题型最全的递推数列求通项公式的习题
2015北京高考作文-
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，
就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题
中，
数列通项公式的求解问题往往是解决
数列难题的瓶颈。我现
在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型
1
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相加法
)
求解。
例
1.
已知数列
a
n
满足
a
1
1
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
K
变式
:
已知数列
{
a
n
}
中
a
1
1
，且
a
2
k
=
a
2k
－
1
+(
－
1)
,
a
2
k+1
=
a
2k
+3
,
其中
k=1,2,3,
……
.
k
（
I
）求
a
3
,
a
5
；
（
II
）求
{
a
n
}
的通项公式
.
类型
2
a
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
例
1:
已知数列
a<
/p>
n
满足
a
1
例
2:
已知
a
1
3
，
a
n
1
a
n
< br>
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
2
n
，
a
< br>n
1
a
n
，求
a
n
。
3
n<
/p>
1
3
n
1
a
n
(
n
1
)
，求
< br>a
n
。
3
n
2
n
1
1
n
2
___
变式<
/p>
:
（
2004
，
全国
I,
理
15
．
）已知数列
{
a
< br>n
}
，满足
a
< br>1
=1
，
a
n
a
1
2
a
2
<
/p>
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥
2)
，则
{
a
n
}
的通项
a
n
类型
3
a
n
1
pa
n<
/p>
q
（其中
p<
/p>
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)
0
)
）
。
解法（待定系数法）
：把原递推公式转化为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
< br>，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a<
/p>
n
.
变式
:
（
2006
，重
庆
,
文
,14
）
在数列
a
n
中，若
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，则该数列的通项
a
n
_______________
变式
:
（
2006.
< br>
福建
.
理
22.
本小题满分
14
分）
*
已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
< br>
1(
n
N
).
q
，再利用
换元法
转化为等比数列求解。
1
p
（
I
）求数列
a
n
的通项公式；
< br>
（
II
）若数列
{
b
n
}
< br>滿足
4
1
4
（Ⅲ）证明：
b
1
b
2
1
< br>L
4
b
n
1
(
a
n
1)
b<
/p>
n
(
n
N
*
),
证明：数列
{
b
n
}
是等差数列；
a
n
1
a
1
a<
/p>
2
n
...
n
(
n
N
*
).
2
3
a
< br>2
a
3
a
n
1
2
n
n
类型
4
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
。
（或
a
n
1
pa
n
rq
,
其中
p
，
q, r
均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式
两边
同除
以
q
n
1
，得：
a
n
1
p<
/p>
a
n
1
a
n
p
1
b
•
b
b
b
引入辅助数列
（其中
）
，得：
再待
定
n
n
n
1
n
n
1
n
n
q
q
q
q
q
q
q
系数法
解决。
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
5
1
1
n<
/p>
1
,
a
n
1
a
n
(
)
，求
a
n
< br>。
6
3
2
变式
:
（
2006
，全国
I,
理
22,
本小题满分
12
分）<
/p>
设数列
a<
/p>
n
的前
n
项的和
S
n
4
1
2
g
g
a
n
2
n
< br>
1
，
n
1,2,3,
g
3
3
3
n
3
2
n
（Ⅰ）求首项
a
1
与通项
a
n
；
（Ⅱ）设
T
n
，
n
1,2,3,
g
g
g
，证明：
T
i
2
S
n
i
1
类型
5
< br>递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
< br>n
（其中
p
，
< br>q
均为常数）
。
解法一
(
待定系数法
)
：先把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
其中
s<
/p>
，
t
满足
s
t
p
st
q
2
解法二
(
特征根法
)
：对于由递推公式
a
n
2
pa
n
1
qa
n
，
a
1
,
a
2
给出的数列
a
n
，方程
x
px
q
0
，叫做数列
a
n
的特征方程。
n<
/p>
1
n
1
若
x
1
,
x
2
是特征方程的两个
根，当
x
1
x
2
时，数列
a
n
的通项为
a
n
Ax
1
Bx
2
，其中
A
，
B
由
a
1
<
/p>
,
a
2
决定（即把
a
1<
/p>
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
n
1
n
1
代入
a
n
Ax
1
Bx
2
，
得到关于
A
、
B
的方程组）
；
当
x
1
x
2
时，
数列
a
n
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
x<
/p>
1
，
其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
< br>n
1
,
2
，
n
1
决定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
1
，得到关于
A
、
B
的方程组）
。
解法一（待定系数——迭加法）
:
<
/p>
数列
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
< br>1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
N
)
，
a
1
a
,
a
2
< br>
b
，求数列
a
n
的通项公式。
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
< br>
2
,
a
n
2
变
式
:
*
1.
已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
2<
/p>
3,
a
n
2
3
a
n
1
2
a
n
< br>(
n
N
).
2
1
a
n
1
<
/p>
a
n
，求
a
n
。
3
3
（
I
）证明：数列<
/p>
a
n
1
a
n
是等比数列；
（
II<
/p>
）求数列
a
n
的通项公式；
（
III
）若数列
b
n
满足
4
1
4
2.
< br>已知数列
3.
已知数列
b
1
b
2
1
...4
b
n
1
(
a
n
< br>1)
b
n
(
n
N
*
),
证明
b
n
是等差数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n
2
2
a
n
1
1
a<
/p>
n
，求
a
n
3
3
a
n
中，
S
n
是其前
n
项和，并且
S
n
1
4
a
n
2(
n
1,
2,
L
),
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
(<
/p>
n
1
,
2
,
)
，求证：数列
b
n
是等比数列；
⑴设数列
b
n
⑵设数列
c
n
a
n
,
(
n
1
,
2
,
)
，求证：数列
c
n<
/p>
是等差数列；⑶求数列
a
n
的通项公式及前
n
项和。
n
2
类型
6
递推公式为
S
n
与<
/p>
a
n
的关系式。
(
或
S
n
<
/p>
f
(
a
n
)
)
S
1
<
/p>
(
n
1
)
解法：这种类型一般利用
a
n
与
a
n
S
n
S
n<
/p>
1
f
(
a
n
)
f
(
a
n
1
)
消去
S
n
(
n
2
)
或与
S
n
<
/p>
f
(
S
n
S
n
1
)
(
n
2
)
消
S
S
<
/p>
(
n
2
)
n
1
n
去
a
n
进行求解。
例：
已知数列
a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n
< br>
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n<
/p>
1
与
a
n
的关系；
（
2
）求通项公式
a
n
.
n
n
<
/p>
1
n
n
1
（
2
）应用类型<
/p>
4
（
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
）的方法，上式两边
同乘以
2
得：
2
a
n
1
2
a
n
2
由
a
1
S
1
4
a
< br>1
1
n
n
n
2
a
2
a
2
2
(
n
1
)
2
n
< br>a
1
a
.
于是数列
是以
2
为首项，
2
为公差的等差数列，所以
n
n
1
n
1
<
/p>
2
n
1
2
2
变式
:
（
2006
，陕西
,<
/p>
理
,20
本小题满分
12
分
)
已知正项数列
{a
< br>n
}
，其前
n
< br>项和
S
n
满足
< br>10S
n
=a
n
+5a
n
+6
且
a
1
,a
3
,a
15
成等比数列，求数列
{a
n
}
的通项
a
n
2