高中数学数列专题递推数列典型题型
特劳特品牌定位-
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题
在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项
公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有
帮助。
类型
1
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相加法
)
求解。
例
:
已知数列
a
1
n
满足
a
1
2
，
a
1
n
1
a
n
n
2
n
，求
a
n
。
解：由条件知：
< br>a
1
n
1
a
n
n
2
n
1
n
(
n
1
)
1
1
n
< br>
n
1
分
别
令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，
代
入
上
式
得
(
n
1
)<
/p>
个
等
式
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
4
a
3<
/p>
)
(
a
n
a
n
1
)
(
1
1
2<
/p>
)
(
1
2
1
3
)
(
1
1
1
1
3
4
)
<
/p>
(
n
1
n
)
所以
a
1
n
< br>a
1
1
n
a
1
1
1
3
1
1
2
，
a
n
2
1
< br>n
2
n
变式
:
（
2004
，全国
I
< br>，个理
22
．本小题满分
14<
/p>
分）
已知数列
{
a
=
a
K<
/p>
k
n
}
中
a
1
1
，且
a
2k
2k
－
1
+(
－
1)
,
a
2k+1
=
a
2k
+3
,
其中
k=
1,2,3,
……
.
（
I
）求
a
< br>3
,
a
5
；
（
II
）求
{
a
n
}
的通项公
式
.
解：
a
k
2
k
a
2
k
1
(
1
)
，
< br>a
2
k
1
a
k
2
k
3
a
2
k
1
a
2
k
3
< br>k
a
k
2
k
1
(
1
)
3
k
，即
a
2
k
1
a
2
k
1
3
k
(
1
)
k
<
/p>
a
3
a
1
3
(
1
)
，
a
5
a
3
3
2
(<
/p>
1
)
2
……
……
a
2<
/p>
k
1
a
k
2
k
1
3
(
1
)
k
将以上
k
个式子相加，得
a
3
2
3
k
)
[(
1
)
(
1
)
2
(
1
)
k
]
< br>
3
2
(
3
k
1
)
1
2
k
1
a
1
(
3
2
[(
1
)
k
1
]
将
a
1
1
代入，得
a
1
1
1
2
k
1
2
3
k
2
(
1
)
< br>k
1
，
a
1
1
2
k
a
2
k
1
(
1
)
k
2
< br>3
k
2
(
1
)
k
1
。
1
n
1
n
1
3
2
< br>
1
(
1
)
2
1
(
n
为奇数
经检验
a
a
2
2
)
1
1
也适合，
<
/p>
n
1
n
n
2
3
2
1
2
(
1
)
2
1<
/p>
(
n
为偶数
)<
/p>
类型
2
a<
/p>
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
a
f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
<
/p>
n
累
加
之
，
即
例
:
已知数列
a
n
满足
a
1
解：由条件知
2
n
，
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
n
1
a
n
1
n
，分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，代入上式得
(
n
1
)
个等式累乘之，即
a
n
n
1
a<
/p>
a
a
2
a
3
a
4
1
1
2
3
n
1
•
•
•
•
n<
/p>
n
a
1
a
2
a
3
a
n
1<
/p>
2
3
4
a
1
n
n
2
2
又
a
1
，
a
n
3
3
n
3
n<
/p>
1
例
:
已知
a
1
3
，
a
n
1
a
< br>n
(
n
1
)
，求
a
n
。
3<
/p>
n
2
3
(
n
1
)
1
3
(
n
2
)
1
3
2
1
3<
/p>
1
•
•
•
•
a
1
解：
a
n
< br>3
(
n
1
)
2
3
(
n
2
)
2
3
2
2
3
2
3
< br>n
4
3
n
7
5
2
6
3
8
5
3
n
1
。
3
n
< br>
1
3
n
4
变式
:
（
2004
，全国
I,
理
15
．
）已知数列
{
a
n
}
，满足
a
1
=1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
<
/p>
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥
2)
，则
{
a
n
}
< br>的
通项
a
n
n
1
1
n
2
__
_
解：
由已知，得
< br>a
n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
< br>a
n
1
na
n
，用此式减去已知式，得<
/p>
当
n
2
时，
a
n
1
a
n
na
n
，即
a
n
< br>1
(
n
1
)
a
n
，又
a
2
<
/p>
a
1
1
，
a
1
1
,
a
a
a
2
a
n
!
