梯形面积推导过程梯形的面积教案
玛丽莲梦兔
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2021年02月02日 15:01
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以美丽为话题的作文-qq符号图案
梯形面积推导过程
-
梯形的面积教案
梯形的面积教案
一、教学目标
1
．在实际情境中，认识计算梯形面
积的必要性。
< br>2
．
引导学生在自主参与探索的过程
中，发现并掌握梯形的面积计算方法，能灵活运用梯形面积计算公式解决相关
的数学问题。
3< br>．结合数学
“
再创造
”
过程，培养学
生观察、操作、比较等逻 辑思维能力与
初步的科学探究能力。
4
．通过小组合作学习，培养学生合
作学习的能力。
二、教学设计
新知探索
呈现实际情境，感受计算梯形面积
的必要性
师：孩子们，这是一幅堤坝的图案，
知道堤坝有什么作用吗？
生：它是用来防水灾的。
师：对了，它是一种防水拦水的建< br>筑物，请看，这是它的横截面，这个横
截面是个什么图形吗？
生：梯形。
师：堤坝横截面是梯形是因为水的
压强随 深度增加而增大，因此在筑堤坝
时要将下部做的又宽又厚，这样既能防
止强大的水压将堤坝压垮 ，
又节省材料！
你还记得梯形各部分的名称吗？
生：上底，下底，还有高。
师：那么这个堤坝的横截面积到底
该怎么计算呢？今天，让我们共同来研
究。
师：你认为我们该从哪儿入手研究
呢？想想我们在学习三角形的时候是怎
么开始的？
生：可以象三角形那样把梯形转化
为学过的图形。
师：孩子们学得真好。我有个建议，
发挥小组的力量，共同合作探究。
提供材料，自主探究图形的转化过
程
1
、提出小组合作的要求
师：听清楚老师的要求：
a.
利用你们手 上的梯形学具，独立
思考能把梯形转化成已学过的什么图
形。
b.
想：拼成的图形和原来的梯形有
什么关系？
2
．自主探究，合作学习
3
．全班汇报交流
师：同学们已经用不同的方法把梯
形转化成了我们学过的图形，哪一个小
组愿意先上来给我们讲一讲。
生
1
：
我们小组的方法是用两个完全
相同的梯形拼成一个 平行四边形。这个
平成的平行四边形的底就是梯形上底加
下底的和，高还是原来梯形的高，所以
梯形的面积是平成的平行四边形的一
半。
生
2
：
我们用的是两个完全一样的直
角梯形，拼成的是一个长方形，长方形
的长 是梯形的上底加下地的和，长方形
的宽是梯形的高，梯形的面积是这个长
方形的一半。
生
3
：
4
．公式的推导
师：对了，用两个完全一样的梯形< br>可以平成一个平行四边形，梯形上、下
底的和等于拼成后平行四边形的底，梯
形的高就是 平行四边形的高。梯形的面
积是所拼平行四边形面积的一半。
生：梯形的面积
=×
高
÷
2
师：我再请一位孩子来流利的说出
这种推倒的方法。
生：有没有小组是其他的办法的？
生：我们小组用的是割补法 ，就是
沿梯形高的一半分割成两个梯形，再转
化成平行四边形。高是原来的一半了，
所 以推导出梯形的公式。
生
3
：
我们是把一个 梯形剪成了两个
三角形，利用乘法分配律，用三角形的
公式推出梯形的公式。
师：同学们介绍了各种推导方法，
你们都推出了梯形的面积。
这可是我们
大家智慧的结晶，
我们的同学真了不起！
师：
如果用
s
表示梯形的面积，
用
a
、
b
和
h
分别表示梯形的上底、下底和高，
那么梯形面积的计算公式应怎样表示？
板书：
s=h÷
2
师：谁来说说，想算出大坝横截面
的面积应该知道什么条件呢？梯形的面
积教案
课题
单元
梯形的面积
共
6
课时
课
时
第
6
课时
主备
人
姓名
学校
赵玉玲
学校
七一小学
二
课型
新授
授课时间
使用人
姓名
1.
使学生理解并掌握梯形面积的计
算公式，
能正确地应用公
学习
目标
式
进行计算。
2.
通过操作，培养学生的迁
移类推能力和抽象概括能力。
3
．培养
学生应用所学知识解决实际问题的能
力，发展空间
观念，
引导学生运用转
化的思想探索规律。
学
习
重难点
课
前
准备
重点：理解并掌握梯形的面积
计算公式。
难点：理解梯形面积计算公
式的推导过程。
两个完全一样的梯形。
导
学
过
程
一、温故互查：
1.
计算下面图形的
面积。
(
单位：厘米
)
三角形：底：
4
高：
3
高：
4
平行四边形：底
6
什么要必须
知道哪些条件
?
为什么要
面是一个平面。②生试做。③订正。
提问：你是怎样
想的
?
