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2021年2月2日发(作者：快乐星球第3部)
相遇和追及问题

【学习目标】

1
、掌握追及和相遇问题的特点

2
、能熟练解决追及和相遇问题

【要点梳理】

要点一、机动车的行驶安全问题：

要点诠释：

1
、

反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。

2
、

反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度
v
匀速行驶的距离。

3
、

刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。

4
、

停车距离与安全距离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离 的长短由反应距离和刹车距离
共同决定。安全距离大于一定情况下的停车距离。

要点二、追及与相遇问题的概述

要点诠释：

1
、

追及与相遇问题的成因

当两个物体在同一直线上运 动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变

化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．

2
、

追及问题的两类情况

(1)
速度小者追速度大者



第
1
页




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页

(2)
速度大者追速度小者


说明:①表中的
Δ
x
是开始追及以后
,
后面物体因速度大而 比前面物体多运动的位移；

②
x
0
是开始追及以前两物体之间的距离；

③
t
2
-t
0
=t
0
-t
1
；
④
v
1
是前面物体的速度
,v
2
是后面物体的速度.
特点归类：

(1)
若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一 位置，后者的速度一定不小于前者的速度．

(2)
若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近．

3
、

相遇问题的常见情况

(1)
同向运动的两物体的相遇问题
,
即追及问题
.
(2)
相 向运动的物体
,
当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇
.
解此类问题首先应注意先画示意图
,
标明数值及物理量
;
然后注意当被追赶 的物体做匀减速运动时
,
还要注意该物体是否停止运动了
.
要点三、追及、相遇问题的解题思路

要点诠释：

追及
､
相遇问题最基本的特征相同
,
都是在运动过程中两物体处在同一位置
.
①根据对两物体运动过程的分析
,
画出物体运动情况的示意草图
.
②根据两物体的运动性质
,
分别列出两个物体的位移方程
,
注意要将两个物体 运动时间的关系反映在方程
中
;
③根据运动草图
,
结合实际运动情 况
,
找出两个物体的位移关系
;
④将以上方程联立为方程组求解
,
必要时
,
要对结果进行分析讨论
.
要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题

要点诠释：

分析这类问题应注意的两个问题
:
(1)
一个条件
:
即两 个物体的速度所满足的临界条件
,
例如两个物体距离最大或距离最小
､
后面的 物体恰好
追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下
,
速度所满足的条件
.
常见的情形有三种
:
一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲
,< br>追赶同方向的做匀速直线运动的物体
乙
,
这种情况一定能追上
,
在追上之前
,
两物体的速度相等
(
即
v
甲
v
乙
)
时
,
两者之间的距离最大
;
二是做匀< br>第
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速直线运动的物体甲
,
追赶同方向的做 匀加速直线运动的物体乙
,
这种情况不一定能追上
,
若能追上
,则在
相遇位置满足
v
甲

v
乙
;
若追 不上
,
则两者之间有个最小距离
,
当两物体的速度相等时
,
距离最小
;
三是做匀
减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体
,
情况和第二种情况相似
.
(2)
两个关系
:
即两个运动物体的时 间关系和位移关系
.
其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系
是解决问题的突 破口
.
要点五、追及、相遇问题的处理方法

方法一
:
临 界条件法
(
物理法
):
当追者与被追者到达同一位置
,
两者 速度相同
,
则恰能追上或恰追不上
(
也是
二者避免碰撞的临界条件< br>)
方法二
:
判断法
(
数学方法
):
若追者 甲和被追者乙最初相距
d
0
令两者在
t
时相遇
,
则 有
x
甲

x
乙

d
0
,
得到关
于时间
t
的一元二次方程
:
当


b

4ac

0
时
,
两者相撞或相遇两次
;
当


b

4ac

0
时,
两者恰好
相遇或相撞
;


b

4 ac

0
时
,
两者不会相撞或相遇
.
方法三:
图象法
.
利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况，通过分析图 像，可以较方便的
解决这类问题。

【典型例题】

类型一、
机动车的行驶安全问题

例
1
、
为了安全 ，在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速为
v=120km/h< br>。假设前方车辆突然停止运动，后面汽车的司机从眼睛发现这一情况，经过大脑反应，指挥手、
脚 操纵汽车刹车，到汽车真正开始减速，所经历的时间需要
0.50s
（即反应时间）
， 刹车时汽车所受阻力是
车重的
0.40
倍，为了避免发生追尾事故，在该高速公路上行 驶的汽车之间至少应保留多大的距离？

【思路点拨】理解各个时间段汽车的运动情况是关键。

【答案】
156m
【解析】
v

120km
/
h

33.3 m
/
s

匀减速过程的加速度大小为
a

kmg< br>/
m

4m
/
s
。匀速阶段的位移
s
1

vt
1

16.7m
,
减速阶段的位移< br>s
2

v
/
2a

139m
，所以 两车至少相距
s

s
1

s
2

156m
。

【点评】刹车问题实际上是匀变速直线运动的有关规律在减速情况下的具 体应用，要解决此类问题，首先
要搞清楚在反应时间里汽车仍然做匀速直线；其次也要清楚汽车做减速运 动，加速度为负值；最后要注意
单位统一。

