多人相遇和追及问题
余年寄山水
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2021年02月02日 05:04
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多人相遇和追及问题
多人相遇和追及问题
教学目标
1.
能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用
2.
根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图
3.
能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。
知识精讲
二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，
3
个或
3
个以 上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕
“
路程
< br>速度
”
这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题
相 遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：
路程和
速度和
相遇
；
路程差
速度差
追及
；
多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
板块一、多人从两端出发
——
相遇、追及
【例
1
】
（难度级别
※※）有甲、 乙、丙
3
人，甲每分钟走
100
米，乙每分钟走
80
米，丙 每分钟走
75
米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6
分钟后，甲又
与丙相遇
.
那么，东、西两村之间的距离是多少米
?
【解析】
甲
、 丙
6
分钟相遇的路程：
100
75
6
1050
(
米
)
；
甲、 乙相遇的时间为：
1050
80
75
210
(
分钟
)
；
东、西两村之间的距离 为：
100
80
210
37800
(
米
).
【巩固】
一条环形跑 道长
400
米，甲骑自行车每分钟骑
450
米，乙跑步每分钟
250
米，两人同时从同地
同向出发，经过多少分钟两人相遇？
【解析】
400
（
450
250
）
2
(
分钟
)
．
1
多人相遇和追及问题
【例
2
】
（难度级别
※※）
(2009
年四中入学测试题
)
在公路上，汽车
A
、
B
、
C
分别以
80km/
h
，
70km
/
h
，
50km
/< br>h
的速度匀速行驶，若汽车
A
从甲站开往乙站的同时，汽车
B
、
C
从乙站开
往甲站，并且在途中，汽车
A
在与汽车
B相遇后的两小时又与汽车
C
相遇，求甲、乙两站相距
多少
km
？
【解析】
汽
车
A
在与汽车
B
相遇时，汽车
A
与汽车
C
的距离为：
(80
50 )
2
260
千米，此时汽车
B
与汽
车
C
的距离也是
260
千米，
说明这三辆车已经出发了
260
(70
50)
13
小时，
那么甲、
乙两站的
距离为：
(80
70)
13
1950
千米．
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙、丙三人每分分别行
60
米、
5 0
米和
40
米，甲从
B
地、乙和丙从
A
地同时出发 相向而行，途中甲遇到乙后
15
分又遇到丙．求
A
，
B
两地 的距离．
【解析】
甲
遇到乙后
15
分钟，甲遇 到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：
（
60
＋
40
）
×
15
＝
1500
（米）
，而乙丙之间拉开这么大的距离一 共要
1500÷
（
50-40
）
=150
（分）
， 即从出发到甲与乙
相遇一共经过了
150
分钟，所以
A
、
B
之间的距离为：
（
60+50
）
×
150
＝
16500
（米）
．
【巩固】
（难度级别
※※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走
60
米，乙每 分钟走
67.5
米，丙每分钟走
75
米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇 ，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过
2
分钟与
甲相遇，求东西两镇间的路程有多少 米？
【解析】
那
2
分钟是甲和丙相遇，所以距离是（< br>60+75
）
×
2=270
米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程< br>差所以乙丙相遇时间
=270÷
（
67.5-60
）
=36< br>分钟，所以路程
=36×
（
67.5+75
）
=5130米。
【巩固】
（难度级别
※※）小王 的步行速度是
4.8
千米
/
小时，小张的步行速度是
5.4
千米
/
小时，他们两
人从甲地到乙地去
.
小李骑自行车的速度是10.8
千米
/
小时，从乙地到甲地去
.
他们
3
人同时出发，
在小张与小李相遇后
5
分钟，小王又与小李相遇
.
问 ：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
【解析】
画
一张示意图：
图中
A
点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个
B
点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5
分钟后小王与小李相遇，也就是
5
分钟的时间，小王和小李共同走了
B
与
A
之间这段距离：
4.8
10.8
5
，这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是
1.3
（千米）
60
（
5.4-4.8
）千米
/
小时
.