为什么要曲边梯
形面积教案
曲边梯形的面积教案
青冈一中
高洪霞
一：
教学目标
知识与技能目标
理解求曲边图形面积的过程：
分割、
近似代替、求和，取极限。感受在其过
程中渗透的思想
过程与方法
通过对曲边梯形的分割理解求曲边
梯形面积的原理。
情感态度与价值观
培养学生建立分割的思想和极限的
思想。
二：教学重难点
重点
掌握过程步骤：分割、近似
代替、求和、取极限
难点
对过程中所包含的基本的微
积分
“
以直代曲
”
的思想的理解
三：教学过程：
1
．创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、
三角形等的面积，这些图形都是由直线
段 围成的。那么，如何求曲线围成的平
面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中 都
有非常广泛的应用。本节我们将学习定
积分的基本概念以及定积分的简单应
用，初步 体会定积分的思想及其应用价
值。
一个概念：如果函数
y
f(x)
在某一
区间
I
上的图像是一条连续不断的曲线，
那么就把函数
y
f(x)
称为区间
I
上的连
续函数．
2
．新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个
梯形，但有一边是曲线
y
f(x)
的一段，我们把由直线
x
a,x
b(a
b),y
0
和曲线
y
f(x)
所围 成的图形
称为曲边梯形．如何计算这个曲边
梯形的面积？
2
例
1
：求图中阴影部分是由抛物线
y
x
，
直线
x
1
以及
x
轴所围成的平面
图形的面
积
S
。
思考：曲边梯形与
“
直边图形
”
的区
别？
能否将求这个曲边梯形面积
S
的问
题转化为求
“
直边图形
”
面积的问题？
分析：曲边梯形与
“
直边图形
”
的主要区
别：曲边梯形有一边是曲线段，
“
直边图
形
”
的所有边都是直线段．
“
以直代曲
”
的
思想 的应用．
把区间
0,1分成许多个小区间，
进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，
对每个小曲边梯形
“< br>以直代取
”
，即用矩
形的面积近似代替小曲边梯形的面积，
得到每个小 曲边梯形面积的近似值，对
这些近似值求和，就得到曲边梯形面积
的近似值．分割越细，面积的 近似值就
越精确。当分割无限变细时，这个近似
值就无限逼近所求曲边梯形的面积
S< br>．
也
即：用划归为计算矩形面积和逼近的思
想方法求出曲边梯形的面积．
解：
．
分
割
在区间
0,1
上等间隔地插入
n
1
个点，将区间
0,1
等分成
n
0,
12
n
1
，
，
„
，
,,1
n
nn
n
记第
i
个区间为
i
1i
,
(i
1,2,
,n)
，
其
长
度
为
nn
x
ii
11
nnn
分别过上述
n
1
个分点作
x
轴的垂
线，从而得到
n
个小曲边梯形，他们的< br>面积分别记作：
S1
，
S2
，
„
，
Sn
显然，
S
Si
i
1
n
近似代替
记
f
x
x2
，如图所示，当
n
很
大，即
x
很小时，在区间
2
i
1i
,
nn
上，可以认为函数
f
x
x
的值
变化很 小，近似的等于一个常数，不妨
1
认为它近似的等于
左端点
i
1
处的函数值
n
i
1
f
，从图形上看 ，就是
用平行于
x
轴的直线段近似的代替小
n
i
1i
用小矩形的面积
Si
近似的代替
Si
，
,
上，
nn
2
曲边梯形的曲边．这样，在区间
即在局部范围内
“
以直代取
”
，则 有
i
1
i
1
i
1
1
Si
Si
f
x
x
(i
1,2,
,n)
①
n
n
n
n
求和
由①，
上图中阴影部分的面积
Sn
为
n
i
1
i
1
1
Sn
Si
f
x
n
i
1i
1i
1
n
n
n
n
2
2
1
1
12
n
1
1
2
n
1=0
3
n
n
n
n
nn
=
22
1
n
1
n
2n
1
1
1
1
3
n63
n
2n
从而得到
S
的近似值
S
限
1
1
1
1
1
3
n
11
22
=
1
=1
取极
2n
Sn
分别将区间
0,1
等分
8，
16
，
20
，
„
等份，
可以看到，
当
n
趋向于无穷大时，
即
x
趋向于
0
时，
Sn
1
1
1
1
1
趋向于
S
，从而有
3
n
2n
1
1
1
1
i
1
1
S
limSn
lim
f
lim1
1
n
n
n
3nnn2n
3i
1
3
．求曲边梯形面积的四个步骤
:
第一步：分割．在 区间
a,b
中任
意插入
n
1
各分点，
将它们等分成
n
个
小区间
n
xi
1,xi
i
1,2,
,n
，区间
xi
1, xi
的长度
xi
xi
xi
1
，
第二步：近似代替，
“
以直代取
”
。
用矩形的面 积近似代替小曲边梯形的面
积，
求出每个小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．
第四步：取极限。
说明：
1
2
．
最后所得曲边形的面积不是近似
值，而是真实值
四：课堂小结
五：课后作业
求
y
2x
x,y
0,0
x
2
围 成图形
面积
2
《梯形的面积》教案
教学内容：
青
岛
版< br>小
学
数
学
五
年
级
上
册
P8 8
——
P91
信息窗
3
红点
2
第
2
课
时
教学目标：
1
、理解梯形面积计算公式，并会计
算梯形的面积。
2
、
能运用梯形的面积计算公式解决
简单的实际问题。
3
、
经历探索梯形面积计算公式的过
程，培养观察、比较、推理和 概括能力，
渗透转化思想，发展空间观念。
4.
