遏-电饭锅做最简单的蛋糕

2021年2月2日发(作者：痛心病首)
八年级数学（下册）知识点总结

二次根式

【知识回顾】

1.
二次根式：式子
a
（
a
≥
0
）叫做二 次根式。

2.
最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母
中不含根式。

1
x
y
y

1

8
x

8
x

1

,
求代数式


2

2
y
x
3 .
同类二次根式：

x
y


2
的值。< br>y
x
二次根式化成最简二次根式后，
若被开方数相同，
则这几个二次根 式就是同类二次
根式。

4.
二次根式的性质：


a
（
a
＞
0
）

（
1
）
（
a
）
2
=
a

（
a
≥
0
）
；

（
2
）
a
2

a


0
（
a
=0
）
；

5.
二次根式的运算：




a
（a
＜
0
）
（
1
）因式的外移和内移：如果被开方数中有 的因式能够开得尽方，那么，就可
以用它的算术根代替而移到根号外面；
如果被开方数是代数和 的形式，
那么先解因式，
•
变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号 外面的正因式平方后移
到根号里面．

（
2
）二次根式的加减法：先 把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（
3
）二次根式的乘除 法：二次根式相乘（除）
，将被开方数相乘（除）
，所得的
积（商）仍作积（商）的被 开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=
·
（
a
≥0
，
b
≥
0
）
；

（
b
≥
0
，
a>0
）
．

（
4
）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，
•
乘法对加法 的分配
律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1
、概念与性质

例
1
下列各式
1
）
，

其中是二次根式的是
_________
（填序号）
．

例
2
、求下列二次根式中字母的取值范围

x

5

（
1
）
1
3

x
；
（
2
）
(x
-
2)
2

例
3
、

在根式
1)
，最简二次根式是（

）

A
．
1) 2) B
．
3) 4) C
．
1) 3) D
．
1) 4)


例
4
、已知：


例
5
、

已知数
a
，
b
，若
=b
－
a
，则
(

)

A. a>b






B. a
C. a
≥
b









D. a
≤
b

2
、二次根式的化简与计算

例
1.
将根号外的
a
移到根号内，得
(

)

A.
；


B.
－；





C.
－；





D.

例
2.
把（
a
－
b
）
例
3
、计算：

例
4
、先化简，再求值：

，其中
a=
，
b=
．



例
5
、如图，实数
a
、
b
在数轴上的位置，化简< br>
：
a
2

b
2

(
a< br>
b
)
2


4
、比较数值

（
1
）
、根式变形法

当
a

0 ,
b

0
时，①如果
a

b
，则
a

b
；②如果
a

b
，则
a

b
。

例
1
、比较
3
5
与
5
3
的大小。

（
2
）
、平方法
当
a

0,
b

0
时，①如果
a2

b
2
，则
a

b
；②如果
a
2

b
2
，则
a

b
。
例
2
、比较
3
2
与
2
3
的 大小。

（
3
）
、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例
3
、比较
2
1
与
的大小。

3

1
2

1
1
－
a
－
b

化成最简二次根式

（
4
）
、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例
4
、比较
1 5

14
与
14

13
的大小。

（
5
）
、倒数法

例
5
、比较
7

6
与
6

5
的大小。

（
6
）
、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例
6
、 比较
7

3
与
87

3
的大小。

（
7
）
、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①
a

b
0

a

b
；②
a

b< br>
0

a

b

例
7
、比较

（
8
）
、求商比较法

它运用如下性质：当
a>0
，
b>0
时，则：

①

1

a

b
；

②

1

a

b

b
b
a
a
2

1
2
与
的大小。
3

1
3
例
8
、比较
5

3
与
2

3
的大小。

5
、规律性问题

例
1.
观察下列各式及其验证过程：



，

验证：
；


验证
:.

（
1
）按照上述两个等式及其验证过程的基本思 路，猜想的变形结果，并进行验
证；

（
2
）针对上述各式反映的规 律，写出用
n(n
≥
2
，且
n
是整数
)
表 示的等式，并给
出验证过程
.

