初二数学知识点总结
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2021年02月02日 01:28
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想象-初中生
初二数学知识点总结
上册知识点：
第一章
一次函数
1
函数的定义，函数的定义域、值域、表达式，函数的图像
2
一次函数和正比例函数，及其表达式、增减性、图像
3
从函数的观点看方程、方程组和不等式
如果当
x=a
时
y =b
，那么
b
叫做当自变量的值为
a
时的函数值。
形如
y=kx
（
k
是常数，
k
≠
0
）的 函数，叫做正比例函数，其中
k
叫做比例系数。
形如
y=kx+b
（
k
，
b
是常数，
k
≠
0
）的函 数，叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一
次函数。当
k
＞
0
时 ，
y
随
x
的增大而增大；当
k
＜
0
时，< br>y
随
x
的增大而减小。
一、
.
常量、变量
在一个变化过程中
,
数值发生变化的量叫做
变量
，数值始终不变的量 叫做
常量
。
二、函数的概念
函数的定义：
一般 的，在一个变化过程中如有两个变量
x
与
y
，并且对于
x
的 每一个
确定值，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么就说
x
是自变量 ，
y
是
x
的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法
（
1
）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2
）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为
0
的一切实数。
（
3
）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一
切实数。
（
4
）
若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，
然后再求其公共
范围，即为自变量的取值范围。
（
5
）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义
一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别 作为点的横、纵
坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1
、列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2
、描点：在直角 坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表
格中数值对应的各点。
3
、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。
六、函数有三种表示形式
（
1
）列表法
（
2
）图像法
（
3
）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念
：
一般地，
形如
y=k x(k
为常数，
且
k
≠
0)
的函数叫做正比例函数，
其中
k
叫做比例系数。
一般地，形如
y=kx+b
(k,b
为常数，且
k
≠
0)
的函数叫做一次函数。
.
当
b =0
时
,y=kx+b
即为
y=kx
，所以正比例函数是一次函数的特例
.
。
八、正比例函数的图象与性质
图象：
正比例函数
y= kx (k
是常数，
k
≠
0)
的图象是经过原点的一条直线，
称之为直线
y= kx
。
性质：当
k>0
时
,
直线
y=
kx
经过 第三，一象限，从左向右上升，即随着
x
的增大
y
也
增大；当
k<0
时
,
直线
y= kx
经过二
,
四象限，从左向右下降，即随着
x
的增大
y
反而减小。
九、求函数解析式的方法
:
待定系数法：
先设出函数解析式，再根据条件确 定解析式中未知的系数，从而具体写
出这个式子的方法。
1
、一次函数与一 元一次方程：从
“
数
”
的角度看
x
为何值时函数
y = ax+b
的值为
0
．
2
、求
ax
+
b
=0(
a
,
< br>b
是常数，
a
≠
0)
的解，从
“
形
”
的角度看，求直线
y=
ax+b
与
x
轴交
点的横坐标
3
、一次函数与一元一次不等式：
解不等式
ax
+
b
＞
0(
a
，
b是常数，
a
≠
0)
．
从
“
数
”的角度看
，
x
为何值时函数
y= ax+b
的值大于
0
。
4
、解不等式
ax
+
b
＞
0(
a
，
b
是常数，
a
≠
0)
．从“形”的角度看，求直线
y= ax+b
在
x
轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。
十、一次函数与正比例函数的图象与性质
一
次
函
数
概
念
图
像
性
质
如果
y=kx+b
（
k
、
b
是常数，
k
≠
0
）
，那么
y
叫
x
的一次函数，当
b=0
时，一
次函数
y=kx
（
k
≠
0
）也叫正比例函数。
一条直线
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大
(
或减小
)
而增大
(
或减小
)
；
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大
(
或减小
)
而减小(
或增大
).
（
1
）
k>0
，< br>b
＞
0
图像经过一、二、三象限；
直线
y=kx+ b
（
k
（
2
）
k>0
，
b
＜0
图像经过一、三、四象限；
≠
0
）
的位置与
k
、
（
3
）
k>0
，
b
＝
0
图像经过一、三象限；
b
符号之间的关
（
4< br>）
k
＜
0
，
b
＞
0
图像经过一、二 、四象限；
系
.
（
5
）
k
＜
0
，
b
＜
0
图像经过二、三、四象限；
（
6
）
k
＜
0
，
b
＝
0
图像经过 二、四象限。
一次函数表达式
求一次函数
y=kx+b
（
k
、
b
是常数，
k
≠
0
）时，需要由两个点来确定 ；求正
比例函数
y=kx
（
k
≠
0
）时，只需一个 点即可
.
