初二数学下知识点
巡山小妖精
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2021年02月02日 01:27
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张铭乾
2011-1-16
初二下数学知识点回顾
分式
知识要点
1
．分式的有关概念
设
A
、
B
表示两个整式．如果
B
中含有字母，式子
A
就叫做分式．注意
B
分母
B
的值不能为 零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，
要进行约分化简
2
、分式的基本性质
A
A
M
A
A
M
（
M
为不等于零的整式）
,
B
B
M
B
B
M
3
．分式的运算
(
分式的运算法则与分数的运算法则类似
)
．
;
a
c
ad
bc
b
d
bd
(
异
分
母
相
加
，
先
通
分
)
；
b
d
bd
a
c
a
d
b
d
b
c
a
c
ac
ad
;
bc
a
n
a
n
(
)
n
.
b
b
p
4
．
零指数
a
1
(
a< br>
0
)
5
．
负整数指数
a
0
1
(
a
0
,
p
为正整数< br>).
a
p
a
m
a
n
a
m
n
,
注意正整数幂的运算性质
a
m
a
n
a
m
n
(
a
0
),
(
a
m
)n
a
mn
,
(
ab
)
n
a
n
b
n
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的
m< br>、
n
可以是
O
或负整数．
6
、解分式方 程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，
化为整式方程．解这个整式方程．
.
验根，即把整式方程的根代入最简公分
母，看结果是不是零，若结果不是
0
，说明此根是原方程的根；若结果是
0
，
说明此根是原方程的增根，必须舍去．
7
、列分式方程解应用题的一般步骤：
（
1
）审清题 意；
（
2
）设未知数（要有单位）
；
（
3
）根据题 目中的数量关系列
出式子，找出相等关系，列出方程；
（
4
）解方程，并验根 ，还要看方程的解
是否符合题意；
（
5
）写出答案（要有单位）
。< br>
1
0
-2
1. (-5)
=_____
；
2. 3
=________
；
3.
当
x_________
时，分式
有
x+1
1
意义；
4.
写出等式中未知的式子：
2
（
）
1
=
；
2
c
+7c
c+7
10a
b
5.
约分：
2
=______________
；
4ab
1
1
6.
分式：
、
的最简公分母为：
______
；
x-1
x-2
x
a
7.
若方程
=2 +
有增根，则增根为
x=______
；
x-4
x-4
3
x-a
1
8.
当
x=______
时，分式
的值为
1
；
9.
若
x=2
是方程
=
的解，
2x- 1
x+1
3
则
a=______
；
10. 某
种
感
冒
病
毒
的
直
径
是0.00000034
米
，
用
科
学
记
数
法
表
示
为
_______________
米；
1
1
1
11.
已知公式：
=
+
，若
R
1
=10
，
R
2
=15
，则
R=___________
；
R
R
1
R< br>2
2
6
5
3
7
1
10
12.
观察下列各式：
+
=2
，
+
=2
，
+
=2
，
+
2-4
6-4
5-4
3-4
7-4
1-4
10-4
-2
=2
，依照以上各式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式
-2-4
20
（
）
+
=2
成立
20-4
（
）
-4
13.
下列关于
x
的方程中，是分式方程的是（
）
1
1
x+2
3+x
A. 3x=
B.
=2 C.
=
D.3x-2y=1
2
x
5
4
14.
下列各式中，成立的是（
）
1
a+
2
a+1
y
m
a
x
a
3
A. =
B.
2
= m
C.
=
D.
=
xy
m
bx
b
1
a-1
a-
2
6
2
2
15.
要把分式方程：
3
1
=
化为整数方程，方程两边需同时乘以2
（
x-2
）
x
（
）
A.
2
（
x-2
）
B.x C.
2x-4 D.
2x
（
x-2
）
0
16. -(-2)
的运算结果为（
）
A. -1
B.
1
C. 0
D. 2
a
- b
17.
化简
2
的结果为（
）
a
+ ab
2
2
2
a-b
a-b
a+b
a-b
A.
B.
C.
D.
a+ab
a
a
a+b
18.
若有
m
人< br>a
天可完成某项工程，
且每个人的工作效率是相同的，
则这样
的（m+n
）人完成这项工程所需的天数为（
）
am
a
m+n
A. a + m B.
C.
D.
m+n
m+n
am< br>x+1
x+1
x
+9x
x
-9x
19.
计算 ：
2
÷
20.
计算：
2
+
2
x
-2x+1
x-1
x
+ 3x
x
+6x+9
80
60
7
1-3x
21
．解方程：
=
22.
解方程：
+2 =
x+3
x
-3
x
+2
x+2
x
x
4x
23.