1
,
3
3<
/p>
,
4
4
,
,
n
n
，将以上
n
个式子相乘，得
a
n
(
n
2
)
a
1
a
2
a
3
a
n
< br>
1
2
类型
3
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)
0
)
）
。
解法（待定系数法）
：把原递推公式转化为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
解。
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
解
：
设
递
推
公
式
a
n
1
2
a
n
< br>
3
可
以
转
化
为
a
n
1
t
2
(
a
n
t
)
即
a
n
< br>1
2
a
n
t
t
3
.
故
递
推
公
式
为
q
，再利用
换元法
转化为等比数列求
1
< br>
p
a
n
1
3
2
(
a
n
3
)
,
令
b
n
a
n
3
< br>，则
b
1
a
1
3
4
,
且
公比
的等比数列，则
b
n
4
2
变式
< br>:
（
2006
，重庆
,
文
,14
）
在数列
n
1
b
n
1
a
n
1
3
2
.
所以
b
n
是以<
/p>
b
1
4
为首项，
2
为
b
n
a
n
3
2
n
1
,
所以
a
n
2
n
1
3
.
a<
/p>
n
中，若
a<
/p>
1
1,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，则该数列的通项
a
n
<
/p>
_______________
n<
/p>
1
（
key:
a
n
2
3
）
变式
:
（
2006.<
/p>
福建
.
理
22.
本小题满分
14
分）
a
n
满足
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
).
（
I
）求数列
a
n
的通项公式；
已知数
列
4
b
n
<
/p>
1
(
a
n
1)
b
n
(
n
N
*
),
证明：数列
{
b
n
}
是等差数列；
a
n
1
a
a
n
*
（Ⅲ）证明：
<
/p>
1
2
...
n
(
n
N
).
2
3
a
2
a
3
< br>a
n
1
2
（
II
）若数列
< br>{
b
n
}
滿足
4
1
4
b
1
b
2<
/p>
1
（
I
）解：
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
< br>),
a
n
1
1
2(
a
n
1),
a
n
1
是以
a
1
1
2
为首项，
2
为公比的等比数列
a
n
n
1
2
.
即
a
n
2
n
1(
n
N
*
).
（
II
）证法一：
4
k
1
1
4
k
2
1
...4
k
n
1
(
< br>a
k
n
n
1)
.
4
(
k
1
k
2
...
k
n
)
n
2
nk
n
.
2[(
b
1
b
2
...
b
n
)
n
]
nb
n
,
①
2[(
b
1
b
2
...
b
n
b
n
1
)
(
n
< br>
1)]
(
< br>n
1)
b
n
1
.
②
②－①
，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1)<
/p>
b
n
1
nb
n
,
即
(
n
1)
b
n
1
nb
n
2
0,
nb
n
2<
/p>
(
n
1)
b
n
1
2
0.
③－④，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb
n
<
/p>
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
b
n
< br>0,
b
n
2
b
n
1<
/p>
b
n
1
b
n
(
n
N
*
),
< br>
b
n
是等差数列
证法二：同证法一，得
(
n
1)
b
n
1
nb
n
2
0
令
< br>n
1,
得
b
1
2.
设
b
2
2
d
(
d
R
),
下面用数学归纳法证明
< br>b
n
2
(
n
1
)
d
.
<
/p>
（
1
）当
n
1,
2
时，等式
成立
（
2
）假设当
n
k
(
k
2)
时，
b
k
2
(
k
1)
d
,
那么
b
k
1
k
k
< br>1
b
2
k
2
k
k
1
k
1
[2
(
k
1)
d
]
k
1
2
< br>[(
k
1)
< br>
1]
d
.
这就是说，当
n
k
1
< br>时，等式也成立
根据（
1
）和（
2<
/p>
）
，可知
b
n<
/p>
2
(
n
1)
d
对任何
n
N
*
都成立
b
n
1
b
n
d
,
b
n
< br>是等差数列
（
III
）证明：
a
k
a
2
k
1
2
k
1
< br>
1
k
1
,
k
1
,
2,...,
n
,
< br>
k
1
2
1
2(2
k
1
2
)
2
a
1
a
a
2
...
a
n
n
.
2
a
< br>3
a
n
1
2
a
k
a
2
k
1
1
1
1
1
1
1
1
k
1
< br>1
2
2(2
k
1
1)
2
3.2
k
2
k
2
<
/p>
2
3
.
