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2021年2月5日发(作者：绝缘暴风雨)



教学目标

进一步理解和应用分步计数原理和分类计 数原理。
1.
提高学生解决问能运用解题策略解决简单
的综合应用题。
掌握解 决排列组合问题的常用策略
;2.


题分析问题的能力

.
3.
学会应用数学思
想和方法解决排列组合问题

复习巩固

)(
加法原理
1.
分类计数原理
mmn
种不
21
类办法中有类
办法中有
完成一件事，有种不同的方法，在第
类办法，在第
12
mn

类办法中有
同的方法，…，在第
种不同的方法，那么完成这件事共有：
n
方法．


2.
分步计数原理（乘法原理）



N
?
m
?
m
?L?
m

n
12
种不同的
mmn
种不同的方
21
步有步有
完成一件事 ，需要分成
种不同的方法，做第个步骤，做第
12
mn
种
不同的方法 ，那么完成这件事共有：步有法，…，做第

n
n
12

N
?
m
?
m
?L?
m

种不同的方法．


3.
分类计数原理分步计数原理区别



分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。


分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．


解决排列组合综合性问题的一般过程如下
:


1.
认真审题弄清要做什么事


2.
怎样做才能完成所要 做的事
,
即采取分步还是分类
,
或是分步与分类同时进行
,
确定分多少步
及多少类。


3.
确定每一步或每一类是排列问题< br>(
有序
)
还是组合
(
无序
)
问题
,
元素总数是多少及取出多少个
元素
.


4.
解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略


一
.
特殊元素和特殊位置优先策略


例
1.
由
0,1,2,3,4,5
可以组成多少个没有重复数字五位奇数
.< br>

解
:
由于末位和首位有特殊要求
,
应该优先安排
,
以免不合要求的元素占了这两个位置
.



1
C


先排末位共有
31
C

然后排首位共有

43
A

最后排其它位置共有

4311
131
288
CCA
?

由分
步计数原理得

CCA
443
344

需若以元素分析为主
,
位置分析法和元素分析法是解决排列组
合问题最常用也 是最基本的方法
,

再处理其它位
,
先安排特殊元素
,再处理其它元素
.
若以位置分
析为主
,
需先满足特殊位置的要求


置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还
要兼顾其它条件


若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，练习题
:7,
种不同的花种在排成一 列的花盆里

问有多少不同的种法

相邻元素捆绑策略二
.

共有多少种不同的排法
.
2. 7
人站成一排
,
其中甲
乙相邻且丙丁相邻
,
例解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一 个复合元素，同时丙丁也看
成一个复合元素，再与有得理计数原可共步由排行部素邻对同列行素它其元进 排，时相元内进
自。
分
225
480
AA
?
A
种不同的排法
252





丙
丁乙甲




即将需要相邻的元素合并.,
可以用捆绑法来解决问题要求某几个元素必须排在一起的问同时要
注意合并元素内部也 必须排为一个元再与其它元素一起作排


枪连在一起的情形的不同种数为
20
34
枪，
4
枪命中恰好有练习题
:
某人射击
8
枪，
命中
.
不相邻问题插空策略

三例
3.一个晚会的节目有
4
个舞蹈
,2
个相声
,3
个独唱,
舞蹈节目不能连
续出场
,
则节目的出场顺序有多少种





A
64
个独唱共有舞蹈插入第一步排好的 种，第二步将
3
解
:
分两步进行第一步排
2
个相声和
54
A
节目的不同顺序共有
,
不同的方法
,
个元素中间包 含首尾两个空位共有种由分步计数原理
654
AA

5
种

65
间和两




元素相离问题可先把没有位置 要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中
练习题：某班新年联欢会原定的
5
个节目已 排成节目单，开演前又增加了两个新节目
.
如果将这
两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
30

四
.
定序问题倍缩空位插入策略


例人排队
,
其中甲乙丙
3
人顺序一定共有多少不同的排法


解
:(
倍缩法
)
对于某几个元素顺序一定的排列问题,
可先把这几个元素与其他元素一起进行排
列
,
73
AA
/

然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数
,
则共有不同排法种数是：

374
A
种方
法，其余的三个位置甲乙空位法
)
设想有7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
(
7
种方法。丙共有
1
种坐法，则共有
7




4
A




思考
:
可以先让甲乙丙就坐吗




四人依次插入共有方法再把其余
)
先排甲乙丙三个人
,
共 有
1
种排法
,4
（插入法



定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插





要求从左至右身高逐渐增加，
共有多少排法每排
:10
人身高各不相等
,
排成前后排，
5
人
,
练习题
5
C

10

重排问题求幂策略五
.

