废寝忘食的意思-细节决定成败

2021年2月2日发(作者：于欢案)
八年级数学（下册）知识点总结

二次根式

【知识回顾】

1.
二次根式：式子
a
（
a
≥
0
）叫做二 次根式。

2.
最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根
式。

3.
同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.
二次根式的性质：

a
（
a
＞
0
）

2
a

a


a
a
（
1
）
（
）
2=
a

（
≥
0
）
；

（
2
）

0
（
a
=0
）
；

5.
二次根式的运算：



a
（
a< br>＜
0
）
（
1
）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能 够开得尽方，那么，就可以用它的算
术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解 因式，
•
变形为积的形
式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方 后移到根号里面．

（
2
）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根 式再合并同类二次根式．

（
3
）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）< br>，将被开方数相乘（除）
，所得的积（商）仍
作积（商）的被开方数并将运算结果化为最 简二次根式．

b
b

ab
=
a
·
b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
a
（
b
≥
0
，
a>0
）
；

a
．

（
4
）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及 结合律，
•
乘法对加法的分配律以及多项
式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．< br>
【典型例题】

1
、概念与性质

1
1< br>,
2)

5,3)

x
2

2,< br>4)
4,5)
(

)
2
,6)
1

a
,7)
a
2

2
a

1
3
例
1
下列各式
1
）
5
，

其中是二次根式的是
_________
（填序号）
．

例
2
、求下列二次根式中字母的取值范围

1
2
x

5

(x
-
2)
3

x
；
（
1
）
（
2
）

x
a
2

b
2
;2)
;3)
x
2

xy
;4)
27
abc
5
例
3
、

在根式
1)
，最简二次根式是（

）

A
．
1) 2) B
．
3) 4) C
．
1) 3) D
．
1) 4)
例
1
x
y
y

1

8
x

8
x

1

,
求代数式


2

2
y
x
4
、已知：
x
y

2
的值。
y
x

2
(
a

b
)
例
5
、

（
2009
龙岩）已知数
a
，
b
，若
=b
－
a
，则
(

)
A. a>b






B. a
C. a
≥
b









D. a
≤
b
2
、二次根式的化简与计算


1
例
1.
将
A.
根号外的
a
移到根号内，得
(


)
；





C.
－
；





D.

1
－

化成最简二次根式

a
－
b
；


B.
－
例
2.
把（
a
－
b
）
例
3
、计算：

例
4
、先化简，再求值：

1
1
b
5
1
5

1



a< br>
b
b
a
(
a

b
)
，其 中
a=
2
，
b=
2
．

2
22
a

b

(
a

b
)b
a

例
5
、如图，实数
、
在数轴上的位置，化简

：


4
、比较数值

（
1
）
、根式变形法

当
a

0 ,
b

0
时，①如果
a

b
，则
a

b
；②如果
a

b
，则
a

b
。

例
1
、比较
3
5
与
5
3
的大小。

（
2
）
、平方法
2
2
2
2
当
a

0,
b
< br>0
时，①如果
a

b
，则
a

b< br>；②如果
a

b
，则
a

b
。
例
2
、比较
3
2
与
2
3
的 大小。

（
3
）
、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

2
1
例
3、比较
3

1
与
2

1
的大小。
（
4
）
、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例
4
、比较
1 5

14
与
14

13
的大小。

（
5
）
、倒数法

例
5
、比较
7

6
与
6

5
的大小。

（
6
）
、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例
6
、 比较
7

3
与
87

3
的大小。

（
7
）
、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①
a

b
0

a

b
；②
a

b< br>
0

a

b

2

1< br>2
例
7
、比较
3

1
与
3
的大小。


（
8
）
、求商比较法


2
它运用如下性质：当
a>0
，
b>0
时，则：

a
①
b
；

②
b

例
8
、比较
5

3
与
2

3
的大小 。

5
、规律性问题

例
1.
观察下列各式及其验证过程：



，

验证：

验证
:
.
；

1

a

b
a

1

a
b
（
1
）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
（
2
）针对上述各式反映的规律，写出用
n(n
≥
2
，且n
是整数
)
表示的等式，并给出验证过
程
.

勾股定理

1.
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
2
＋
b
2
=c
2
。

2.
勾股定理逆定理：如果三角形 三边长
a,b,c
满足
a
2
＋
b
2
=c< br>2
。
，那么这个三角形是直角三角
形。

3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、
结论正 好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，
那么另
一个叫做它的逆 命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）



4.
直角三角形的性质


（
1
）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠
C=90
°

∠
A+
∠
B=90
°


（
2
）、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。


∠
A=30
°

1

可表示如下：


BC=
AB
2

∠
C=90
°


（
3
）
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半


∠
ACB=90
°

1

可表示如下：


CD=
AB=BD=AD
2
D
为
AB
的中点

5
、摄影定理

在直角 三角形中，
斜边上的高线是两直角边在斜边上的
摄
影
的比例中项，
每 条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边
的
比
例中项

∠
ACB=90
°

CD
2

AD
•
BD



AC
2

AD
•
AB

CD
⊥
AB
BC
2

BD
•
AB


3
4
4
15
的变形结果，并进行验证；

6
、常用关系式

由三角形面积公式可得：
AB
•
CD=AC
•
BC
7
、直角三角形的判定

1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c< br>有关系
a
2

b
2

c
2
，那么这个三
角形是直角三角形。

8
、命题、定理、证明

1
、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（
1
）命题必须是个完整的句子；

（
2
）这个句子必须对某件事情做出判断。

2
、命题的分类（按正确、错误与否分）


真命题（正确的命题）

命题


假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3
、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4
、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5
、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6
、证明的一般步骤

（
1
）根据题意，画出图形。

（
2
）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（
3
）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。



9
、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（
1
）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（
2
）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论
1
：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论
2
：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。


4

10
数学口诀
.