2
k
,
k
1,2,...,
n
,
k
1
2
a
1
a
a
n
1
1
1
< br>1
n
1
1
n
1
a
2
...
n
(
2
...
n
)
(1
n
)
,
2
a
3
a
n
1
2
3
2
2
2
2<
/p>
3
2
2
3
n
1
a
1
a
2
a
n
2
3
a
...
n
(
n
N<
/p>
*
).
2
a
3
a
n
1
2
变式
:
递推式：
a
n
1
pa
n
f
n
。
解法：只需
构造数列
b
n
，
消去
f
n
带来的
差异
．
类型
4
a
n
n
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(<
/p>
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
。
（或
a
n
1
pa
n
rq
,
其中
p
，
q,
r
均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式
两边
同除
以
q
得：
b
n
1
n
1
，得：
a
n
1
p
a
n
1
a
n
b
•
< br>
b
引入辅助数列
（其中
）
，
n
n
q
n
1
q
q
n
q
q
n
p
1
b
n
再待
定系数法
解决。
q
q
5
1
1
n
1
,<
/p>
a
n
1
a
n
(
)
，求
a
n
。
6
< br>3
2
1
1
n
1
2
n
n
1
n
1
解：在
a
n
1
a
n
(
)
两边乘以
2
得：
2
•
a
n
1
(
< br>2
•
a
n
)
1
3
2
3
2
2
n
n
令
b
n
2
•
a
n
，则
b
n
1
b
n
1
,
解之得：
b
n
3
2
(
)
3
3
b
1
n
1
n
所以
a
n
n
3
(
)
2
(
)
2
3
2
n
例
:<
/p>
已知数列
a
n
中，
a
1<
/p>
变式
:
（
2006
，全国
I,
理
22,
本小题满分
12
分）
设数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
4
1
2
a
n
2
n
1
，
n
1,
2,3,
3
3
3
n
2
n
（
Ⅰ）求首项
a
1
与通项
a
n
；
（Ⅱ）设
T
n
，
< br>n
1,2,3,
S
n
解：
（
I
）当
n
1
时，
a
1
，证明：
T
i
i
1
3
2
S
1
4
4
2<
/p>
a
1
a
1
2
；
3
3
3
当
4
1
2
4
1
2
n
2
时<
/p>
，
a
n
S
n
S
n
1
a
n
2
n
1
(
a
n<
/p>
1
2
n
)
，
即
a
n
4
a
n
1
2
n
，
利
用
3<
/p>
3
3
3
3
3
n
a
n
1
pa
n
q
n
< br>（其中
p
，
q
< br>均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
< br>
0
)
）
。
（或
a
< br>n
1
pa
n
rq
,
其中
p
，
q, r
均为
n
n
< br>常数）的方法，解之得：
a
n
4
2
4
1
2
1
n
n
n
n
n+1
n+1
n+1
(
Ⅱ
)
将
a
n
4
2
代入①得
S
n
=
×
(
4
－
2
)
－<
/p>
×
2
+
=
×
(2
－
1)
(2
－
2)
3
3
3
3
2<
/p>
n+1
n
=
×
(2
－
1)(2
－
1)
3
2
3
2
3
1
1
T
n
=
=
×
=
×
(
n
－
n+1
)
n
+1
n
S
n
2
(2
－
1)(2
－
1)
2
2
－
1
2
－
1
所以
,
n
n
i
1
n
3
T
i
=
2
(
i
1
n
1
1
3
1
1
3
－
i+1
) =
×
(
1
－
i+1
)
<
2
－
1
2
－
1
2
2
－
1
2
－
1
2
i
类型
5
递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
解法一
(
待定系数法
)
：先
把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
< br>(
a
n
1
sa
n
)
其中
s
，
t
满足
<
/p>
s
t
p
st
q
解法二
(
特征根法
)
：
对于由递推公式
a
n
2
pa
n
1
qa<
/p>
n
，
a
1
,
a
2
其中
A
，
B
由
a
< br>1
,
a
2
给
出的数列
a
n
，
方程
x
2
px
q
0
，
n
1
n
1
Bx
2
，
叫做数列
a
n
的特征方程。若
x
1
,
x
2
是特征方程的两个根，当
x
1
x
2
时，数列
a
n
的通项为
a
n
Ax
1
组）
；
当
x
1