举一反三

【变式】酒 后驾车严重威胁交通安全．其主要原因是饮酒会使人的反应时间
(
从发现情况到实施操作制动< br>的时间
)
变长，
造成制动距离
(
从发现情况到汽车停止的距离
)
变长，
假定汽车以
108
km/h
的速度匀速行驶，
刹车时汽车的加速度大小为
8 m/s
，正常人的反应时间为
0.5 s
，饮酒人的反应时间为
1.5 s
，试问：

(1)
驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？

(2)
饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？

【答案】

(1)30 m
(2)5.25 s
【解析】

(1)
汽车匀速行驶
v
＝
108 km/h
＝
30 m/s
2
2
2
2
2
2

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3
页




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页

正常情况下刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间 的运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时
多
Δ
s
，反应时间分别为t
1
＝
0.5 s
、
t
2
＝
1
.5 s
则

s< br>＝
v
(
t
2
－
t
1
)
代入 数据得

s
＝
30 m

3.75 s

(0
－
v
)
/
a
解得
t
3
＝(2)
饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间
t
3
＝
所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间
t
＝
t
2
＋
t
3
解得
t
＝
5.25 s

类型二、
追及问题一：速度小者追赶同向速度大者

2
例
2
、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以
3m/s
的加速度开始加速行驶， 恰在这时一辆自
行车以
6m/s
的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
（
1
）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过
多长时间两车相距最远？此时距离是多 少？

【思路点拨】画好汽车和自行车的运动示意图是关键。

【答案】
2s 6m
【解析】
：

方法一：临界状态法


运动示意图如图：

x
汽

△
x

x
自


汽车在追击自行车的过程中，
由于汽车的速度小于自行车的速度，
汽车与自行车之间的 距离越来越大；
当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然，当 汽车的速度与自
行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间
t
两车之间的距离 最大。则

v
汽

a
t

v
自


∴

t

方法二：图象法

v
自
6
1
1

s

2s

x
m

x
自

x
汽

v
自
t

at
2

6

2m


3

2
2
m

6m

a
3
2
2
在同一个
v
-t
图象中画出自行车和汽车的速度
-
时间图线，如图所示。其中Ⅰ表示自行 车的速度图线，
Ⅱ表示汽车的速度图线，
自行车的位移
x
自
等于图线 Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，
而汽车的位移
x
汽

则等
于 图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难
看 出，当
t
=
t
0
时矩形与三角形的面积之差最大。

v/m/s
Ⅱ

6



Ⅰ

0






t
0







t/s

此时
v
汽

a
t
0

v
自

，
t
0

v
自
6
1
1

s

2s
，

S
m

t
0

v
自


2

6m

6m

a
3
2
2
第
4
页




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14
页

方法三：二次函数极值法

设经过时间
t
汽车和自行车之间的距离

x
，则

1
2
3
2
3
2

x

x

x

v
t

at

6
t

t


(
t

2)

6


自
汽
自
2
2
2
当t

2s
时两车之间的距离有最大值

x
m
， 且

x
m

6m.

【点评】
(1)在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”
，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式
和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析．


(2)
分析追及、 相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚
好”
、“恰好”
、
“最多”
、
“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的 临界条件．


(3)
解题思路和方法

举一反三

【变式
1
】小轿车在十字路口等绿灯亮后，以
1m/s
的加速度启动 ，恰在此时，一辆大卡车以
7m/s
的速度
从旁超过，做同向匀速运动，问（
1
）小轿车追上大卡车时已通过多少路程？（
2
）两车间的距离最大时为
多少 ？

2

【答案】
98m 24.5m
【变式
2
】甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以
10 m/s
的速度匀速行驶，乙以
2
m/s
的加速度由静止启动，求：



(1)
经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？

(2)
追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？

2
【答案】
(1)10 s
2
倍

(2)5 s
相等

【解析】
(1)
乙车追上甲车时，
二者位移相同，< br>设甲车位移为
x
1
，
乙车位移为
x
2
，则
x
1
＝
x
2
，
即
vt
t< br>1
，
11
＝
a
1
2
2
2
v
1
.
10 s
，
v
2
＝
at
1
＝
20 m
/
s
，因此
v
2
＝
解得
t
1
＝(2)
设追上前二者之间的距离为

x
，则
Δ
x
＝
x
1
－
x
2
＝
v
1
t
2
－

at
2
＝

10
t
2
－
t

由数学知识知：当
t< br>2
＝
1
2
2
10
s

5
s
时，两者相距最远，此时
v
2

＝
v
1
.
2

1
类型三、
追及问题二：速度大者减速追赶同向速度小者

例
3
、火车以速度
v
1
匀速行驶，司机发现前方同轨道 上相距
S
处有另一列火车沿同方向以速度
v
2
（对地、
第< br>5
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14
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且
v
1