先化简，再求值：
（
+
）÷
，其中
x=2007.
x
-2
x+2
x
-2
x
-2x+1
x
-x
1
24.
已知
y =
2
÷
-
+1
，试说明在等号右边代数 式有意义的
x
-1
x+1
x
条件下不论
x
为何值，
y
的值不变。
25.
为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自
07
年
1
月
1
日起调整居
民用水价格， 每立方米水费上涨
25%
。该市林老师家
06
年
12
月份 的水费
是
18
元，
而
07
年
1
月份的水费 是
36
元，
且已知林老师家
07
年
1
月份的用3
水量比
06
年
12
月份的用水量多
6m
。求 该市去年
的居民用水价格。
．．
26.
已知某项工程由甲、乙两队 合作
12
天可以完成，共需工程费用
13800
元，乙队单独完成这项工程所 需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的
1.5
倍，且甲队每天的工程费比乙队多
1 50
元。
⑴甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天；
⑵若工程管理部分决定从两个队中选一个队单独完成此项工程，
以节
约资金的角度考虑，应选 择哪个工程队？请说明理由。
正比例、反比例、一次函数
第一象限
(
＋，＋
)
，第二象限
(
－，＋
)第三象限
(
－、－
)
第四象限
(
＋，
－
)
；
x
轴上的点的纵坐标等于
0
，
反 过来，
纵坐标等于
0
的点都在
x
轴上，
y
轴上的点 的横坐标等于
0
，反过来，横坐标等于
0
的点都在
y
轴上，
若点在第一、
三象限角平分线上，
它的横坐标等于纵坐标 ，
若点在第二，
四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；
2
2
2
2
3
若两个点关于
x
轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点
关于
y
轴对称，纵坐标相等，横坐 标互为相反数；若两个点关于原点对称，
横坐标、纵坐标都是互为相反数。
1
、
一次函数，正比例函数的定义
（
1
）如果
y=kx+b(k,b
为常数，且
k
≠
0),
那么
y
叫做
x
的一次函数。
（
2
）
当
b
＝
0
时，
一次函数
y=kx+b
即为
y=kx(k
≠
0).
这时，
y
叫做
x
的正
比例函数。
注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
2
、正比例函数的图象与性质
（
1
）正比例函数
y=kx(k
≠
0)
的图象是过（
0
，
0
）
（
1
，
k
）的一条直线。
（
2
）当< br>k>0
时
y
随
x
的增大而增大
直线
y=kx
经过一、三象限
从
左到右直线上升。
当
k<0
时
y
随
x
的增大而减少
直线
y
＝
kx
经过二、四象限
从
左到右 直线下降。
3
、一次函数的图象与性质
（
1
）
一次函数
y=kx+b(k
≠
0 )
的图象是过
（
0
，
b
）
（－
注：
（
0,b
）是直线与
y
轴交点坐标，
（－
标
.
（
2
）当
k>0
时
y
随
x的增大而增大
直线
y=kx+b(k
≠
0)
是上升的
当
k<0
时
y
随
x
的增大而 减少
直线
y
＝
kx+b(k
≠
0)
是下 降的
4
、一次函数
y=kx+b(k
≠
0, k b
为常数
)
中
k
、
b
的符号对图象的影响
（
1
）
k>0, b>0
直线经过一、二、三象限
（
2
）
k>0, b<0
直线经过一、三、四象限
（
3
）
k<0, b>0
直线经过一、二、四象限
（
4
）
k<0, b<0
直线经过二、三、四象限
b
，
0
）
的一条直线。
k
b
，
0
）是直线与
x
轴交点坐
k
4
5
、对一次函数
y=kx+b
的系数
k, b
的理解。
（
1
）
k(k
≠
0)
相同，
b
不同时的所有直线平行，即直线
l
1
:y=k
1< br>x+b
1
；直线
l
2
:y=k
2
x+b2
( k
1
，
k
2
均不为零，
k
1< br>，
b
1
，
k
2
，
b
2
为常数
)
k
1
=k
2
k
1
=k
2
l
1
∥
l
2
l
1
与
l
2
重合
b
1
≠
b
2
b
1
=b
2
（
2
）
k(k
≠< br>0)
不同，
b
相同时的所有直线恒过
y
轴上一定点（
0,b
）
，例如：
直线
y=2x+3, y=-2x+3, y=
1
x+3
均交于
y
轴一点（
0
，
3
）
2
6
、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，