在解 决问题的过程中，
感受数学和
生活的密切联系，体会数学的乐趣。
教
学重难点：
教学重点：
理解梯形面积计算 公式，
并能运用梯形的面积计算公式解决简单
的实际问题。
< br>教学难点：用
“
转化
”
的方法推导梯
形的面积公式。
教具、学具
教师准备：多媒体课件、
学生准备：直尺、剪刀、两个完全
一样的梯形纸片，一般梯形。
教学过程：
一、拟定导学提纲，自主预习
创情板题示标导学
1.
创情板题
师：同学们，前面我们学习的平行
四边形，三角形的面积公式是怎样推导
出来的？
师：同学们能不能用学过的这些方
法，设计 一种推导方案，推导出梯形的
面积计算公式呢？
板书课题：梯形的面积
2.
出示目标
师：本节课要达到以下学习目标：
［
1.
理解并掌握梯形面积公式，会
计算梯形的面积。
2.
会正确、
较熟练的
运用公式计算梯形面积，并能解决一些
生活 中的实际问题。
］
3.
自学指导
过渡：目标明确了，有没有信心达
到？
学生：有
要达到本节课的学习目标，需要靠
大家的努力，请看自学指导。
［自学指导：认真看课本
88
——
89
页内容，重点看第二个红点中 的内容，
思考：
1
、怎样才能把梯形转化成已学过
的图形？
2
、如何求梯形的面积？
3
、如
果用
s
表示梯形的面积，
a
表示梯形的上
底，
b
表示梯形的下底，
h
表示梯形的高，< br>梯形的面积公式该如何表示呢？
4
、
信息
窗
3
中里< br>1
号甲鱼池的面积是多少平方
米？
5
分钟后，比一比谁汇报得最清楚］
师指名读自学指导
看一看
< br>师：下面请同学们根据
“
自学指导
”
开始自学，比一比谁看书最认真， 谁自
学效果最好！
二、汇报交流，评价质疑
1
．调查
师：看完的同学请举手，看会的请
把手放下。
2.< br>小组交流。
把自己的想法在小组中
交流一下，
请大家充分发表自己的意见。
教师走到学生中间参与讨论，了解学生
的合作情况，并特别关注学困生的发言
情 况。
3
．全班汇报
师引导：哪个小组说一说你们组的
意见。
预设一：
把两个完全一样的梯形拼成一个平
行四边形 ，拼成的平行四边形的底是梯
形的上底与下底的和，高是原来梯形的
高。
因为平行四边形的面积
=
底
×
高
，
所以梯形面积
=×
高
÷
2
。
质疑：梯形面积为什么要除以
2
？
生释疑：因为拼成的平行四边形的
面积是原来一个梯形面积的
2
倍
。
预
设二：
先把梯形上下底对折 ，找出梯形两
腰的中点，再把两点用直线连接起来，
然后按上图所示，
剪下梯形的上半 部分，
并拼成平行四边形。
因为平行四边形的面积
=
底
×
高
，
所以梯形面积
=×
高
÷
2
。
质疑：为什么要除以
2
？
生释疑：因为拼成的平行四边形的
底是梯形上底与下底的和，高是原梯形
高的一半。
预设三：
先把梯形上下底对折，找出梯形一
腰的中点，沿中点做另一腰的平行线，
然后按下图所示，剪 下阴影部分，并拼
成平行四边形。
因为平行四边形的面积
=
底
×
高
，
所以梯形的面积
=÷
2×
高
。
质疑：上底加下底的和为什么要除
以
2
？
生释疑：因为拼成平行四边形的两
个底之和正好等于梯形上下底之和。
预
设四：
先把梯形上下对折，找出梯形腰的
中点，然后按照下图所示，剪下阴影部
分，并拼成一个三角形。
从上图可以看出：把梯形剪拼成三
角形，三角形的底就是梯形的上底与下
底之和，三角形的高 是原来梯形的高。
因为三角形的面积
=
底
×
高
÷
2
，
所以梯形的面积
=×
高
÷
2
。
三、抽象概括，总结提升
师谈话：通过大家的努力 ，我们解
决了如何求梯形面积的问题，而且还想
出了多种解决梯形面积的方法。我们再
来比较一下，看看你有什么发现。
师：谁来说一说
,
怎样求梯形的面
积？要求梯形的面积必须知道哪些条
件？
生说师强调并板书：
梯形的面积
=×
高
÷
2
。
师：如果用字母怎样表示梯形的面
积呢？
生
说
师
强
调
并
板
书
：
S=(a
＋
b)×
h÷
2
。
师：谁来说一说，怎样计算
1
号甲
鱼池的面积？
生：因为
1
号甲鱼池是一个梯形，
根据梯形的面积计算公式可列式 为：
×
60÷
2
=180×
60÷
2
=10800÷
2
=5400
答：
1
号甲鱼池的面积是
5400
平方
米。
四、巩固应用，拓展提高
.