小张比小王多走这段距离，需要的时间是：
1.3÷
（5.4-4.8
）
×
60=130
（分钟）
.
这
也是从出发到张、
李相遇时已花费的时间
.
小李的速度
10.8
千 米
/
小时是小张速度
5.4
千米
/
小时的
2
倍
.
2
多人相遇和追及问题
因此小李从
A
到甲地需要：
130÷
2=65
（分钟）
.
从乙地到甲地需 要的时间是：
130
＋
65=195
（分钟）＝
3
小时15
分
.
小李从乙地到甲地需要
3
小时
15
分
.
【巩固】
（难度级别
※※）甲、乙、丙 三人行路，甲每分钟走
60
米，乙每分钟走
65
米，丙每分钟走
70
米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过
1
分 钟与甲
相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【解析】
那
2
分钟是甲和丙相遇，所以距离是（
60+70
）
×
1=130< br>米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间
=130÷
（65-60
）
=26
分钟，所以路程
=26×
（
65+ 70
）
=3510
米。
【巩固】
（难度级别
※※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走
50
米，乙每 分钟走
60
米，丙每分钟走
70
米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三 人同时出发，丙与乙相遇后，又经过
2
分钟与甲
相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【解析】
那
2
分钟是甲和丙相遇，所以距离是（
60+70
）
×
2=260
米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间
=260÷
（
60-50
）
=26
分 钟，所以路程
=26×
（
60+70
）
=3380
米。
【巩固】
（难度级别
※※）
甲、
乙、
丙三人行路，
甲每分钟走
80
米，
乙每分钟走< br>90
米，
丙每分钟走
100
米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇， 三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过
5
分钟与甲
相遇，求东西两镇间的路程有多少米 ？
【解析】
那
5
分钟是甲和丙相遇，所以距离是（90+100
）
×
5=950
米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差。所以乙丙相遇时间
=950÷
（
90-80
）
=95分钟，所以路程
=95×
（
90+100
）
=18050
米。
【巩固】
（难度级别
※※※※※）小王的步行 速度是
5
千米
/
小时，小张的步行速度是
6
千米
/
小时，他
们两人从甲地到乙地去
.
小李骑自行车的速度是
10
千米
/
小时，从乙地到甲地去
.
他们
3
人同时出
发，
在小张与小李相遇后
30
分钟，
小王又与小李相遇
.
问 ：
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
1
【解析】
3
0
分钟是小王和小李相遇，所以距离是
（
5+10
）
=7.5
千米，这距离是小王和小李相遇时间里小
2
张和小王的路程差。
所以小李和小张相遇时间
=7.5÷
（
6-5
）
=7.5
小 时，
所以路程
=7.5×
（
6+10
）
=120
千 米。
120÷
10=12
（小时）
【巩固】
甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟
480
、
540
、
720
米，甲、乙、丙
3
人同时动身，
甲 、乙二人从
A
地出发，向
B
地行时，丙从
B
地出发向
A
地行进，丙首先在途中与乙相遇，
3
分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙
3
人行完全程各用多长时间？
【解析】
方
法一：乙与丙相 遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行
3
分钟的时间，这段距离为
480
720
3
3600
（
米
）
，
3600
540
480
60
（
分
）
，
A
、
B
之
间
的
距
离
为
3
多人相遇和追及问题
，行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：
720
540
60
7560 0
（米）
甲
75600
480
157.5(
分
)
乙
75600
540
140(
分
)
< br>丙
75600
720
105(
分
)
方法二：丙与乙相遇时，各行了
，速度与时间成反比，所
480
720
3
540
480
60
（分）
以，丙行完全程需要
60
60
540
720
；乙行完全程需要
105
105
（分）
15 7.5
（分）
.
720
480
3
3
6
0
米
0
）
（
；
丙
比
甲
多
行
了
4
8
方
法
三
：
丙
与
乙
相
遇
时
，
乙
比
甲
多
行
了
7
2
0
0
3 600
720
480
14400
（
米
）
，
所
以
540
480
A
地
与
B
地
之
间
的
距
离
为
4 80
540
480
2
3600
14400
75600
（米）
.
