人教版最新八年级数学重要知识点总结(下册)
余年寄山水
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2021年02月02日 01:27
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八年级数学（下册）知识点总结
第十六章
二次根式
< br>1.
二次根式：
式子
a
（
a
≥
0
） 叫做二次根式。
2.
最简二次根式：
必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
3.
同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.
二次根式的性质：
a
（
a
＞
0
）
2
（
1
）
（
a
）
=
a
（
a
≥
0
）
；
（
2
）
a
2
a
0
（
a
=0
）
；
a
（
a
＜
0
）
5.
二次根式的运算：
< br>（
1
）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算
术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，
•
变形为 积的形式，
再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（
2
）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（
3
）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）
，将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍
作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
a b
=
a
·
b
（
a≥0
，
b≥0
）
；
b
b
（
b≥0
，
a>0
）
．
< br>
a
a
（
4
）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结 合律，
•
乘法对加法的分配律以及多项
式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
- 1 -
【典型例题】
1
、概念与性质
例
1
下列各式
1
）1
5
,
2)
5,3)
x
2
2,
4)
4,5)
(
1
3
)
2
,6)
1
a
,7)
a
2
2
a
1
，
其中是二次根式的是
_________
（填序号）
．
例
2
、求下列二次根式中字母的取值范围
x
5
1
（
1
）
3
x
；
（
2
）
(x
-
2)
2
例
3
、
在根式
1)
a
2
b
2
;2)
x
5
;3)
x
2
xy
;4)
27
abc
，最简二次根式是（
）
A
．
1) 2)
B
．
3) 4)
C
．
1) 3)
D
．
1) 4)
y
1
8
x
8
x
1
1
,
求代数式x
y
2
x
例
4
、已知 ：
2
y
x
y
y
x
2
的值。
例
5
、
（
2009
龙岩）已知 数
a
，
b
，若
(
a
b
)
2
=b
－
a
，则
(
)
A. a>b
B. a
C. a≥b
D. a≤b
2
、二次根式的化简与计算
例
1.
将
根号外的
a
移到根号内，得
(
)
A.
；
B.
－
；
C.
－
；
D.
例
2.
把（
a
－
b
）
－
1
a
－
b
化成最简二次根式
- 2 -
例
3
、计算：
例
4
、先化简，再求值：
5
1
5
1
1
1
b
，其中
a=
，
b=
．
2
2< br>a
b
b
a
(
a
b
)< br>
例
5
、如图，实数
a
、
b
在 数轴上的位置，化简
：
a
2
b
2
< br>(
a
b
)
2
4
、比较数值
（
1
）
、根式变形法
< br>当
a
0,
b
0
时，①如果
a< br>
b
，则
a
b
；②如果
a
b
，则
a
b
。
例
1
、比 较
3
5
与
5
3
的大小。
（
2
）
、平方法
当
a
0,< br>b
0
时，①如果
a
b
，则
a< br>
b
；②如果
a
b
，则
a
b
。
例
2
、比较
3
2
与
2
3
的大小。
（
3
）
、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例
3
、比较
2
2
2
2
2
1
与
的大小。
3
1
2
1
第十七章
勾股定理
1.
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长 分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
＋< br>b
=c
。
2
2
2
2.
勾股定理逆 定理：
如果三角形三边长
a,b,c
满足
a
＋
b
= c
。
，那么这个三角形是直角三角
2
2
2
形。
3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题 设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫
做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
- 3 -
4.
直角三角形的性质
（
1
）
、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠
C=90
°
∠
A+
∠
B=90
°
（
2
）
、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。可表示如下：
∠
A=30
°
BC=
∠
C=90
°
（
3
）
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。可表示如下：
∠
ACB=90
°
CD=
D
为
AB
的中点
1
AB
2
1
AB=BD=AD
2
5
、射影定理
在直角三角形中，
斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比
例中项，每条直角边是它们在 斜边上的射影和斜边的比例中项
∠
ACB=90
°
CD
2
AD
•
BD
AC
2
AD
•
AB
CD
⊥
AB
BC
2
BD
•
AB
6
、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB
•
CD=AC
•
BC
7
、直角三角形的判定
1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a
，
b
，
c
有关系
a
b
c
，那么这个三角形
是直角三角形。
2
2
2
8
、命题、定理、证明
1
、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（
1
）命题必须是个完整的句子；
（
2
）这个句子必须对某件事情做出判断。
2
、命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）
命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3
、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4
、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
- 4 -
5
、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6
、证明的一般步骤
（
1
）根据题意，画出图形。
（
2
）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（
3
）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9
、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（
1
）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（
2
）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论
1
：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论
2
：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10
数学口诀
.
平方差公式
:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方公式
:
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首± 尾括号
带平方，尾项符号随中央。
- 5 -
第十八章
平行四边形
1
．四边形的内角和与外角和定理：
（
1
）四边形的内角和等于
360
°；
（
2
）四边形的外角和等于
360
°
.
A
D
B
C
2
．多边形的内角和与外角和定理：
（
1< br>）
n
边形的内角和等于
(n-2)180
°；
（
2
）任意多边形的外角和等于
360
°
.
3
．平行四边形的性质：
（
）两组对边分别平行；
1
（
2
）两组对边分别相等；
因为ABCD
是平行四边形
（
3
）两组对角 分别相等；
4
）对角线互相平分；
（
（
5
）邻角互补
.
A
4
D
3
2
C
1
B
D
O
C
A
B
4.
平行四边形的判定：
（
1
）两组对边分别 平行
（
2
）两组对边分别相等
（
3
）两组对角分别相等
ABCD
是平行四边形
.
（
4
）一组对边平行且相等
（
5
）对角线互相平分
D
O
C
A
B
5.
矩形的性质：
D
C
（
）具有平行四边形的所
有通性
;
1
因为ABCD
是矩形
（
2
）四个角都是直角
;
3
）对角线相等
.
（
6.
矩形的判定：
O
A
D
B
C
A
B
D
C
（
1
）平行四边形
一个直角
（2
）三个角都是直角
四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
）对角线相等的平行四
边形
7
．菱形的性质：
因为
ABCD
是菱形
O
A
D
B
C
A
B
D
（
）具有平行四边形的所
有通性；
1
（
2
）四个边都相等；
3
）对角线垂直且平分对角
.
（
A
O
C
B
- 6 -