考一考
师：同学们学会了吗？下面老师就
来考一考大家，你们有信心接受挑战
吗？
出示题目：计算下面梯形的面积：
某水 渠的横截面是梯形。渠口宽
8
米，渠底宽
5
米，渠深米。求它的横截
面面积。
指四名
“
学困生
”
上台板演，其余同
学做书上。
教师台下巡视，收集典型错误和解
决问题的方法。
议一议
1
．更正
观察。做完的同学认真看黑板上同
学做的和你是否一样。
纠错。
2
、议一议。
师：到底做得怎么样呢？下面咱们
来评议一下。
他忘记除以
2
了。
其中的一个底和高混了。
他用长度单位了。
上底加下底的和忘记加括号。
师追问：计算梯形面积时应注意什
么？
师小结：在计算梯形面积时要做到：
仔细看，看清哪儿是上底和下底，哪儿
是高；
计算时不 要忘记括号及除以
2
；
注
意结果单位的使用。
3
、师：现在批改一下自己的做题情
况。
师：全对的
“
举手
”
？
生举手，师统计正确率。
4
、小结：想一想，这节课你学会了
哪些内容？
生根据本节课的学习内容汇报。
5
、练一练
师：下面咱们就利用今天所学的知
识来做作业，比一比谁做题最认真、最
细心、书写最整洁！
作业：配套练习册相关内容。
练习：课本第
91
页
“
自主练习
”< br>第
6
题。
课本第
91
页“
自主练习
”
第
7
题。
使用说明：
1
、教学反思：回顾整个教学过程，
我感觉本节课有以下亮点：
尊重学生的认知规律，注重知识的
前后联系。
教学时关注学生已有的知识、水平
和经验。因为学生已经学过了平行四边
形和三角形的面积 ，梯形的面积公式推
导方法与平行四边形、三角形的面积的
面积推导方法有相似之处，所以，上 课
开始我就让学生回忆平行四边形和三角
形的面积的推导过程，为这节课探索梯
形的面 积做好铺垫。
注重学法引导，发展学生的多向思
维。
学生在原有知识经验的基础上通过
自主动手剪拼，运用转化的思考方法，
把梯形转化成已学过的图形，然后研究
两者之间的联系，从而推导出梯形的面
积计算公 式。这节课中向学生提供充分
从事数学活动的机会，通过
“
猜想
—
验
证
”
来展开知识的发生发展过程，
促使学
生主动探索，大胆创新，想 出了不同的
拼剪方法，促进了学生学习的兴趣，使
学生的多项思维得到进一步发展。通过
观察、操作、猜测、验证、推理和交流
等活动，全面参与新知的发生、发展和
形成过程。
转变学习方式，让学生自主学习。
教学中，我改变过去教师讲，学生
听的教学模式，突出学生的主体作用，
让学生主动操作、讨 论，亲历知识的探
究过程。在梯形面积公式的推导中，我
让学生小组内动手操作，在充分交流的
基础上，自主学习总结出公式，实现
“
要
我学
”
为
“
我要学
”
这一目的。
2
、教学建议：
教学本节课时，尽可能为学生提供< br>足够的探究空间，给学生提供充分地交
流和展示的机会。
(2)
在梯形的面积公式的推导过程
中，其实不止本节课提到的这些方法，
如：把梯形沿高剪开后拼成平行四边形
或长方形；把梯形沿对角线剪开，分成
两个三角形
„„
，总之，只要学生想出的
方法合理，都要对答案给予肯定。
3
、需要破解的问题：梯形的面积计
算能否用两课时完成。曲边梯形的面积
(
教案
)
曲边梯形的面积
杭州市源清中学
徐骋
【教学目标】
1
、知识与技能目标：
通过问题情景，经历求曲面梯形的
形成过程，
了解定积分概念的 实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2
、过程与方法目标：
通过问题的探究体会以直代曲 、以
不变代变及无限逼近的思想。通过类比
体会从具体到抽象、从特殊到一般的数
学思 想方法。
3
、情感、态度与价值观目标：
体验和认同
“
有限和无限对立统一
”
的辩证观点，接受用 运动变化的辩证唯
物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重点】
求一般曲面梯形面积的方法。
【教
学难点】
对以直代曲、
无限逼近思想的理解。
【教学准备】
多媒体电脑、
课件等。
【教学过程】
曲边梯形的面积
