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2021年2月2日发(作者：挑战了不起)
努力的你，未来可期
!
初一数学动点问题答题技巧与方法

关键：
化动为静，分类讨论。解决动点问题，关键要抓住动点，我们要化动为静，以不变应
万变，寻找 破题点（边长、动点速度、角度以及所给图形的能建立等量关系等等）建立所求
的等量代数式，
攻破题局，求出未知数等等。
动点问题定点化是主要思想。
比如以某个速度
运动，设出时间后即可表示该点位置；
再如函数动点，
尽量设一个变量，
y
尽量 用
x
来表示，
可以把该点当成动点，来计算。

步骤：
①画图形；②表线段；③列方程；④求正解。

数轴上动点问题

数轴上动点问题离不开数轴上两点之间的距离。
为了便于大 家对这类问题的分析，
首先
明确以下几个问题：

1
．数轴上两点间 的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去
左边的数的差。即数轴上两点间的距 离
=
右边点表示的数
—
左边点表示的数。

2
．点 在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速
度，
而向作运动 的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到
运动后点的坐标。即 一个点表示的数为
a
，向左运动
b
个单位后表示的数为
a
—
b
；向右运动
b
个单位后所表示的数为
a+b
。

3
．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运
动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

问题引入：
如图，有一数轴原点为O
，点
A
所对应的数是﹣
1
，点
A
沿数轴匀速 平移经过
原点到达点
B
．

（
1
）如果
O A=OB
，那么点
B
所对应的数是什么？

（
2
） 从点
A
到达点
B
所用时间是
3
秒，求该点的运动速度．
（
3
）从点
A
沿数轴匀速平移经过点
K
到达 点
C
，所用时间是
9
秒，且
KC=KA
，分别求点
K
和点
C
所对应的数．


【考点】数轴；比较线段的长短．
【专题】数形结合．

【分析】
（
1
）由于
OA=OB
，可得点
B
所对应的数是点
A
所对应的数的相反数；

（
2
）先求出
AB
的距离 ，再根据速度
=
路程÷时间求解；

（
3
）先求出
AC
的距离，得到点
C
所对应的数，由
KC=KA
，得到点
K
所对应的数．

【解答】解：
（
1
）∵
OA=O B
，点
A
所对应的数是﹣
1
，∴点
B
所对应的数是
1
；

（
2
）
[
1
﹣（
1
）
]
÷
3=3
÷
3=1
．故该点的运动速度每秒 为
1
．

（
3
）
1
×
9=9，
9
÷
2=4.5
，∴点
C
所对应的数为﹣
1
+
9=7
，

点
K
所对应的数为﹣
1+
4.5=3
．故点
C
所对应的数为
7
，点
K
所对应的数为
3
．

【点评】考查了数轴和路程问题，熟练掌握数轴 上两点间的距离的求法，本题虽有几题，但
基础性较强，难度不大．

练习：

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期
!
1.
动点
A
从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点
B
也从原点出发向数轴正方向运 动，
3
秒后，两点相距
15
个单位长度．已知动点
A
、B
的速度比是
1
：
4
（速度单位：单位长度
/
秒）
．

（
1
）
求出两个动点运动的速度，
并在数轴上标出
A
、
B
两点从原 点出发运动
3
秒时的位置；

（
2
）若
A
、
B
两点从（
1
）中标出的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，
A
、
B
两点到原
点的距离恰好相等？







例题精讲：

例
1
．
已知 数轴上有
A
、
B
、
C
三点，分别代表
-24
，
-10
，
10
，两只电子蚂蚁甲、乙分别从
A
、
C
两点同时相向而行，甲的速度为
4
个单位
/
秒。
⑴问多少秒后，甲到
A
、
B
、
C
的距离和为
4 0
个单位？

⑵乙的速度为
6
个单位
/
秒，两只电 子蚂蚁甲、乙分别从
A
、
C
两点同时相向而行，问甲、乙
在数轴上的 哪个点相遇？

⑶在⑴⑵的条件下，当甲到
A
、
B
、
C
的距离和为
40
个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能
在数轴上相遇吗？ 若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。



例
2
．< br>如图，已知
A
、
B
分别为数轴上两点，
A
点对应的数 为
-20
，
B
点对应的数为
100
。

⑴求
AB
中点
M
对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁
P
从
B
点出发，以
6
个单位
/
秒的速度向 左运动，同时另一只电子蚂蚁
Q
恰
好从
A
点出发，以
4个单位
/
秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的
C
点相遇，求< br>C
点
对应的数；