< br>x
2
时，
数列
< br>
a
n
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
x
1
n
1
n
1
决定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
Ax
1
n
1
Bx
2
，得到关于
A
、
B
的方程
，其中
A
，
B
由
a
1
< br>
,
a
2
决定（即把
a
< br>1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
。
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
1
n
1
，得到关于
A
、
B
的方程组）
解法一（待定系数——迭加法）
:
数列
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n<
/p>
0
(
n
0
,
n
N
)
，
a
1
a
,
a
2
b
，求数列
a
n
的通项公式。
由
3
a
n
2
5
a
n
1<
/p>
2
a
n
0
，得
a
2
n
2
a
n
< br>
1
3
(
a
n
1
a
n
)
，
且
a
2
a
1
b
a
< br>。
则数列
< br>a
n
1
a
n
是
以
b
a
为首
项，
2
3
为公比的等比数列，于是
a
(
b
a
)(
2
n
1
a
n
3
)
n
1
。把
n
1
,
2
,
3
,
,
n
代入，得
a
2
a
1
b
a
，
a
a
a
)
(
2
3
2<
/p>
(
b
3
)
，
a
a
)
(
2
4
a
3
(
b
3
)
2
，<
/p>
•
•
•
a
2
n
a
n
1
(
b
< br>a
)(
3
)
n
2
。
把以上各式相加，得
2
a
2
1
< br>(
n
a
1
(
b
a
)[
1
<
/p>
3
(
3
)
(
3
)
n
1
2
2
3
)
n
2
]
<
/p>
(
b
a
)
。
1
2
3
a
2
2
n
[
3
3
(
3
)
n<
/p>
1
](
b
a
)
a
3
(
a
b
)(
3
)
n
1
3
b
2
a
。
<
/p>
解
法
二
（
特
征
根
法
）
：
数列
a
n
：
< br>3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
N
< br>)
，
3
x
2
5
x
2
0
。
x
x
2
1
1
,
2
3
< br>,
a
Ax
n
1
Bx
n
1
2
n
1
2
A
B
(
3
)
n
1
< br>。
又由
a
1
a
,
a
2
b
，于
是
a<
/p>
A
B
2
A
3
b
2
a
b
A
3
B
<
/p>
B
3
(
a
b
)
故
a
3
b
2
a
3
(
a
b
)(
2
n
1
n
3
)
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
2
< br>,
a
n
2
2
3
a
1
n
1
3
a
n
，求
a
n
。
解：由
a
n
2
2
3
a
1
n
1
3
a
n
可转化为
a
n
2
s
a
n
1
<
/p>
t
(
a
n
1
sa
n
)
s
2
1
即
< br>a
n
2
(
s
t
)
a
t
3
s
1
s
< br>
n
1
sta
n
1
或
3
st
1
3
t
3
t
1
a
1
a
,
a<
/p>
2
b
的
特
征
方
程
是：
1
s
1
< br>s
1
这里不妨选用
，
则
a
n
2
a
n
1
<
/p>
(
a
n
1
a
n
)
a
n
1
a
n
3
，
大家可以试一试）
1
（当然也可选用
3
t
t
1
3
1
1
n
< br>
1
是
以
首
项
为
a
2
a
1
1
，
公
比
为
的
等
比
数
列
,
< br>所
以
a
n
1
a
n
(
)
,
应
用
类
型
1
的
方
法
，
分
别
< br>令
3
3
个
等
式
累
加
之
，
即
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，
代
入
上
式
得
(
n<
/p>
1
)
1
(
1
)
n
1
a
a
1
0
(
1
)
1
<
/p>
(
1
n
1
(
)
3
)
n
2
3
3
3
1<
/p>
1
3
又
a
7
3
1
n
1
1
1
，所以
a
n
4
4
(
3
)
。
<
/p>
变式
:
（
200
6
，福建
,
文
,22,
本小题满分
14
分）
已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
2
3,
a
n
2
< br>3
a
n
1
2
a
n
(
n
N
*
).