杭州市源清中学
徐骋
【学习目标】
1
、理解
“
以直代曲
”
的意义；
2
、理
解求曲边梯形面积的四个步骤；
3
、了
解
“
近似代替
”
时取点的任意性。
【课堂
程序】
问题一：我们在小学、初中就学习求平面图形面积的问题。有的是规则的
平面图形，但现实生活中更多的是不规
则的平面图形 。对于不规则的图形我们
该如何求面积，比如浙江省的面积？
问题二：
户型图不完全是不规则的，
有一边是曲线，其他边是直线，这样的
面积又该怎 样得出？
概念：如图，由直线
x=a,x=b,x
轴 ，
曲线
y=f(x)
所围成的图形称为曲边梯形。
< br>问题三：对于由
y=x2
与
x
轴及
x=1
所围成的面 积该怎样求？
图
4
【知识应用】
1
、
求直线
x=0, x=2,y=0
与曲线
y=x2
所围成的曲边梯形的面积。
图
3
y
y=x
2
O
特
别
帮
助
：
12+22+32+„+n2=n(n+1)(2n+1)
6
1
2< br>、
求直线
x=1,x=4,y=0
与曲线
y=x2
所围成的曲 边梯形的面积。
【总结归纳】
1
、对于一般曲边梯形，如何求面
积？
2
、求曲边梯形面积的方法步骤是
什么？
【曲边梯形的面积
作业】
1
、求 由
y=x2
＋
1,
和
x=0,x=3,x
轴围
成的 曲边梯形面积。
2
、
求由
y=2x2
＋
1,
和
x=1,x=3,x
轴围
成的曲边梯形面积。教案曲边梯 形的面
积
(
教案
)
曲边梯形的面积
一、目标导学
教学目标
:⑴通过对曲边梯形面积的
探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个
步骤
—
分 割、以
曲代直、逼近、求和；
⑵进一步感受有限与无限的联系和
极限的思想在数学和实践中的应用；
⑶
通过求曲边梯形的面积，掌握划归和极
限的数学思想方法运用。
教学重点：求曲边梯形的面积。
教学难点：深入理 解
“
分割、以曲代
直、
求和、
逼近
”
的思想。
教学过程：
二、
自主探究
1.
求下图中阴影部分的面积：
2.
对于哪些图形的面积，大家会求
呢？
三、交流点拨
2
问题引入：
对于
x
0
，
x
1
，
y
0
，
y
x
围成的图形的面积如何来求呢？
今天我们一起来探究这种曲边图形的面
积的求法。
学生活动
1
、让学生自己探求，讨论
2
、让学
生说出自己的想法
希望学生说出以⊿
OAB
的面积近似代替曲边三角形的面
积，但误差很大，如何减小误差呢？
希望学生讨论得出将曲边三角形进
行分割，形成若干个曲边梯形。
问题：如何计算每个曲边梯形的面
积呢？
方案一
方案二
方
案三
方案一：用一个矩形的 面积近似代
替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，
三角形的面积越小，小矩形的面积就可
以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越
多，三角形的面积越小，大矩形的面积
来近似代替曲 边梯形的面积。
方案三：
以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面
积。
，
这三种方案是本节课内容的核心，
故多花点时间引导学生探求，
讨论得出，
让学生体会
“
以曲代直
”
的思想，从近似
中认识精确，给学 生探求的机会）
总结：这样，我们就可以计算出任
意一个小曲 边梯形的面积的近似值，从
而可以计算出整个曲边三角形面积的近
似值，
，并且分割越 细，面积的近似值就
越精确，当分割无限变细时，这个近似
值就无限逼近所求的曲边三角形的面
积。如何求这个曲边三角形的面积，以
方案一为例：
⑴分割细化
将区间
0,1
等分成
n
个小区间
0,
，
,
，
„
，
,
，
„
，
,
，每
个
nnnn
nnn
区
间
的
长度为
x
1
12
i
1i
n
1n
ii
11
，过各个区间端点作
x
轴的垂
线，从而得到
nnnn
个小曲边梯形，它们的面积分别记
作，
S1,
S2,
Si ,
Sn.