勾股定理

1.
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
＋
b
=c
。

2
22
2.
勾股定理逆定理：如果三角形三边长
a,b,c
满足
a< br>2
＋
b
2
=c
2
。
，那么这个三角形是直角
三角形。

3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那
么另一 个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）




4.
直角三角形的性质



（
1
）
、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠
C=90
°

∠
A+
∠
B=90
°


（
2
）
、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。


∠
A=30
°


可表示如下：


BC=

∠
C=90
°


（
3
）
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半


∠
ACB=90
°



可表示如下：


CD=
D
为
AB
的中点

5
、摄影定理

在直角 三角形中，
斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，
每条直角边是
它们在 斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠
ACB=90
°

CD
2

AD
•
BD

1
AB=BD=AD

2
1
AB

2


AC
2

AD
•
AB

CD
⊥
AB
BC
2

BD
•
AB

6
、常用关系式

由三角形面积公式可得：
AB
•
CD=AC
•
BC

7
、直角三角形的判定


1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c< br>有关系
a
2

b
2

c
2
，那么这
个三角形是直角三角形。

8
、命题、定理、证明


1
、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（
1
）命题必须是个完整的句子；

（
2
）这个句子必须对某件事情做出判断。

2
、命题的分类（按正确、错误与否分）


真命题（正确的命题）

命题


假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3
、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4
、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5
、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6
、证明的一般步骤

（
1
）根据题意，画出图形。

（
2
）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（
3
）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。



9
、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（
1
）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（
2
）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论
1
：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论
2
：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。


10
数学口诀
.


平方差公式
:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相
混淆。


完全平方公式
:
完全平方有三项，
首尾符号是同乡，
首平方、
尾平方，
首尾二倍放中央；
首±尾括号带平方，尾项符号随中央。



四边形


1
．四边形的内角和与外角和定理：

（
1
）四边形的内角和等于
360
°；

（
2
）四边形的外角和等于
360
°
.


2
．多边形的内角和与外角和定理：

（
1
）
n< br>边形的内角和等于
(n-2)180
°；

（
2
）任意多边形的外角和等于
360
°
.

3
．平行四边形的性质：

（
）两组对边分别平行；
1

（

2
）两组对边分别相等；

（


3
）两组对角分别相等；

4
）对角线互相平分；< br>（


（

5
）邻角互补
.


因为
ABCD
是平行四边形


4.
平行四边形的判定：

（
1
）两组对边分别平行


（
2
）两组对边分别相等


（
3
）两组对角分别相等

ABCD
是平行四边形
.

（
4
）一组对边平行且相等



（
5
） 对角线互相平分


5.
矩形的性质：

因为
AB CD
是矩形
（
）具有平行四边形的所
有通性
;

1


（

2
）四个角都是直角
;

3
）对角线相等
.
（






四边形
ABCD
是矩形
.

6.
矩形的判定：

（
1
）平行四边形

一个直角

（
2
）三个角都是直角

（
3
） 对角线相等的平行四
边形





7
．菱形的性质：

因为
ABCD
是菱形

（
）具有平行四边形的所
有通性；

1


（

2
）四个边都相等；

3
）对角线垂直且平分对角
.
（


8
．菱形的判定：

（< br>1
）平行四边形

一组邻边等


（
2）四个边都相等

（
3
）对角线垂直的平行四
边形
< br>

四边形四边形
ABCD
是菱形
.

9
．正方形的性质：

因为
ABCD
是正方形

（
）具有平行四边形的所
有通性；

1



（

2
）四个边都相等，四个
角都是直角；
< br>3
）对角线相等垂直且平
分对角
.
（

（
1
）

（
2
）
（
3
）


10
．正方形的判定：

（
1
）平行四边形
一组邻边等

一个直角


（
2
） 菱形

一个直角


（
3
）
矩形

一组邻边等

四边形
ABCD
是正方形
.

(3)
∵
ABCD
是矩形

又∵
AD=AB

∴四边形
ABCD
是正方形

11
．等腰梯形的性质：

因为
ABCD
是等腰梯形

1
（
）
两底平行，两腰相等；



（

2
）同一底上的底角相等
；

3
）对角线相等
.
（


12
．等腰梯形的判定：

< br>
（
2
）梯形

底角相等

（
3< br>）梯形

对角线相等


（
1
）梯形

两腰相等
四边形
ABCD
是等腰梯形

(3)
∵
ABCD
是梯形且
AD
∥
BC


∵
AC=BD

∴
ABCD
四边形是等腰梯形




14
．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，
并且等于它的一半
.

15
．梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，
并
且等于两底和的一半
.






一

基本概念：四边形，四边形的内角 ，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平
行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图 形，梯形，等腰梯形，直

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