平移得到的直线
k
不变，
直线沿
y
轴平移多 少个单位，
可由公式
︱
b
1
－
b
2
︱得到 ，其中
b
1
，
b
2
是两直线与
y
轴交点的 纵坐标，直线沿
x
轴
平移多少个单位，可由公式︱
x
1
－< br>x
2
︱求得，其中
x
1
，
x
2
是由 两直线与
x
轴交点的横坐标。
7
、直线
y=kx+b(k
≠
0)
与方程、不等式的联系
（
1
）一条直线< br>y=kx+b(k
≠
0)
就是一个关于
y
的二元一次方程
（
2
）求两直线
l
1
:y=k
1
x +b
1
(k
1
≠
0)
，
l
2
:y =k
2
x+b
2
(k
2
≠
0)
的交点，就
是解关于
x
，
y
的方程组
y=k
1
x+b
1
y=k
2
x+b
2
(3)
若
y>0则
kx+b>0
。若
y<0
，则
kx+b<0
(4)
一元一次不等式，
y
1
≤
kx+b
≤
y
2
(
y
1
，
y
2
都是已知数，且
y
1
)
的解
集就是直线
y=kx+b
上满足
y
1
≤
y
≤
y
2
那条线段所对应的自变量 的取值范
围。
5
（
5
）
一元一次不 等式
kx+b
≤
y
0
(
或
kx+b
≥y
0
)(
y
0
为已知数
)
的解集就是直线
y=kx+b
上满足
y
≤
y
0
(
或
y
≥
y
0
)
那条射线所对应的自变量的取范围。
8
、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件
（
1
）
由于比例函数
y=kx(k
≠
0)
中只有一个待定系数
k
，
故只要一个条件
（如
一对
x,y
的值或一个点）就可求 得
k
的值。
(2)
一次函数
y=kx+b
中有 两个待定系数
k,b
，需要两个独立的条件确定
两个关于
k,b
的方 程，求得
k,b
的值，这两个条件通常是两个点，或两对
x,y
的值。
9
、反比例函数
(1)
反比例函数及其图象
如果
y
k
(
k
是常数
,
k
0
)
,
那么 ，
y
是
x
的反比例函数。
x
反比例函数的图象是 双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例
函数的图象
（
2
）反比例函数的性质
当
K>0
时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内，
y
随
x
的增大而减小；
当
K<0
时，图象的两个 分支分别在二、四象限内，在每个象限内，
y
随
x
的增大而增大。
(3)
由于比例函数
y
k
故只
(
k是常数
,
k
0
)
中只有一个待定系数
k，
x
要一个条件（如一对
x,y
的值或一个点）就可求得
k的值。
１、函数
y
2
中，自变量
x
的取值范围为
.
2
x
4
m+2
2
、若函数
y= -2x
是正比例函数，则
m
的值是
.
3< br>、已知一次函数
y=kx+5
的图象经过点（
-1
，
2
）
，则
k=
。
4
、
已知 点
A
（
3
，
m
）
与点
B
（
n
，
-2
）
关于
y
轴对称，
则
m=
，
n= .
5
、点
P
（
3
，－
4
）关于
X
轴对称的点是
__________
。< br>
6
、一次函数
y= -2x+4
的图象与
x
轴交点坐标是
，与
y
轴交点坐
标是
,
6
图象与坐标轴所围成的三角形面积是
.
7
、将直线
y
＝
3x + 4
向下平移
6个单位，得到直线
________________
。
8
、点
P
（
a
，
a
－
2
）在第三象限，则
a
的取值范围是
___ _ .
9
、已知
y-2
与
x
成反比例，当
x
=3
时，
y
=1
，则
y
与
x
间的函数关系式
为
；
10
、
设有反比例函数
y
k
1
，
(
x
1
,
y
1
)
、
(
x
2
,
y
2
)
为其图象 上的两点，
x
若
x
1
0
x
2
时，
y
1
y
2
，则
k
的取值范 围是
___________
11
、已知点
P
在第二、四象限夹角 的平分线上，且到
y
轴的距离为
4
2
，则
点
P的坐标为
_________________
。
12.
函数
y
x
1
中，自变量
x
的取值范围是< br> ( )
A
.
x
< 1
B
.
x
≤
1
C
.
x
> 1
D
.
x
≥
1
13.
若点在第二象限，且到轴的距离分别为
4
，
3
，则点的坐标为（
）
A
、
（
4
，－
3
）
C
、
（－
3
，
4
）
B
、
（
3
，
－
4
）
D
、
（－
4
，
3
）
14
．点< br>M
（
1
，
2
）关于
x
轴对称点的坐标为（< br>
）
A
、
（－
1
，
2
）
B
、
（－
1
，－
2
）
C
、
（
1
，－
2
）
D
、
（
2，－
1
）
15.