。
⑵以直
代曲
i
1
i
1i
对区间
对应的函数值
,
上的小曲
边梯形，以区间左端点
n
nn
一边的长，以
x
i
1
i
1
f
为
n
n
2
1
为邻边的长的小矩形的面积近似代
替小曲边梯形的面积。
ni
1i
121
)
x
()
即
Si
f(nnn
⑶作和
因为每个小矩形的面积是相应的小
曲边梯形面积的近似值，所以
n
个小矩
形面积之和就是所求曲边三角形面积
S
的近似值：
i
1
1S
S1
S2
Sn=
Si
n
ni
1i
1
nn
2
1
222
0
1
n
1
3
n
⑷逼近
当分割无限变细时，
即
x
无限趋近
于
0
1
222
1
1
n
1n
2n
1
1(
1
1)(2
1)
0
1
n
1
n36n3
6nn111
当
n
趋向
时，
1
无限趋近于
1
，
2
无限趋近于
2
，故上式的结果无限趋
近于，
n3n
11S
，即所求曲边三角形面积是。
3
、分成两组，分别以方案二、方案
三按上述四个步骤重新计算 曲边三角形
的面积，并将操作过程和计算结果与方
案一进行比较。
四、拓展建构
例
1.
求
由
直
线
y=2x+1
与
直
线
x=0,x=1和
y=0
所围成的平面图形的面
积
S
【解】分割
在区间
上等间隔地插入
n-1
个点，
将它等分成
n
个小区间：
112i
1in
1,,
,
.
分
别过上 述
n-1
个分点作垂线，把曲边梯
形分
nnnnnn
成
n
个小曲边梯形。它们的面积记
作
s1,
s2,
si,
sn,
则
S
近似代替
记f(x)=2x+1,
当
n
很大时，第
i
个小
曲边梯形 的面积
si
可以用小矩形的面
积
si
近似代替，则有：
n
n
i
11n
1121
Si
S
f()< br>(2
1)
2(i
1)
(i
1,2,
,n),
记
Sn
Si;
nnnnnni
1
i
求和
S
Si
Si
i
1
i
1
nn
2n
11
1
1
2
; 2
nnn
取极限
当
n
趋向于无穷大时，
n
S
n
趋向于
S,
从而有：
S=limSi
lim
f(
n
n
i
1
i
111
)
lim(2
)
2. nnn
n
五、梯度训练
1.
函数
f(x)=x2
在区间【
/n,i/n
】上
A.
f(x)
的
值
变
化
很
小
B
．
f(x)
的值变化很大
C
．
f(x)
的
值
不
变
化
D
．当
n
很大时，
f(x)
的值变化很小
2.
由
y=x,x=0,x=1,y=0
围成图形的面
积
为
3.
求
直
线
x=0,y=0
与曲线
y
x
所围成的曲边梯形
的面积。
六、跟进反思：
2
梯形的面积教学设计教案
教学准备
1.
教学目标
知识与技能：运用知识迁移类比规
律和
“
转化
”
的数学思想 ，通过小组合作
探索推导出梯形的面积计算公式，并能
正确地运用公式解答有关问题。
过程与方法：培养操作、观察、分
析、比较、概括及利用已有知识和经验
解决新问题的能力。
情感态度价值观：通过自主探究，
合作交流，体验成功，建立自信，激发
学习兴趣，培养创新意识，渗透
“
变
”
与
“
不变
”
的辩证唯物主义观点教育。
2.
教学重点
/
难点
【教学重点】掌握梯形面积的计算
公式，
并运用公式正确计算梯形的面积。
【教学难点】推导梯形的面积计算
公式。
3.
教学用具
多媒体课件、大小形状相同的梯形
纸片若干、直尺、剪刀、彩笔等。
4.
标签
教学过程
一、
创设情境，提出问题
师
:
老师家想装一面梯 形的镜子
,
请
你想一想
,
帮老师设计一下
,
画在老 师为
你们提供的纸上
,
好吗
?
生画后交流展示所画的梯形。
师：谢谢同学们！那我要知道镜 面
的大小，才能进行配置呀，也就是要知
道什么？
对 了，要知道镜面的大小，也就是
梯形镜面的面积，这是我们目前还没掌
握的。今天，我们就一起 来探究解决梯
形的面积计算的问题。
联想猜测
师：谁还能记得我们探究平行四边
形和三角形面积时，是怎样推导出面积
计算公式的？
生回答
师：我们都是把它们转化为我们已
经学过的图形，从而推导出它们的面积
计算公式的。那么， 凭借前面学习平行
四边形、三角形面积的经验，你猜想梯
形的面积可能与什么图形有关？你想怎
样推导出梯形面积的计算方法？
生自由回答进行猜测。
合作探究
师：在你们每个小组桌上老师已经
为你们准备好了很多的材料。请你们在
小 组长的组织下进行合作探索，看看哪
个小组最快转化成功，在音乐结束时推
导出梯形的面积计算 公式。开始
„„
汇报交流
师：现在请各组派代表到台上来汇
报
1
、
汇报演示由两个完全相同的梯形
拼成平行四边形的过程
引导学生在实物投影仪下演示交流
①
用两个完全一样的直角梯形拼
成平行四边形的过程
②
用两个完全一样的等腰梯形拼