。
的确定
十一、一次函数与二元一次方程组
解方程组
a
1
x
b
1
y
c
1
从
“
数
”
的角度看，自变量（
x
）
为何值时两个 函数的值相等并
x
y
c
2
a
2
b
2
求出这个函数值。
a
解方程组
1
x
b
1
y
c
1
从
“
形
”
的角度看，确定两直线交点的坐标。
.
a
2
x
b
2
y
c
2
第二章
数据的描述
1
了解几种常见的统计图表：条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图。
条形图特点：
（
1
）能够显示出每组中的具体数据；< br>（
2
）易于比较数据间的差别。
扇形图的特点：
（
1
）用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比；
（
2
）易于显示每组数据相对与总数的大小。
折线图的特点；
描述数据的变化趋势。
直方图的特点：
（
1
）能够显示各组频数分布的情况；
（
2
）易于显示各组之间频数的差别。
求出各个小组两个端点的平均数，这些平均数称为组中值。
2
会用各种统计图表示出一些实际的问题。
第三章
全等三角形
一、全等三角形
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
1
、定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相 等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、
旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生 变化而改变。
2
、全等三角形有哪些性质
（
1
）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（
2
）全等三角形的周长相等、面积相等。
（
3
）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3
、全等三角形的判定
边边边
（
SSS
）
：三边对应相等的两个三角形全等
边角边
（
SAS)
：
:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全 等
角边角
（
ASA)
：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
角角边
（
AAS)
：
:
两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等
斜边直角边
（
HL)
：斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等
证明两个三角形全等的基本思路：
4
、证明两个三角形全等的基本思路
方法指引
（
1
）：已知两边
----
找第三边
(
SSS
)
找夹角
（
SAS
)
找是否有直角
(HL
)
找这边的另一个邻角
(
ASA
)
已知一边和它的 邻角
找这个角的另一个边
(
SAS)
找这边的对角
(
AAS
)
已知一边和它的对角
找一角
(
AAS
)
已知角是 直角，找一边
(
HL
)
找两角的夹边
(ASA)
找夹边外的 任意边
(
AAS
)
(2):
已知一边一角
---
( 3):
已知两角
---
练习
二、
角的平分线
：
从一 个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，
称这条射线为
这个角的平分线。
1
、性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在角的
平分线上。
2
、判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（
1)
要正确区分< br>“
对应边
”
与
“
对边
”
，
“
对应角
”
与
“
对角
”
的不同含义；
（
2
表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（
3
）
“
有三个角对应相等
”
或
“
有两边及其中一边的对角对应相等
”
的两个三角形不一定全
等；
（
4
）时刻注意图形中的隐含条件，如
“
公共角
”
、
“
公共边
”
、< br>“
对顶角
”
；
（
5
）截长补短法证三角形全等。
第四章
轴对称
1
轴对称图形和关于直线对称的两个图形
2
轴对称的性质
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
如两个图形关于某条直线对称，
那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分 线；
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3
用坐标表示轴对称
点（
x
，y
）关于
x
轴对称的点的坐标是
(x,-y)
，关于
y
轴对称的点的坐标是
(-x,y)
，关于
原点对称的点的坐标是
(- x,-y).
。
4
等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等；
（等边对等角）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；
（三线合一）
理解：
已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。
（等角对等边）
等 腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等。
（等
角对等边）
5
等边三角形的性质和判定
性质：
等边三角形的三个内角都相等，都等于
60
度；
判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是
60
度的等腰三角形是等边三角形；
推论：
1
、直角三角形中，如果有一个锐角是
30
度，那么他所对的直角边等于斜边 的一
半。
2
、在三角形中，大角对大边，大边对大角。
3
、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
6
轴对称图形
1.
把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够 完全重合，那么这个图形就
叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说 这个图形关于这条直线
（成
轴）对称。
2.
把一个图形沿着某一 条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个
图关于这条直线对称。这条直线叫做对称 轴，折叠后重合的点是对应点
,
叫做对称点。
3
、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴 对称图形
A
轴对称
A'
图形
B
A
区别
(1 )
轴对称图形是指
( )
一个
(1)
轴对称是指
( )
两个
图形
具
有特殊形状的图形
,
的位置关系
,
必须涉及
只对
( )
一个
图形而言
;
( )
两个
图形
;
(2)
对称轴
( )
不一定
只有一条
(2)
只有
( )
一条
对称轴
.