一次函数
y=
－
2x+3
的图像不经过的象限是
（
）
.
A
第一象限
B
第二象限
C
第三象限
D
第四象
限
16
．一天，小军和 爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为
300
米．小军先走
了一段路程，
爸爸 才开始出发．
图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚
登山的路程
S(
米< br>)
与登山所用的时间
t
（分）
的关系
（从爸爸开始登山时计时 ）
．
根
据图象，下列说法错误的是（
）
A
．爸爸登山时，小军已走了
50
米
B
．爸爸走了
5
分钟，小军仍在爸爸的前面
C
．小军比爸爸晚到山顶
D
．爸爸前
10
分钟登 山的速度比小军慢，
10
分钟后登山的速度比小军快
7
17
、如果反比例函数
y
k
x
的图像经过点（－
3
，－
4
）
，那么函数的图像应
在（
）
A
、第一、三象限
B
、第一、二象限
C
、第二、四象限
D
、第三、四
象限
18
、若反比例函数
y
(
2
m
1
)
x
m
2
2
的图像在第二、四象限，则
m
的值是
（
）
A
、－
1
或
1
B
、小于
1
2
的任意实数
C
、－
1
Ｄ、不能确定
19
、
正比例函数
y
kx
-
k
例函数
y
k
x
在同一坐标系内的图象为
（
）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
20
、如右图，
A
为反比例函数
y
k
x
图象上一点，
AB
垂直
x
轴于
B< br>点，若
S
△
AOB
＝
3
，则
k
的值 为（
）
A
、
6
B
、
3
C
、
3
2
D
、不能确定
y
A
21
、
已
知
反
比
例
函
数
y
12
O
B
x
x
的
图
象
和
一
次
函
数
y
kx
7
的图象都经过点
m
,
2
。
⑴求这个一次函数
的解析式；⑵如图，梯形
ABCD
的顶点
A
、
B
在这个一
次函数的图象上，顶点
C
、
D
在已知反 比例函数的图象
上，两底
AD
、
BC
与
y
轴平行， 且点
A
、
B
的横坐标分
别为
2
和
4
，求梯形
ABCD
的面积。
8
22
、如图 ，矩形
OABC
的边
OA
、
OC
分别在
x
轴和
y
轴上，且点
A
的坐标
为
4
,0
，点
C
的坐标为
0
,
2
，点
P
在线段
CB
上，距离
y
轴
3< br>个单位，有
一直线
y
kx
b
k
0
经过点
P
，且把矩形
OABC
分 成两部分。
⑴若直线又经过
x
轴上一点
D
，
且把 矩形
OABC
分成的两部分面积相等，
求
k
和
b
的 值；
⑵若直线又经过线段
AB
上一点
Q
，且把矩形
OABC
分成的两部分的面积比为
3
：
29
，求点
Q坐标。
23
、
如图所示，直线
PA
是一次函数
y=x+n(n>0)
的图象，直线
PB
是一次
函数
y=-2x+m(m>n)
的图象
（1
）用
m,n
表示
A
，
B
，
P
的坐标
（
2
）若点
D
是
PA
与
y
轴的交点，且四边形
PDOB
的面积是
5
，
AB
＝
2
，试求
P
点坐标并写
6
出直线
PA
·
PB
的解析式
9
24
、
已知：
如图，
在平面直角坐标系
xoy
中，
A
、
B
两点的坐标分别为
A
（
12
，
0< br>）
、
B
（
0
，
9
）若点
N
在直线
AB
上，且
S
BON
：
S
BOA
＝
1
：
3,
求直线
ON
的解析式。
25.
已知反比例函数
y=
k
和一次 函数
y=2x
－
1
，
2x
其中一次函数的图象经过（
a
，
b
）
，
（
a+1
，
b+k
）两点。
（
1
）求反比例函数的
解析式
（
2）如图，已知点
A
在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求
A
点 的坐标。
（
3
）利用（
2
）的结果，请问：在
x
轴上是否存在点
P
，使△
AOP
为等腰三
角形？若存在，把 符合条件的
P
点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
26
．如图，直线
y
＝
1
x
＋
2
分别交
x
、
y
2
轴于点
A
、
C
，
P
是该直线上在第一象限内
的一点，
PB
⊥< br>x
轴，
B
为垂足，
S
△
ABP
＝
9
．
（
1
）求点
P
的坐标；
（
2
）设点
R
与点
P
的同一个反比例函数的图象上，且点R
在直线
PB
的右侧，作
RT
⊥
x
轴，
T
为垂足，当△
BRT
与△
AOC
相似时，求点
R
的坐
标
.
10