成平行四边形的过程
③
用两个完全一样的任意梯形拼
成平行四边形的过程
生猜测、实验后汇报交流
师：那么什么样的两个梯形才能拼
成一个平行四边形呢？
小结：完全相同的两个梯形才能拼
成一个平行四边形。
观察拼成的平行四边形，你发现了
拼成的平行四边形和梯形间的关系吗？
那您认为梯形的面积 应该怎样计算呢？
师生归纳出公式
< br>追问：
(
上底
+
下底
)
表示什么？
(
上底
＋下底
)×
高算得是什么？为何要除以
2
？
2
、
汇报演示用一个梯形推导出梯形
面积计算公式方法。
预设有下面几种，
如没有学生想出，
师可以通过课件引导演示给学生看：
沿着梯形的高作出一条中位线，把
中位线剪开，旋转，就拼成了一个平行
四边形，平行四边形的底刚好是梯形的
上底和下底的和，高刚好是梯形的高的
一半，< br>所以也可以推导出梯形的面积
=×
高
÷
2
连接对角线，把一个梯形划分为两
个三角形，其中一个三角形的底就是梯
形 上底，高就是梯形的高，另一个三解
形的底就是梯形的下底，高也是梯形的
高。两个三角形面积 分别为：
“
上底
×
高
÷2”
及
“
下底×
高
÷2”
；
而三角形面积和
=
上
底
×
高
÷
2+
下底
×
高
÷
2=×
高
÷
2=
梯形的面
积
如图演示
3
、小结
师：
其实推导的方法还有多种多样，
同学们回家有时间还可以继续探讨
，不过，我们可以发现无论哪种推
导方法得出的结论都是相同的公式。谁
来告诉大家梯形面积计算的字母公式该
怎样写呢？
生：
S=(a+b)h÷
2
一、
实际应用、巩固练习
１、口答：下列梯形的面积。
2
、列式计算梯形的面积
3
、判断：
任意两个梯形可以拼成一个平行四
边形
面积相等的两个梯形可以拼成一个
平行四边形
两个完全一样的梯形可以拼成一个
平行四边形
梯形的面积是平行四边形面积的一
半
梯形的面积＝上底＋下底
×
高
÷
2
平行四边形的面积一定比梯形的面
积大
课堂小结
谈谈你这节课的收获及感想，你认
为本节课中哪位同学的表现值得你学
习？教案曲边梯形的面积
(
教案
)
曲边梯形的面积
主备人：赵秀娟
审核人：王
甜甜
时间：
一、目标导学
教学目标
:⑴通过对曲边梯形面积的
探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个
步骤
—
分 割、以
曲代直、逼近、求和；
⑵进一步感受有限与无限的联系和
极限的思想在数学和实践中的应用；
⑶
通过求曲边梯形的面积，掌握划归和极
限的数学思想方法运用。
教学重点：求曲边梯形的面积。
教学难点：深入理 解
“
分割、以曲代
直、
求和、
逼近
”
的思想。
教学过程：
二、
自主探究
1.
求下图中阴影部分的面积：
2.
对于哪些图形的面积，大家会求
呢？
三、交流点拨
2
问题引入：
对于
x
0
，
x
1
，
y
0
，
y
x
围成的图形的面积如何来求呢？
今天我们一起来探究这种曲边图形的面
积的求法。
学生活动
1
、让学生自己探求，讨论
2
、让学
生说出自己的想法
希望学生说出以⊿
OAB
的面积近似代替曲边三角形的面
积，但误差很大，如何减小误差呢？
希望学生讨论得出将曲边三角形进
行分割，形成若干个曲边梯形。
问题：如何计算每个曲边梯形的面
积呢？
方案一
方案二
方
案三
方案一：用一个矩形的 面积近似代
替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，
三角形的面积越小，小矩形的面积就可
以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越
多，三角形的面积越小，大矩形的面积
来近似代替曲 边梯形的面积。
方案三：
以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面
积。
，
这三种方案是本节课内容的核心，
故多花点时间引导学生探求，
讨论得出，
让学生体会
“
以曲代直
”
的思想，从近似
中认识精确，给学 生探求的机会）
总结：这样，我们就可以计算出任
意一个小曲 边梯形的面积的近似值，从
而可以计算出整个曲边三角形面积的近
似值，
，并且分割越 细，面积的近似值就
越精确，当分割无限变细时，这个近似
值就无限逼近所求的曲边三角形的面
积。如何求这个曲边三角形的面积，以
方案一为例：
⑴分割细化
将区间
0,1
等分成
n
个小区间
0,
，
,
，
„
，
,
，
„
，
,
，每
个
nnnn
nnn
区
间
的
长度为
x
1
12
i
1i
n
1n
ii
11
，过各个区间端点作
x
轴的垂
线，从而得到
nnnn
个小曲边梯形，它们的面积分别记
作，
S1,
S2,
Si ,
Sn.