（
I
）证明：数列
a
n
1
a
n
是等比数列
；
（
II
）
求数列
a
n
的通项公式；
（
< br>III
）若数列
b
b
1
1
b
1
b
1
n
n
满足
4
4
2
...4
n
(
a
b
n
<
/p>
1)
(
n
N
*
),
证明
b
n
是等差数列
（<
/p>
I
）证明：
a
n
2
3
a
n
1
2
a
n
,
a
< br>n
2
a
n
1
2(
a
n
<
/p>
1
a
n
),
a
1
1,
a
2
3,
a
n
2
< br>a
n
1
a
a
2(
n
N
*
).
n
1
n
a
n
1
a
n
是以
a
2
a
1
2
为首项，
< br>2
为公比的等比数列
（
II
）解：由（
I
）得
a
n
n
1
a
n
2
(
n
N
*
),
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(<
/p>
a
n
1
a
n
2
)
...
(
a
2
a
1
)
a
1
n
1
2<
/p>
2
2
n
...
2
1
2
n
1(
n
< br>N
*
).
（
III
）证明：
4
b
1
1
< br>4
b
2
1
...4
b
n
1
(
a
n
1)
b
n
,
4
(
b
1
b
2
...
b
n
)
2
nb
n
,
2[(
b
1
b
2
...
b
n
)
n
]
nb
n
,
①
2[(
b
1
b
2
...
b
n
b
n
1
)
(
n
< br>
1)]
(
< br>n
1)
b
n
1
.
②
②－①
，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1)<
/p>
b
n
1
nb
n
,
即
(
n
1)
b
n
1
nb
< br>n
2
0.
③
nb
n
2
(
n
1)
b
n
1
2
< br>0.
④
④－③
，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb<
/p>
n
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
< br>b
n
0,
b
n
2
b
n<
/p>
1
b
n
1
b
n
(
n
N
*
),
< br>
b
n
是等差数列
类型
6
<
/p>
递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(
或
S
n
f
(
a
n<
/p>
)
)
解法：<
/p>
这种类型一般利用
a
< br>
S
1
(
n
1
)
< br>n
与
S
a
n
S
n
S
n
1
f
(
a
n
)
f
(
a
n
< br>
1
n
S
n
1
(
n
2
)
)
消去
S
n
(
n
2
)
或与
S
n
f
(
S
n
S
n
1
)
(
n
2
)
消去
a
n
进行求解。
1
例：
已知数列
<
/p>
a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n
n
< br>2
.
2
（
1
）求
a
n
1
与
a<
/p>
n
的关系；
（
2
）求通项公式
a
n
.
1
1
解：
（
1
）由
S
n
4
<
/p>
a
n
n
2
得：
S
n
1
4
a
n
< br>
1
n
1
2
2
1
1
于是
S<
/p>
n
1
S
n
(
a
n
a
n
1
)
(
n
2
n
1<
/p>
)
2
2
1
1
1
所以
a
n
1
a
n
< br>a
n
1
n
1
a
n
1
a
n
n
.
2
2
2
n
n
< br>
1
（
2
）应用类型
4
（
a
< br>n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
< br>p
1
)(
q
1
)
0
)
）
）的
方法，上式两边同乘以
2
得：
2
由
n
1
a
n
1
2
n
a
n
2
1
n
2
a<
/p>
n
是
以
2
为
首
项
，
2
为
公
差
的
等
差
数
列
，
所
以
.
于
是
数<
/p>
列
a
1
1
1
2
2
n
2
n
a
n
2
2
(
n
1
)
<
/p>
2
n
a
n
n
1
2
a
1
S
1
4
a
1
变式
:
（
2006
，陕西
,
理
,20
本小题满分
12
分
)
已知正项数列
{a
n
}
，其前
n
项和
S<
/p>
n
满足
10S
n
=a
n
+5a
n
+6
且
a
1
,a
3
,a
1
5
成等比数列，求数列
{a
n
}
的通项
a
n
2
解: ∵10
S
n
=
a
n
+5
a
n
+6
，
① ∴10
a
1
=
a
1
+5
a
1
+6
，解之得
a
1
=2
或
a
1
=3
< br>
2
2
< br>又
10
S
n
－
1
=
a
n
－
1
+5
a
n
－
1
+6(
n
≥2)，②
由①－②得
10
< br>a
n
=(
a
n
－
a
n
－
1
)+6(
a
n
－
a
n
－
1
)
，即
(<
/p>
a
n
+
a
n
－
1
)(
a
n
－
a
n
－
1
－
< br>5)=0
∵
a
n
+
a
n
－
1
>0
，
∴
a
n
－
a
n
－
1
=5
(
n
≥2)
2
2
2
当
a
1
=3
时，
a
3
=13
，
a
15
=73<
/p>
a
1
，
a
3
，
a
15
不成等比数列∴
a
1
≠3;
当
a
1
=2
时，
a
3
=12
，
a
15
=7
2
，
有
<
/p>
a
3
=
a
1
a
15
，
∴
a
1
=2
，
∴
a
n
=5
n
－
3
2
变式
:
(
2005,
江西
,
文
< br>,22
．本小题满分
14
分）<
/p>
已知数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和
S
n
满足<
/p>
S
n
－
S
n
－
2
=3
(
解：
S
n
S
n
2
a
n
a
n
1
，
<
/p>
1
n
1
3
)
(
n
3
),
且
S
1
1
< br>,
S
2
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
< br>.