⑶若当电子蚂蚁
P
从
B< br>点出发时，以
6
个单位
/
秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q
恰好
从
A
点出发，以
4
个单位
/
秒 的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的
D
点相遇，求
D
点对应的数。



例
3
．
已知数轴上两点
A
、
B
对应的数分别为
-1
，
3
，点
P
为数 轴上一动点，其对应的数为
x
。

⑴若点
P
到点
A
、点
B
的距离相等，求点
P
对应的数；

⑵数轴上 是否存在点
P
，使点
P
到点
A
、点
B
的距 离之和为
5
？若存在，请求出
x
的值。若不存
在，请说明理由？
⑶当点
P
以每分钟一个单位长度的速度从
O
点向左运动时，点
A
以每分钟
5
个单位长度向左运
动，点
B
一每分钟
20
个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后
P
点到点
A< br>、点
B
的距
离相等？


拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期
!
当堂练习：

1
．
A
1
，
A
2< br>，
A
3
，
…
A
n
（
n
为正 整数）都在数轴上，点
A
1
在原点
O
的左边，且
A
1
O=1
；点
A
2
在点
A
1
的右边，且< br>A
2
A
1
=2
；点
A
3
在
A
2
的左边，且
A
3
A
2
=3
，点
A
4
在点
A
3
的右边，且
A
4
A
3
=4
…
依照上述规律，点
A
2015
，
A2016
所表示的数分别为（


）

A
．
1007
，﹣
1008
；

B
．﹣
1007
，
1008
；

C
．
1008
，﹣
1008
；

D
．
-1008
，
1008
。

2
．已知数轴上
A
、
B
两点对应数分别为
-2
，
4
，
P
为数轴上一动点，对应数为
x
⑴若
P
为线段
AB
的三等分点，求
P
点对应的数。

⑵数轴上是否存在< br>P
点，使
P
点到
A
、
B
距离和为
1 0
？若存在，求出
x
的值；若不存在，请说明
理由。

⑶若 点
A
、点
B
和
P
点（
P
点在原点）同时向 左运动。它们的速度分别为
1
、
2
、
1
个单位长度
/
分钟，则第几分钟时
P
为
AB
的中点？





3
．电子跳蚤落在数轴上的某点
K
0
，第一步从
K
0
向左跳
1
个单位到
K
1
，第二步由
K
1
向右
跳
2
个单位到
K
2< br>，第三步由
K
2
向左跳
3
个单位到
K
3，第四步由
K
3
跳
4
个单位到
K
4
，
…
，
按以上规律跳了
100
步时，电子跳蚤落在数轴上的点
K
100
所表示的数恰是
20
，试求电子跳
蚤的初始位置
K
0
点所表示的数．







4
．如图，已知数轴上有三点
A,B,C,AB=
（
1
）若
BC=300
，求点
A
对应的数；

1
AC,
点
C
对应的数是
200.
2

（
2
）在
(1)
的条件下，动点
P
、
Q< br>分别从
A
、
C
两点同时出发向左运动，同时动点
R
从
A
点出发
向右运动，点
P
、
Q
、
R
的速度分别为
10
单位长度每秒、
5
单位长度每秒、
2
单 位长度每秒，点
M
为线段
PR
的中点，点
N
为线段
RQ
的中点，多少秒时恰好满足
MR=4RN
（不考虑点
R
与点Q
相遇之后的情形）；


（
3
）在
(1)< br>的条件下，若点
E
、
D
对应的数分别为
-800
、< br>0
，动点
P
、
Q
分别从
E
、
D两点同时出
发向左运动，点
P
、
Q
的速度分别为
10< br>单位长度每秒、
5
单位长度每秒，点
M
为线段
PQ
的 中点
，点
Q
在从是点
D
运动到点
A
的过程中，不变，请说明理由
.