。
⑵以直
代曲
i
1
i
1i
对区间
对应的函数值
,
上的小曲
边梯形，以区间左端点
n
nn
一边的长，以
x
i
1
i
1
f
为
n
n
2
1
为邻边的长的小矩形的面积近似代
替小曲边梯形的面积。
ni
1i
121
)
x
()
即
Si
f(nnn
⑶作和
因为每个小矩形的面积是相应的小
曲边梯形面积的近似值，所以
n
个小矩
形面积之和就是所求曲边三角形面积
S
的近似值：
i
1
1S
S1
S2
Sn=
Si
n
ni
1i
1
nn
2
1
222
0
1
n
1
3
n
⑷逼近
当分割无限变细时，
即
x
无限趋近
于
0
1
222
1
1
n
1n
2n
1
1(
1
1)(2
1)
0
1
n
1
n36n3
6nn111
当
n
趋向
时，
1
无限趋近于
1
，
2
无限趋近于
2
，故上式的结果无限趋
近于，
n3n
11S
，即所求曲边三角形面积是。
3
、分成两组，分别以方案二、方案
三按上述四个步骤重新计算 曲边三角形
的面积，并将操作过程和计算结果与方
案一进行比较。
四、拓展建构
例
1.
求
由
直
线
y=2x+1
与
直
线
x=0,x=1和
y=0
所围成的平面图形的面
积
S
【解】分割
在区间
上等间隔地插入
n-1
个点，
将它等分成
n
个小区间：
112i
1in
1,,
,
.
分
别过上 述
n-1
个分点作垂线，把曲边梯
形分
nnnnnn
成
n
个小曲边梯形。它们的面积记
作
s1,
s2,
si,
sn,
则
S
近似代替
记f(x)=2x+1,
当
n
很大时，第
i
个小
曲边梯形 的面积
si
可以用小矩形的面
积
si
近似代替，则有：
n
n
i
11n
1121
Si
S
f()< br>(2
1)
2(i
1)
(i
1,2,
,n),
记
Sn
Si;
nnnnnni
1
i
求和
S
Si
Si
i
1
i
1
nn
2n
11
1
1
2
; 2
nnn
取极限
当
n
趋向于无穷大时，
n
S
n
趋向于
S,
从而有：
S=limSi
lim
f(
n
n
i
1
i
111
)
lim(2
)
2. nnn
n
五、梯度训练
1.
函数
f(x)=x2在区间【
/n,i/n
】上
A.
f(x)
的
值
变
化
很
小
B
．
f(x)
的值变化很大
C
．
f(x)
的
值
不
变
化
D
．当
n
很大时，
f(x)
的值变化很小
2.
由
y=x,x=0,x=1,y=0
围成图形的面
积
为
3.
求
直
线
x=0,y=0
与曲线
y
x
所围成的曲边梯形
的面积。
六、跟进反思：
2
汽车行驶的路程
主备人：赵秀娟
审核人：王
甜甜
时间：
一、目标导学
教学目标：
1
．
体会求汽车行驶的路程有关问题
的过程；
2
．感受在其过程中渗透的思想方
法：分割、以不变代变、求和、取极限。
3
．
了解求曲边梯形面积的过程和解决有
关汽车行驶路程问题的过程的共同点 ；
教学重点：掌握过程步骤：分割、以不
变代变、求和、逼近．
教学难点：过程
的理解．
教学过程：
二、自主探究
1
．连续函数的概念；
2
．
求曲边梯形面积的基本思想和步
骤；
利用导数我们解决了
“
已知物体运
动路程与时间的关系 ，
求物体运动速度
”
的问题．反之，如果已知物体的速度与
时间的关系，如何 求其在一定时间内经
过的路程呢？
三、
交流点拨
问题引入：
汽车以速度
v
组匀速直线运动时 ，
经过时间
t
所行驶的路程为
S
vt
．如果
汽车作 变速直线运动，
在时刻
t
的速度为
v
t
t
2
，那么它在
0≤t≤1(
单位：
h)
2
这段时间内行驶的路程
S
是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采
取
“
以不变代变
”
的方法，把求 匀变速直
线运动的路程问题，化归为匀速直线运
动的路程问题．
把区间
0,1
分成
n
个小区
间，在每个小区间上，由于
v
t
的变
化很小，可以近似的看作汽车作于速直
线运动，从而求得汽车在每个小区间上
行驶路程 的近似值，在求和得
S
的近似
值，最后让
n
趋紧于无穷大就得到S
的
精确值．
．
1
．分割
在时间区间
0,1
上等间隔地插入
n
1
个点，
将区间
0,1
等分成
n
个小
区间：
0,
1
12
n
1
，
，
„
，
,,1
n
nn
n
记第
i
个区间为
i
1i
,
(i
1,2,
,n)
，
其
长
度
为
nn
t
ii
11
nnn
把汽车在时间段
0,
1
12
n
1
，
，
„
，
,,1
上
行
驶
的
路
程
分
别记
作
：
n
nn
n
S1
，
S2
，
„
，
Sn
显然，
S