非常重要的二次递推数列求法
玛丽莲梦兔
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2021年02月06日 16:45
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非常重要的二次递推数列求法
形如
a
n+1
=Aa
n
2
+Ba
n
+C
(A≠0, a
n
≠a
n
+1)
的递推数列，难度很大。
< br>让人大跌眼镜的是某几个省高考居然考了，
所以发上来解法，
只针对
基础很好的同学。其通解要讨论
N
< br>多种情况，有点混沌的味道。
恕我水平有限，现阶段只想出这些特殊情况。
a
n+1
=Aa
n
2
+Ba
n
+C (A≠
0,a
n
≠a
n
+1)
基本思路通过
线性变换（线
性变换是最基本的形式简化方式）
x
n
=a
n
+B/(2A)
，即化为完全平
方将形式简化为
x
n+1
=Ax
n
2
+[(4AC
-B
2
+2B)/(4A)]
即
简化形式
x
n+1
=Px
n
2
+
Q (P≠0)
下面只讨论这个形式，暂时只研究
P>0
的情况。
1§<
/p>
Q>0
，这个非常难，不幸这个递推数列方程没有解析解（即无法
通
过初等函数来表达，要用无穷级数来表达，用级数表达难度很大，而
< br>其本身失去了简化运算的意义。
）
2§
Q=0
，这个形式最简单。
两边取对数
∴
lnx
n+1
=lnP+2lnx
n
(x
n
>0)
lnx
n+1
+ lnP
=ln(Px
n+1
)=
2ln(Px
n
)
< br>注意：若
x
1
<0
，要从
x
2
开始，
x
2
肯定大于
0
。
{ ln(Px
n
)}
就是等比数列
∴
ln(Px
n
)=2
n-2
ln(Px
2
)
x
n
=(
Px
2
)^2
n-2
< br>/P (n>1)
x
n
=x
1
(n=1)