拼搏的你，背影很美！

3
QC- AM
的值是否发生变化？若不变，求其值；若
2
努力的你，未来可期
!



5
．动点
A
从原点出发向数轴负方向运动， 同时动点
B
也从原点出发向数轴正方向运动，
3
秒
后，两点相距15
个单位长度，已知动点
A
、
B
的速度比是
1:4
（速度单位：单位长度
/
秒）

（
1
）求出两个动 点运动的速度，并在数轴上标出
A
、
B
两点从原点出发运动
3
秒时的位置；

（
2
）若
A
、
B
两点从
(1)
中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点
的正中间？< br>
（
3
）在
(2)
中
A
、
B
两点同时向数轴负方向运动时，另一动点
C
和点
B
同时从
B
点位置出发向
A
运动，当遇到
A
后，立即返回向
B
点运动 ，遇到
B
点后又立即返回向
A
点运动，如此往返，直
到
B< br>追上
A
时，
C
立即停止运动
.
若点
C
一直以
20
单位长度
/
秒的速度匀速运动，
那么点
C从开始
运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？







拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期
!
参考答案：

1.
【考点】一元一次方程的应用；数轴．

【分析】
（
1
）设动点
A
的速度是
x
单位长度
/
秒，那么动点< br>B
的速度是
4x
单位长度
/
秒，然
后根据
3
秒后，两点相距
15
个单位长度即可列出方程解决问题；

（
2
）设
x
秒时，
A
、
B
两点到原点的距离恰好相 等，那么
A
运动的长度为
x
，
B
运动的长度
为4x
，然后根据（
1
）的结果和已知条件即可列出方程解题．

【解答】解：
（
1
）设动点
A
的速度是
x
单位长度
/
秒，

根据题意得
3
（
x
+
4 x
）
=15
，∴
15x=15
，解得：
x=1
，则
4x=4
．

答：动点
A
的速度是
1
单位 长度
/
秒，动点
B
的速度是
4
单位长度
/
秒；

标出
A
，
B
点如图，

；

（
2
）设
x
秒时，原点恰好处在两个动点的正中间，
根据题意得：
3
+
x=12
﹣
4x
，∴
5x= 9
，∴
x=

答：
秒时，
A
、
B
两点到原点的距离恰好相等．

【点评】
本题考查了一元一次方程的应用和数轴．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

例
1.
【考点】一元一次方程的应用；数轴．


【分析 】
（
1
）设
y
秒后甲到
A
，
B
，
C
三点的距离之和为
40
个单位，分甲应为于
AB
或
BC
之间两种情况讨论即可求解；

（
2
）可设
x
秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程差为
34
，可列出方程求解即可；

（
3
）设
y
秒后甲到
A
，
B
，
C< br>三点的距离之和为
40
个单位，分甲应为于
AB
或
BC
之间两
种情况讨论即可求解．

【解答】解：
（
1
）设< br>x
秒后，甲到
A
，
B
，
C
的距离和为
40
个单位．

B
点距
A
，
C
两点的距 离为
14
+
20=34
＜
40
，

A点距
B
、
C
两点的距离为
14
+
34=48< br>＞
40
，

C
点距
A
、
B
的距离为
34
+
20=54
＞
40
，故甲应位于
A B
或
BC
之间．

①
AB
之间时：
4x< br>+
（
14
﹣
4x
）
+
（
14
﹣
4x
+
20
）
=40
，
x=2s
；< br>
②
BC
之间时：
4x
+
（
4x
﹣
14
）
+
（
34
﹣
4x
）
=40
，
x=5s
，

（
2
）设
xs
后 甲与乙相遇，
4x
+
6x=34
，解得：
x=3.4s
，< br>4
×
3.4=13.6
，﹣
24
+
13.6=
﹣
10.4
（
3
）设
y
秒后甲到
A
，
B
，
C
三点的距离之和为
40
个单位，

B
点距
A
，
C
两点的距离为
14
+
20= 34
＜
40
，
A
点距
B
、
C
两点 的距离为
14
+
34=48
＞
40
，
C
点 距
A
、
B
的距离为
34
+
20=54
＞< br>40
，故甲应为于
AB
或
BC
之间．

①< br>AB
之间时：
4y
+
（
14
﹣
4y
）
+
（
14
﹣
4y
+
20
）
=4 0
，解得
y=2
；

②
BC
之间时：
4y
+
（
4y
﹣
14
）
+
（
34﹣
4y
）
=40
，解得
y=5
．

①
甲从
A
向右运动
2
秒时返回，设
y
秒后与乙相遇． 此时甲、乙表示在数轴上为同一点，
所表示的数相同．

甲表示的数为：﹣
2 4
+
4
×
2
﹣
4y
；乙表示的数为：
10
﹣
6
×
2
﹣
6y
，

依据题意得 ：﹣
24
+
4
×
2
﹣
4y=10
﹣
6
×
2
﹣
6y
，解得：
y=7
，
相遇点表示的数为：﹣
24
+
4
×
2
﹣
4y=
﹣
44
（或：
10
﹣
6
×
2
﹣< br>6y=
﹣
44
）
，