6
名实习生分配到
7
个车间实习
,
共有多少种不同的分法
5.
例把把第二名实 习生分配到车间也
:
把第一名实习生分配到车间有
7
种分法
.
解
:
完成此事共

6
7

由分步计数原理共有种不同的排法有
7
种分依此类推
,

允 许重复的排列问题的
特点是以元素为研究对象，
元素不受位置的约束，
可以逐一安排各 个元素

n
m

不同的元素没有限
分六步
制地安排 在的位置，一般地
nm
个位置上的排列数为种



练习题：如果将这两个
1
．

某班新年
联欢会原定的
5
个节目已排成节目单，
开演前又增加了两个新节目
.

节目插入原节目单中，
那么
不同插法的种数为
42
8


7

他们到各自的一层下电梯层大楼一楼电梯上来
2.
某
88
名乘客人
,,
下电梯的方法


六
.
环排问题线排策略

共有多少种坐法
,
例
6.
8
人围桌而坐
4
A
并从此位置解：
围桌而坐与坐成一排
的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以 固定一人
4
7


！
！种排法即）
8-1
人共有（
7
把圆
形展成直线其余．

C

DB

AE

CADEFAGBHFHG

< br>个元素作
.
如果从
n
个不同元素中取出
m
一般地,n
个不同元素作圆形排列
,
共有
(n-1)!
种排法

1

m
A

圆形排列共有
n
n



120
练习题：
6
颗颜色不同的钻石，
可穿成几种钻石圈

多排问题直排策略七
.

共有多少排法
,
丙在后排
,
例人排成前后两排
,
每排
4
人
,
其中甲乙在前排
2
A
再种
8
人坐
8
把椅子
,
可以 把椅子排
成一排
.
个特殊元素有
,:8
解人排前后两排
,< br>相当于
4

51
AA
则共
,
个位置上任意排 列有种其余
的
5
人在排后
4
个位置上的特殊元素丙有
5种
,
54


521
AAA

有种
544











后

排前

排

再分段研可归结为一排考虑
,
一般地
,
元素分成多排的排列问题,



个人就座规定前排中间的
3
练习题：
有两排座位，
前排
11
个座位，
后排
12
个座位，
现安排
2

人
不左右相邻，
那么不同排法的种数是
346
座位不能坐，
并且这
2


.
排列组合混合问题先
选后排策略八

.
4
个不同 的盒内
,
每盒至少装一个球
,
共有多少不同的装法有例
8.5
个不同的小球
,
装入
2
C
包含一个复合元
.
再把
4
个元素第一步从解
:5
个球中选出
2
个组成复合元共有< br>(
种方法
5

244
ACA

4
个 不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有装入素
)
454


.
此法与
相邻元素捆绑策略相似吗解决排列组合混合问题
,
先选后排 是最基本的指导思想


每人完成人完成四种不同的任务
名战士
练习 题：
一个班有
6,
其中正副班长各
,1
人现从中选
4

种
则不同的选法有一种任务
,
且正副班长有且只有
1
人 参加
, 192



小集团问题先整体后局部策略九
.
这样
,9.
用
1,2,3,4,5
组成没有重复数字的五位数其中恰 有两
个偶数夹
1,
５在两个奇数之间例

的五位数有多少个
222
AAA
种解：把１
,
５
,
种排法，
,
４当作一
个小集团与３排队共有再排小集团内部共有２
222
共有种排法
2 22
练习题：


１
.
计划展出
10
幅不 同的画
,
其中
1
幅水彩画
,
４幅油画
,
５ 幅国画
,
排成一行陈列
,
要求同一




222
AAA

.
排法，由分步计数原理



15243


小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。



AAA

品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的 种数为
425
552
AAA

2. 5
女生也相邻的排法有
,
男生相邻男生和５女生站成一排照像
,
种
552
452< br>



十
.
元素相同问题隔板策略
例
10.
有
10
个运动员名额，分给
7
个班，每班至少 一个
,
有多少种
分配方案

个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档

解 ：因为
10
中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法 对
6
C

应一

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