行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：
甲
75600
480
157.5(
分
)
乙
75600
540
140(
分
)
丙
75600
720
105(
分
)
【巩固】
甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同 一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针
方向行走。已知甲每小时行
7
千米 ，乙每小时行
5
千米，
1
小时后甲、丙二人相遇，又过了
10
分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？
【解析】
方法一：出发
1
小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙
7
5
1
2
千米；
10
分钟后丙、乙相 遇，相
向而行共行了
2
千米，
其中乙行了
5
10
5
5
7
7
60
千米，
丙行了
2
千米，
丙每小时行
7
60
6
60
10
6
6
千米，所以甲、丙相遇时，丙行了7
1
7
千米。
方法二：丙
1< br>小时
10
分钟（与乙相遇）行的距离与
1
小时（与甲相遇）行的距离之 差恰好等于
70
70
甲
1
小时行的距离之差，所以丙的速度等于
7
1
5
1
7
千米< br>/
小时，丙与甲相遇
60
60
时，丙行了
7
1
7
千米。
4
多人相遇和追及问题
【例
3
】
（难度等级
※※※）
甲、
乙两车的速度分别为
52
千米／时和
40
千米／时，
它们同时从
A
地
出发到
B
地去，
出发后
6
时，
甲车遇到一辆迎面开来的卡车，
1
时后乙车也遇到了这辆卡车。
求这辆卡车的速度。
【解析】
甲
乙两车最初的过程类似追及，
速度差
×
追及时间＝路程差；
路程差为
72
千米；
72
千米就是
1
小
时的甲车和卡车的路程和，速度和
×
相遇时 间＝路程和，得到速度和为
72
千米／时，所以卡车
速度为
72-40=32
千米／时。
【巩固】
甲、乙、丙三人，甲每分钟走
100
米，乙每分钟走80
米，丙每分钟走
75
米．甲从东村，乙、
丙从西村同时出发相向而行 ，途中甲、乙相遇后
3
分钟又与丙相遇．求东西两村的距离．
【解析】
先
画示意图如下：
乙（
80
米
/
分）
甲（
100
米
/
分）
西
丙（
75
米
/
分）
甲、丙相遇
甲、乙相遇
东
3
分钟
甲、乙相遇后
3
分钟，甲、丙相遇．甲、丙在
3
分钟内共走路程是
（
100
75
）
3
525
(
米
)
．显然，
这就是甲、乙相遇时，乙 比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走
80
75
5
(米
)
．所以，甲、乙相
遇
时
离
出
发
的
时
间
是
525
（
80
75< br>）
105
(
分
钟
)
．
两
村
间
的
距
离
是
：
（
100
80
）（
[
100
75
）
3
（
80
75
）
]
1 8
105
18900
(
米
)
【巩固】
（难度等级
※※※）甲、乙、丙三辆车同时从
A
地出发到
B
地去，甲、乙两车的速度分别为
60
千米／时和
48
千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后
5
时、
6
时、< br>8
时先后
与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
【解析】
甲
车每小时比乙车快
60
48
12
(
千米
)
．
则
5
小时后，
甲比乙多走的路程为
12
5
60
(
千米)
．
也
即在卡车与甲相遇时，
卡车与乙的距离为
60
千 米，
又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的
6
5
1
小
时后相遇，所以，可求出卡车的速度为
60
1
48< br>
12
(
千米
/
小时
)
，卡车在与甲相遇后 ，再走
8
5
3
(
小时
)
才能 与丙相遇，而此时丙已走了
8
个小时，因此，卡车
3
小时所走的路程与丙8
小时所走的路
程之和就等于
甲
5
小时所走的路程．由此，丙的速度也可求得，应
为：
(
千米
/
小时
)
．
（
60
5
12
）
3
8
33
5