②
甲从
A向右运动
5
秒时返回，设
y
秒后与乙相遇．

甲表示的 数为：﹣
24
+
4
×
5
﹣
4y
；乙表示的 数为：
10
﹣
6
×
5
﹣
6y
，

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期
!
依据题意得：﹣< br>24
+
4
×
5
﹣
4y=10
﹣
6< br>×
5
﹣
6y
，

解得：
y=
﹣
8
（不合题意舍去）
，

即 甲从
A
向右运动
2
秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为﹣44
．

【点评】
考查了一元一次方程的应用，
解题关键是要读 懂题目的意思，
根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题在解答第（
3
）问注意分类思想的运用．

例
2.
【考点】有理数的混合运算．


【分析】
（
1
） 求﹣
20
与
100
和的一半即是
M
；

（
2
）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点
Q
走的路程，根据左 减右加的原
则，可求出﹣
20
向右运动到相遇地点所对应的数；

（
3
）
此题是追及问题，可先求出
P
追上
Q
所需的时 间，然后可求出
Q
所走的路程，
根据左
减右加的原则，可求出点
D< br>所对应的数．

【解答】解：
（
1
）
M
点对 应的数是
40
；

（
2
）
28
；它们的相 遇时间是
120
÷（
6
+
4
）
=12
，即 相同时间
Q
点运动路程为：
12
×
4=48
，
< br>即从数﹣
20
向右运动
48
个单位到数
28
；

（
3
）
﹣
260
．
P
点追到
Q
点的时间为
120
÷
（
6
﹣
4
）
=60
，
即此时
Q
点起过路程为
4
×
60=24 0
，

即从数﹣
20
向左运动
240
个单位到数﹣
260
．

【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题 ．注意用到了路程
=
速度
×时间．

变式
1
：已知，如图，
A
、
B
分别为数轴上的两点，
A
点对应的 数为﹣
20
，
B
点对应的数为
100
．

（
1
）则
AB
中点
M
对应的数是




；
（
M
点使
AM=BM
）

（
2
）
现有一只电子蚂蚁
P
从
B
点出发，
以
6
单位
/
秒的速度向左运动，
同时另一只电子蚂蚁
Q
恰好从< br>A
点出发，以
4
单位
/
秒的速度向右运动；

①
PQ
多少秒以后相遇？

②
设两只电子蚂蚁在数轴上的< br>C
点相遇，你知道
C
点对应的数是多少吗？


【考点】数轴．
【专题】探究型．

【分析】
（
1
）直接根据中点坐标公式求出
M
点对应的数；
（
2
）
①先求出
AB
的长，再设
t
秒后
P
、
Q
相遇即可得出关于
t
的一元一次方程，求出
t
的值即可；

②
由
①
中
t
的值可求出
P
、
Q
相 遇时点
P
移动的距离，进而可得出
C
点对应的数．

【解答 】
解：
（
1
）
∵
A
、
B
分别为数 轴上的两点，
A
点对应的数为﹣
20
，
B
点对应的数为100
，
∴
=60
；则
AB
中点
M
对 应的数是
100
﹣
60=40
；故答案为：
40
．

（
2
）
①
∵
A
、
B
分别为数轴上 的两点，
A
点对应的数为﹣
20
，
B
点对应的数为
100
，

∴
AB=100
+
20=120
，设< br>t
秒后
P
、
Q
相遇，

∵电子蚂蚁
P
从
B
点出发，以
6
单位
/
秒的速度向左运动，同 时另一只电子蚂蚁
Q
恰好从
A
点出发，以
4
单位
/
秒的速度向右运动，∴
6t
+
4t=120
，解得
t=12
秒；

答：
PQ
经过
12
秒以后相遇；

②
∵由
①
可知，经过
12
秒
P
、
Q
相遇，∴此时点
P
走过的路程
=6
×
12=72
单位，

∴此时
C
点表示的数为
100
﹣
72=2 8
．答：
C
点对应的数是
28
．

【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间距离的定义是解答此题的关键．

变式
2
：
已知数轴上两点
A
、
B
对应的数分别为﹣1
、
3
，点
P
为数轴上一动点，其对应的数
为
X
．

拼搏的你，背影很美！

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