v
2
）做匀速运动，司机立即以加速度< br>a
紧急刹车，要使两车不相撞，
a
应满足什么条件？

【思路点拨】理解两车不相撞的临界条件。

(
v
2
v
1
)
2
【答案】
a


2
s
【解析】方法一：设两车恰好相撞
(
或不相撞
)
，所用时间为t
，此时两车速度相等

1
v
1
t

at
2

v
2
t

s
v
1

at

v
2
2
(
v
2
v
1
)
2
(
v
2

v
1)
2

解之可得：
a

即，当
a
< br>时，两车不会相撞。

2
s
2
s
方法二：要使两车不 相撞，其位移关系应为：
v
1
t

1
2
at

v
2
t

s
2
2

(
v
2

v
1
)
2
对任一时间
t
，不等式都成立的条件为

=
（
v
2

v
1
）

2as

0
由此得
a


2
s
【点评】分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清 两物体在位移、速度、
时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与 极值条件或临界条件相
联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相 关的临界条件方程或用
数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。

举一反三

【变式
1
】汽车正以
10m/s
的速度 在平直公路上前进，突然发现正前方
s
处有一辆自行车以
4m/s
的速度< br>2
做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做匀减速运动，加速度大小为
6m/s< br>，若汽车恰好不碰上自
行车，则
s
大小为多少？

【答案】
3m
【变式
2
】甲
､
乙两辆汽车在平直 的公路上沿同一方向做直线运动
,t=0
时刻同时经过公路旁的同一个路标
.
在描述两车运动的
v-t
图中
(
如图
),
直线
a< br>､
b
分别描述了甲
､
乙两车在
0~20 s
的运动情 况
.
关于两车之间的
位置关系
,
下列说法正确的是
( )

A.
在
0~10 s
内两车逐渐靠近
B.
在
10~20 s
内两车逐渐远离

C.
在
5~15 s
内两车的位移相等
D.
在
t=10 s
时两车在公路上相遇

【答案】
C
【解析】由题图知乙做匀减速运动
,
初速度
v
乙
=10 m/s,
加速度大小
a
乙
=0.5 m/s
;
甲做匀速直线运动
,
速度
v
甲
=5 m/s.
当
t=10 s
时
v
甲
=v
乙
,
甲
､
乙两车距离最大
,
所以
0~10 s
内两车越来越远
,10~15 s
内两车距离越
来越小
,t=20 s
时
,
两车距离为零
,
再次相遇
.
故
A< br>､
B
､
D
错误
.
因
5~15 s
时 间内
v
甲
=
v
乙
,
所以两车位移相等
,< br>故
C
正确
.
2
第
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类型四、
相遇问题

例
4
、在某市区内，一辆小汽车在公路 上以速度
v
A
向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马
路。汽车 司机发现游客途经
D
处时，经过
0.7s
作出反应紧急刹车，但仍将正步行至
B
处的游客撞伤，该
汽车最终在
C
处停下，如图所示。为了判断汽车 司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警
14.0m
/
s
行驶 在同一马路的同一地段，
方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的警车以法定最高速度
v
m
＝
在
肇事汽车的起始制动点
A
紧急刹车，经
14.0ｍ后停下来。在事故现场测得
AB
＝
17.5
ｍ，
BC
＝
14.0
ｍ，
BD
＝
2.6
ｍ．肇事汽车的刹车性能良好 ，问：



（
1
）该肇事汽车的初速度
v
A
是多大
?
（
2
）游客横过马路的速度是多大
?
【思路点拨】判断汽车与游客的各自运动形式，找出它们的联系。

【答案】
21m/s 1.53 m/s
【解析】
（
1< br>）警车和肇事汽车刹车后均做匀减速运动，其加速度大小
a


mg< br>m


g
，

与车子的质量无关，可将警车和肇事汽 车做匀减速运动的加速度
a
的大小视作相等。

2
对警车，有
v
m

2
as
；对肇事汽车，有
v
A

2
a
s

，则

2
2
v
m
v
m
17
.
5

14
.
0s
s
14
.
0

v
m
＝
21
ｍ
/
ｓ。


2

，即
2

，故

v
A


14
.
0
v
A
s
v
AAB

BC
17
.
5

14
.
0
2
2
v
A
AB

BC
17
.
5

14
.
0

（
2
）对肇事汽 车，由
v

2
as

s
得
2
< br>，

14
.
0
v
B
BC
2
0
故肇事汽车至出事点
B
的速度为
v
B

14.
0
v
A
＝
14.0
ｍ
/
ｓ。

17
.
5

14
.
0
肇事汽车从刹车 点到出事点的时间

t
1

AB
1
(
v< br>A

v
B
)
2
＝
1
ｓ，

又司机的反应时间
t
0
＝
0.7
ｓ，故游客横过马路的速度
v


BD
2
.
6

m/s≈
1.53
ｍ
/
ｓ。

t
0

t
1
0
.
7

1
【点评】研究物体的运动，首先 要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确
第
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