递推数列常十种方法
抹胸裙怎么穿-
求递推数列通项公式的十种策略例析
递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的
策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，
亦可采用不完全归
纳法的方法，
由特
殊情形推导出一般情形，
进而用数学归纳法加以证明，
因而求递推数列的通项公式问题成为
< br>了高考命题中颇受青睐的考查内容。
笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策
略，
它们
是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换
法、迭代法、数学归纳法、换元法、
不动点法、
特征根的方法。
仔细辨析递推关系式的特征，
准确选择恰当的方法，是迅速求出
通项公式的关键。
一、利用公式法求通项公式
例
1
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2
a
n
3
2
n
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式。
解：
a
n
1
2
a
n
< br>3
2
n
两边除以
2
n
1
，得
a
n
1
2
n
1
a
n
2
n
a
1
a
n
3
3
，则
n
n
，
n
1
2
2
2
2
故数
列
{
a
a
n<
/p>
2
3
为首，以
为
公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
}
是以
1
1
1
2
n
2
2
2
3
3
1
，所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
(
n
< br>
)
2
n
。
2
2
2
a
n
1
2
n
1
a
n
3
，说明数
2
a
n
2
n
1
(
n
1
)
2
n
a
a
n
3<
/p>
列
{
n
是等差数
列，再直接利用等差数列的通项公式求出
，进而求出数
}
1
(
n
1
)
n
n
2
2
2
列
{
a
n
}
的通项公式。
二、利用累加法求通项公式
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n<
/p>
1
2
a
n
3
2
n
转化为
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
2
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
a
n
2
n
1
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n
1
<
/p>
a
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n<
/p>
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1<
/p>
)
a
1
[
2
(
n
1
)
1
]
[
2
(
n
2
)
<
/p>
1
]
(
2
2
1
)
(
2
1
1
)
1
2<
/p>
[(
n
1
)
(
n
2
)
2
< br>1
]
(
n
1
)
1
2
(
n
1
)
n
(
n
1
)
< br>
1
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
2
评注：
本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
a
n
2
n
1
转化为
a
n
1
a<
/p>
n
2
n
1
，
进而
求出
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2<
/p>
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
3
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
3
n
1
，
a
1
< br>
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n
1
a
n
2
< br>3
n
1
得
a
n
1
a
n
2
3
n
1
则
a
n
< br>(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
< br>a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
(
2
3
n
< br>1
1
)
(
2
3
n
2
1
)
(
2
3
2
1
< br>)
(
2
3
1
1
)
3
2
(
3
n
1
3
n
2
< br>
3
3
)
(
n
1
)
3
2
1
3
3
n
所以
a
n
2
n
2
3
n
n
1<
/p>
1
3
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n<
/p>
1
a
n
2
3
n
1
转化为
a
n
1
a
n
2
3
n
1
，
进而
求出
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
< br>)
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项
公式。
例
4
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
，
a
< br>1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
两边除以
3
n
1
，得
a
n
1
3
n
1
a
n
3
n
2
1
< br>
n
1
，
3
3
则
a
n
1
3
n
1
a
n
3
n
a
n
3
< br>n
2
1
n
1
，
3
3
故
(
a
n
3
n
a
n
1
a
< br>a
n
2
a
n
2
a
n
3
a
2
a
1
a
1
)
(
n
1
< br>
n
)
(
)
(
)
a
n
1
a
n
1
3
2
< br>3
3
n
2
3
n
3
3
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
(
< br>n
)
(
n
1
)
(
n
2
)
(
2
)
< br>3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
(
n
1
)
1
1
1
1
1
(
n
< br>n
n
1
n
2
2
)
1
3
3
3
3
3
3
1
n
< br>
1
(
1
3
)
a
n
2
(
n
1
)
3
n
2
n
1
1
因此
n
，
1
n
3
1
3<
/p>
3
2
2
3
3
则
a
n
2
1
1
n
3
n
3
n
3<
/p>
2
2
评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
式
a
n
1
3<
/p>
a
n
2
3
n
1
转
化
为
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
<
/p>
2
a
n
2
a
n
3
2
1
，
进
而
求
出
(
)
(
)
<
/p>
(
)
+
…
3
n
1
3
n
3
3
n
1
3
n
3
n
1
3
n
<
/p>
1
3
n
2
3
n
2
3
n
3
a
2
a
1
a
a
n
+
(
2
1<
/p>
)
1
，即得数
列
{
n
}
的通
项公式，最后再求数列
{
a
n
}
的通项公式。
3<
/p>
3
3
3
a
n
1
a
n
三、利用累乘法求通项公式
例
5
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2
(
n
1
)
5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
< br>a
n
}
的通项公式。
解：因为
a
n
1
2
(
n
1
< br>)
5
n
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则<
/p>
a
n
1
2
(
n
1
)
5
n
，
a
n
则
a
n
a
n
a
n<
/p>
1
a
n
1
a
n
2
a
3
a
2
a
2
a
1
a<
/p>
1
[
2
(
n
1
1
)
5
n
1
]
[
2
(
n
2
<
/p>
1
)
5
n
2
]
[
2
(
2
1
)
5
2
]
[
2
(<
/p>
1
1
)
5
1
]
3
2
n
1
[
n
(
n
1
)<
/p>
3
2
]
5
(
n
1
)
(
n
2
)
2
<
/p>
1
3
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
3
<
/p>
2
n
1
n
(
n
1
)
5
2
n
!
