（
1
） 直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠
C=90
°

∠
A+< br>∠
B=90
°


（
2
）在直角三角形中 ，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。


∠
A=30
°



BC=

∠
C=90
°


（
3
）
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半


∠
ACB=90
°



CD=
D
为
AB
的中点

5.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的 两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，
那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股 定理与勾股定理逆定理）

1
AB=BD=AD
2
1
AB
2
6
、摄影定理

在直角三角 形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的
摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和
斜边的比例中项

∠
ACB=90
°

CD
2

AD
•
BD




AC
2

AD
•
AB

CD
⊥
AB
BC
2

BD
•
AB

7
、常用关系式


由三角形面积公式可得：
AB
•
CD=AC
•
BC

8
、直角三角形的判定


1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c< br>有关系
a
2

b
2

c
2
，那么
这个三角形是直角三角形。

9
、命题、定理、证明

1
、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（
1
）命题必须是个完整的句子；

（
2
）这个句子必须对某件事情做出判断。

2
、命题的分类
（按正确、错误与否分）


真命题（正确的命题）

命题


假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3
、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4
、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5
、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6
、证明的一般步骤

（
1
）根据题意，画出图形。

（
2
）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（
3
）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。



10
、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（
1
）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（
2
）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论
1
：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论
2
：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。


11
、数学口诀
.

平方差公式
:
平 方差公式有两项，
符号相反切记牢，
首加尾乘首减尾，
莫与完全公式
相混淆。


完全平方公式
:
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾 平方，首尾二倍放中
央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。


第十八章

平行四边形


一．平行四边形



1
、定义
：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．




2
．平行四边形的性质



角：平行四边形的邻角互补，对角相等；


边：平行四边形两组对边分别平行且相等；


对角线：平行四边形的对角线互相平分；



面积：①
S=
底

高
=ah
；










3
．平行四边形的判定方法：


①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；





②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；


一组平行且相等的四边形是平行四边形；

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；


A
D
O< br>C
B
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；


二、特殊的平行四边形

（一）矩形

1
、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

2
、矩形的性质


①边：对边平行且相等；②角：对角相 等、邻角互补；③对角线：对角线互相
平分且相等；

3
、矩形的判定：

A
D
C
O
B
（
1
）平行四边形

一个直角


（
2< br>）三个角都是直角


四边形
ABCD
是矩形
. < br>（
3
）对角线相等的平行四
边形


D
C< br>（二）菱形

1
、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2
、菱形的性质：

A
B
①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相垂直平
D
分且每条对角线平分每组对角；

3
、菱形的判定方法：

（
1
）平行四边形
一组邻边等
A
O
C


（
2
）四个边 都相等


四边形四边形
ABCD
是菱形
.
（< br>3
）对角线互相垂直的平
行四边形


B
（三）正方 形

1
、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形

2
、正方形的性质：

①边：四条边都相等；②角：四角都是直角；

③对角线：对角线互相垂直平分且相
等，每条对角线平分每组对角。

3
、正方形的判定方法：

D
C
A
B
（< br>1
）平行四边形

一组邻边等

一个直角


（
2
）菱形

一个直角


四边形ABCD
是正方形
.

（
3
）
矩形

一组邻边等

(
四）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半
.
如图
:
∵
DE
是△
ABC
的中位线


∴
DE
∥
BC
，
DE=

（五）几种特殊四边形的面积问题


1
BC
2
B
D
A
E
C
①

设矩形
ABCD
的两邻边长分别为
a
,b
，则
S
矩形
= ab
．


②

设菱形
ABCD
的一边长 为
a
，高为
h
，则
S
菱形
=ah
；若菱形 的两对角线的长分别
1
为
b
,
c
，则
S
菱 形
=
bc


2
③

设正方形
A BCD
的一边长为
a
，则
S
正方形

a
2
；若正方形的对角线的长为
b
，则
S
正方形



1
2

2
b
四边形



1
．四边形的内角和与外角和定理：

（
1
）四边形的内角和等于
360
°；

（
2
）四边形的外角和等于
360
°
.

B
A
D

C

A
4

D
3
1
B
2
C
2
．多边形的内角和与外角和定理：< br>
（
1
）
n
边形的内角和等于
(n-2)180°；

（
2
）任意多边形的外角和等于
360
°
.
3
．平行四边形的性质：

（
）两组对边分别平行；
1

（

2
）两组对边分别相等；

因为ABCD
是平行四边形

（


3
）两组对角 分别相等；

4
）对角线互相平分；
（


（
5
）邻角互补
.
D
O
C
A
B



4.
平行四边形的判定：

（
1
）两组对边分别平行


（
2
）两组对边分别相等


（
3
）两组对角分别相等

ABCD
是平行四边形.
（
4
）一组对边平行且相等



（5
）对角线互相平分

D
O
C

A
B

5.
矩形的性质：

（
）具有平行 四边形的所
有通性
;

1

因为
ABCD
是矩形

（


2
）四个角都是直角
;

3
）对角线相等
.
（

D
C

O
A
D
B
C



A
B

6.
矩形的判定：

（
1
）平行四边形

一个直角


（
2
）三个角都是 直角


四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
）对角线相等的平行四
边形


D
C

O
A
D
B
C




7
．菱形的性质：

因为
ABCD
是菱形

（
）具有平行四边形的所
有通性；

1


（< br>

2
）四个边都相等；

3
）对角线垂直且平分对
角
.
（

A
O
C
D
A
B

B

8
．菱形的判定：

（
1
）平行四边形

一组邻边等


（
2
）四个边都相 等


四边形四边形
ABCD
是菱形
.
（
3
）对角线垂直的平行四
边形


A
D

O
C
B


9
．正方形的性质：

因为
ABCD
是正方形

（
）具有平行四边形的所
有通性；

1


（


2
） 四个边都相等，四个
角都是直角；

3
）对角线相等垂直且平
分对角
.
（

D
C
D
C
O
A
B
（
1
）

A
B

（
2
）

（
3
）

10
．正方形的判定：

（
1
）平行四边形
一组邻边等

一个直角


（
2
）菱形

一个直角


四边形
ABCD
是正方形
. < br>
（
3
）
矩形

一组邻边等

D< br>C
(3)
∵
ABCD
是矩形

又∵
AD=AB
∴四边形
ABCD
是正方形

A
B
11
．等腰梯形的性质：


1
（< br>）
两底平行，两腰相等；

因为
ABCD
是等腰梯形

（


2
）同一底上的底角相等
；

3
）对角线相等
.
（

A
O
B
C
D


12
．等腰梯形的判定：



（
2
）梯形

底角相等


四边形
ABCD
是等腰梯形

（
3
）梯形

对角线相等


（
1
）梯形

两腰相等
D
A
(3)
∵
ABCD
是梯形且
AD
∥
BC

B
O
C
∵
AC=BD
∴
ABCD
四边形是等腰梯形

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