平方差公式
:
平方差公式有两项，
符号相反切记牢，
首加尾乘首减尾，
莫与完全 公式相混淆。


完全平方公式
:
完全平方有三项，首尾符号是同乡 ，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首
±尾括号带平方，尾项符号随中央。



四边形

1
．四边形的内角和与外角和定理：

A

D
（
1
）四边形的内角和等于
360
°；

（
2
）四边形的外角和等于
360
°
.
B
C

A
4
2
．多边形的内角和与外角和定理：


D< br>（
1
）
n
边形的内角和等于
(n-2)180
°；< br>
3
1
2
（
2
）任意多边形的外角和等于
3 60
°
.
B
C
3
．平行四边形的性质：

（
）两组对边分别平行；

1

（

2
）两组对边分别相等；

因为
ABCD
是平行四边形

（< br>

3
）两组对角分别相等；

4
）对角线互相平分 ；
（


（

5
）邻角互补
.
D
O
C
A
B


4.
平行四边形的判定：

（
1
）两组对边分别平行


（
2
）两组对边分别相等


（
3
）两组对角分别相等

ABCD
是平行四边形
.
（
4
）一组对边平行且相等



（
5
）对角线互 相平分

D
O
C

A
B
5.
矩形的性质：

（
）具有平行四边形的所
有通性
;

1

因为
ABCD
是矩形
（


2
）四个角都是直角
;

3
）对角线相等
.
（

D
C

O
A
D
B
C



A
B
6.
矩形的判定：

（
1
）平行四 边形

一个直角


（
2
）三个角都是直角


四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
） 对角线相等的平行四
边形


D
C

O
A
D
B
C




5
A
B
7
．菱形的性质：

因为
ABCD
是菱形

（
）具有平行四边形的所
有 通性；

1


（


2
）四个 边都相等；

3
）对角线垂直且平分对
角
.
（
< br>A
D

O
C
B
D
8
．菱形的判定：

（
1
）平行四边形

一组邻边等


（
2
） 四个边都相等


四边形四边形
ABCD
是菱形
.
（
3
）对角线垂直的平行四
边形


A
O
C

B
9
．正方形的性质：

因为
ABCD
是正方形

（
）具有平行四边形的所
有通性；

1


（


2
） 四个边都相等，四个
角都是直角；

3
）对角线相等垂直且平
分对角
.
（

D
C
D
C
O
（
1
）

10
．正方形的判定：

A
B
A
B

（
2
）
（
3
）

（
1
）平行四边形

一组邻边等

一个直角


（
2
）菱形

一个直角


四边形< br>ABCD
是正方形
.

（
3
）
矩形

一组邻边等

(3)
∵
ABCD
是矩形

D
C
又∵
AD=AB
∴四边形
ABCD
是正方形

A
B
11
．等腰梯形的性质：


1
（< br>）
两底平行，两腰相等；

因为
ABCD
是等腰梯形

（


2
）同一底上的底角相等
；

3
）对角线相等
.
（

A
O
B
C
D

12
．等腰梯形的判定：



（
2
）梯形

底角相等


四边形
ABCD
是 等腰梯形

（
3
）梯形

对角线相等


（
1
）梯形

两腰相等
D
A
(3)
∵
ABCD
是梯形且
AD
∥
BC
O
B
C

6

∵
AC=BD
∴
ABCD
四边形是等腰梯形




A
14
．三角形中位线定理：



D
E
三角形的中位线平行第三
边，并且等于它的一半
.
B
C
15
．梯形中位线定理：


梯形的中位线平行于两底，
并且等于两底和的一半
.
D
C

E
F

B
A



一

基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四
边形，矩 形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，
三角形中位线，梯形中位线
.
二

定理：中心对称的有关定理

※
1
．关于中心对称的两个图形是全等形
.
※
2
．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
.
※
3
．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于
这一点 对称
.
三

公式：

1
．
S
菱形
=
ab=ch.
（
a
、
b
为菱形的对角线
,c
为菱形的边长

，
h
为
c
边上的高）

2
．
S
平行四边形
=ah. a
为平行四边形的边，
h
为
a
上的高）

3
．
S
梯形
=
（
a+b
）
h= Lh.
（
a
、
b
为梯形的底，
h
为梯形的高
,L
为梯形的中位线）

四

常识：

※
1
．若
n
是多边形的边数，则对角线条数公式是：
n
(
n

3
)
.
2
矩
形
正
方
形
菱
形
1
2
1
2
2
．规则图形折叠一般“ 出一对全等，一对相似”
.
平行四边形
3
．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系
. 4
．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯
形

……

；
仅是中心对称图形的有：
平行四边形

……

；
是双对称图形的有：
线段、
矩形、
菱形、 正方形、正偶边形、圆

……
.
注意：线段有两条对称轴
.
一次函数

一
.
常量、变量：


在一个变化过程中
,
数值发生变化的量叫做

变量

；数值始终不变的量叫做

常量

。

二、函数的概念：

函数的定义：一般的，在一个变化过程中
,
如果 有两个变量
x
与
y
，并且对于
x
的每一个确
定的值 ，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，
y是
x
的函数．

三、函数中自变量取值范围的求法：

（
1
）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。


7

废寝忘食的意思-细节决定成败

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