评注：
本题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2
(
n
<
/p>
1
)
5
n
a
n
转化为
a
n
1
2
(
n
1
)
5
n
，
进而
a
n
求出
a
a
a
n
a
n
<
/p>
1
3
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
例
6
（<
/p>
2004
年全国
15
题）已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
1
2
a
2
<
/p>
3
a
3
(
n
1
)
1
，
n
1
(
n
1<
/p>
)
a
n
1
(
n
2
)
，则
{
a
n
}
的通项
a
n
< br>n
!
，
n
2
2
解：因为
a
n
a
1
2<
/p>
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
2
)
所以
a
n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>
(
n
1
)
a
n
1
na<
/p>
n
所以②式－①式得
< br>a
n
1
a
n
n
a
n
则
a<
/p>
n
1
(
n
1
)
a
n
(
n
2
)
①
②
则
a
n
1
n
1
(
n
2
)
< br>
a
n
a
a
n
a
n
1
3
a
2
a
n
1
a
n
< br>
2
a
2
所以
a
n
[
n
(
n<
/p>
1
)
4
3
]
a
2
n
!
a
2
2
③
由
a
n
a
1
2
a
2
3
a
< br>3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
2
)
，取
n=2
得
a
2
a
1
2
a
2
，则
a
2
< br>
a
1
，又
知
a
1
1
，则
a
2
1
，代入③得
a
n
1
3
4
5
n
n
!
。
2
评注：
本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
(
n
1
)
a
n
(
n
<
/p>
2
)
转化为
a<
/p>
n
1
（
n
≥
2
）
，
n
1
a
n
进而求出
a
a
n
a
< br>n
1
从而可得当
n
≥
2
时
< br>a
n
的表达式，
最后再求出数列
{
a
n
}
的
3
a
2
，
a
n
< br>
1
a
n
2
a
2
通
项公式。
四、利用待定系数法求通项公式
例
7
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
5
n
，
< br>a
1
6
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
5
< br>n
1
2
(
a
n
x
5
n
)
④
将
a
n
1
2
a
n
3
5
n
< br>代入④式，得
2
a
n
3
5
n
x
5
n
1
2
a
n
<
/p>
2
x
5
n
，等式两边消去
2
a
n
，得
3
5
n
x
5
n
1
2
x
5
n
，两边除以
5
n
，得
3
x
5
2
x
，则
< br>x=
－
1
，代入④式，
得
a
n
1
5
< br>n
1
2
(
a
n
5
n
)
⑤
由
a
1
5
6
5
1
≠
0
< br>及⑤式，
得
a
n
5
0
，
则
1
n
a
n
1
<
/p>
5
n
1
a
n
5
n
2
，
则数列
{
a
n
5
n
}
是
以
a
1
5
1
1<
/p>
为首项，以
2
为公比的等比数列，则
a
n
5
n
1
2
n
1
< br>，故
a
n
2
n
1
5
n
。
<
/p>
评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
式
a
n
1
2
a
n<
/p>
3
5
n
转
化
为
a
n
1
5
n
1
2
(
a
n
5
n<
/p>
)
，从而可知数列
{
a
n
5
n
}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
5
n
}
的
通项公式，最后
再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
8
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
3
a
n
5
2
n
4
，
a
1
1
，求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
2
n
1
y
3
(
a
n
x<
/p>
2
n
y
)
将
a
n
1
3
a
n
5
2
n
4
代入⑥式，得
< br>
⑥
3
a
n
5
2
n
4
x
2
n
1
y
3
< br>(
a
n
x
2
n
y
)
整理得
(
5
2
x
)
2
n
4
y
3
x
< br>
2
n
3
y
。
5
2
x
3
x
x
5
令
，则
，代入⑥式，得<
/p>
4
y
3
y
y
2
a
n
1
5
2
n
1
2<
/p>
3
(
a
n
5
2
n
2
)
由
a
1
5
2
1
2<
/p>
1
12
13
0
及⑦式，
⑦
得
a
n
5
2
2
0
，则
n
a
n
1
5
2
n
1
<
/p>
2
a
n
5
2
2
n
3
，
故数列
{
a
n
5
2
n
2
}
是以
a
1
5
2
1
2
1
12
13
为首项，以
3
为公比
的等比数列，
因此
a
n
5
2
n
2
13
3
n
1
，则
a
n<
/p>
13
3
n
1
5
2
n
2
。
< br>评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
式
a
n
1
3
a
n
< br>
5
2
n
4
转
化
为
a
n
1
5
2
n
1
2
3
< br>(
a
n
5
2
n
2
)
，
从而可
知数列
{
a
n
5
2
n<
/p>
2
}
是等比数
列，
进而求出
数列
{
< br>a
n
5
2
n
2
}
的通项公式，最后再求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
9
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
n
2
4
n
< br>5
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
< br>(
n
1
)
2
y
(
n
1
)
z
2
(
a
n
xn
2
yn
z
)
< br>
⑧
将
a
n
1
2
a
n
3
n
2
4
n
5
代入⑧式，得
2
a
n
3
n
2
4
n
5
x
(
n
1
)<
/p>
2
y
(
n
1
)
z
2
(
a
n
xn
2
yn
z
)
，则