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分
,
那么这两个图形< br>就关于这条直线成轴对称
.
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体< br>,
那
么它就是一个轴对称图形
.
C
B
C
C'
B'
联系
4.
轴对称与轴对称图形的性质
①
关于某直线对称的两个图形是全等形。
②
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直< br>平分线。
③
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④
如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线
对称。
⑤
两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点< br>在对称轴上。
7
线段的垂直平分线
定义：
经过 线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中
垂线。
性质
：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
判定：
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
8
用坐标表示轴对称小结
1
、在平面直角坐标系中
①关于
x
轴对称的点横坐标相等
,
纵坐标互为相反数
;
②关于
y
轴对称的点横坐标互为相反数
,
纵坐标相等
;
③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；
④与
X
轴或
Y
轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；
⑤关于与直线
X=C
或
Y=C
对称的坐标
2
、点（
x, y
）关于
x
轴对称的点的坐标为（
x, -y
）
点（
x, y
）关于
y
轴对称的点的坐标为（
-x, y
）
3
、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
第五章
整式
1
整式定义、同类项及其合并
2
整式的加减
3
整式的乘法
（
1
）同底数幂的乘法
（
2
）幂的乘方
（
3
）积的乘方
（
4
）整式的乘法
4
乘法公式
（
1
）平方差公式
（
2
）完全平方公式
5
整式的除法
（
1
）同底数幂的除法
（
2
）整式的除法
6
因式分解
（
1
）提共因式法
（
2
）公式法
（
3
）十字相乘法
1
、
式子是数或字母的积的式子叫做单项式。单独的一个数或字母也是单项式。单项< br>式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫
做这个单项式的次 数。
2
、
几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫 多项式的项
)
，其中，不含字母的叫做
常数项。多项式里次数最高的项的次数，就是这 个多项式的次数。
3
、
单项式和多项式统称整式。
4
、
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
5
、
把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数， 而字母部
分不变，叫做合并同类项。
6
、
几 个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括
号，合并同类项。
7
、
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方，底数不变 ，指数相乘。积的乘
方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
8
、
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一 个单项式
里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
9
、
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
10
、
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再
把所得的积相加。
完
x
p
x
q
x
2
p
q
pq
平方差公式：
a
b
a
b
a
2
b
2
全
平
方
公
式
：
a
b
2
2
a
2
2
ab
b
2
a
b
2
a
2
2
ab
b2
a
b
c
2
a
2
2
a
b
c
b
c
同 底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
1
。
下册知识点：
第一章
分式
1
、分式的定义：
如果
A
、
B
表示两个整式，并且
B
中含有字母，那么式子
A
叫做分式。
B
分式有意义的条件：分母不为零；分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。
< br>2
、分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘或除以一个不等于
0
的整 式，分式的值不变。
3
、分式的通分和约分：
关键是先分解因式
4
、分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
a
b
a
b
a
c
ad
bc
ad< br>
bc
,
c
c
c
b
d
bd
bd
bd分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加
减，先通分， 变为同分母分式，然后再加减。
混合运算：运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
n
5
、
任何一个不等于零的数的零次幂等于
1
，
即
a
1
(
a
0
)
；
当
n
为正整数时，
a
0
1
a
n
（
a
0
)
6
、
正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂。
(m,n
是整数
)
（
1
）同底数的幂的乘法：
a
a
a< br>（
2
）幂的乘方：
(
a
)
a
n< br>m
n
mn
m
n
m
n
；
;
n
（
3
）积的乘方：
(
ab
)
a
b
；
（
4
）同底数的幂的除法：
a
a
a
m
n
m
n
n
( a
≠
0)
；
a
n
a
n< br>（
5
）商的乘方：
(
)
n
()
；
(b
≠
0)
b
b
7.
、分式方程：
含分 式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘 以一个整式（最简公分母）
，把分式方程
转化为整式方程。
解分式方程时，
方程两边同乘以最简公分母时，
最简公分母有可能为０，
这样就产生了
增根， 因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤
(1)
能化简的先化简
(2)
方程两边同乘以最简公分母；
（
2
）
化为整式方程；
(3)
解整式方程；
(4)
验根。
增根
满足两个条件：
一是其值使最简公分母为
0
，
二是其值应是去分母后整式方程的根。
分式方程检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如最简公分母的值不为
0
，则整
式方程的解是原分式 方程的解；
否则，
这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？
(1)
审；
(2)
设；(3)
列；
(4)
解；
(5)
答。