2
2
1
a
n
a
n
1
3
•
(
)
n
1
(
n
< br>3
)
，两边同乘以
(
1
)
n
，可得
2
1
1
(
1
)
n
a
n
a
n
1<
/p>
(
1
)
n
1
3
•
(
1
)
n
(
)
n
1
3
•<
/p>
(
)
n
1
2
2
n
令
b
n
(
1
)
a
n
1
b
n
<
/p>
b
n
1
3
•
(
)
n
1
(
n
3
)
2
1
b
n
1<
/p>
b
n
2
3
•
(
)
n
2
2
……
……
1
b<
/p>
3
b
2
3
•
(
)
2
2
1
1
1
n
2
•
(
)
1
n<
/p>
1
1
n
2
1
2
b
n
b
2
3
•
[(
)
(
)
(
)
]
b
2
3
4
4
2
1
< br>2
2
2
1
2
3
1
b
2
3
•
(
)
n
1
(
n
3
)
< br>
2
2
3
5
S
2
S
1
1
，
2
2
5
b
1
< br>
(
1
)
1
a
1
1
，
b
2
(
1
)
2
a
2
< br>2
5
3
1
1
b
n
3
•
(
)
n
1
4
3
•
< br>(
)
n
1
(
n
1
)
。
2
2
2
2
1
n
1
4
3
•
< br>(
)
,
n
为奇数
,
1
n
1
2
n
n
n
a
n
(
1
)
b
n
4
< br>(
1
)
3
•
(
1
)
•
(
)
2
4
3
•
(
< br>1
)
n
1
,
n
为偶数
.
2
又
a
1
S
1
1
，
a
2
类型
7
a
n
1
pa
n
an
b
< br>(
p
1
、
0
，a
0
)
解法：这种类型一般利用
待定系数法
构造等比数列，即令
a
n
1
x
(
n
1
)
y
p
(
a
n<
/p>
xn
y
)
，与已知递推式比较，
解出
x
,
y
,
< br>从而转化为
a
n
xn
y
是公比为
p
的等比数列。<
/p>
例
:
设数列<
/p>
a
n
：
a
1
4
,
a
n
3
a
n
1
2
n
1
,
(<
/p>
n
2
)
，求
a
n
.
解：设
b
n
a
n
An
B
，
则
a
n
b
n
An
B
，将
a
n
,
a
n
<
/p>
1
代入递推式，得
b
n
An
B
3
b
n
1
A
(
n
1
)
B
2
< br>n
1
3
b
n
1
(
3
A
2
)
n
(
3
B
3
A
< br>1
)
A
1
A
3
A
2
B
3
< br>B
3
A
1
B
1
取
b
n
a
n
n
1
…
（
１
）
< br>则
b
n
3
b
n
1
,
又
b
1
6
，
故
b
n
6
3
n
< br>1
2
3
n
代
入
（
１
）
得
a
n
2
3
n
n
1
说
< br>明
：
（
1
）
若
f
(
n
)
为
n
的
二
次
式
，
则
可
设
b
n
a
n
< br>
An
Bn
< br>
C
;(2)
本
题
也
可
由
2
a
n
3
a
n
1<
/p>
2
n
1
,
a
n
1
3
a
n
2
< br>
2
(
n
1
)
1
（
n
3
）
两
式
相
减
得
a
n
a
n
< br>1
3
(
a
n
1
a
n
2
)
2
转化为
b
n
2
pb
n
1
qb
n
求之
.
变式
:
（
2006
，山东
,
文
,22,
本小题
满分
14
分）
1
在直线
y=x
上，其中
n=1,2,3
…
、点（
n
、
2
a
n
1
a
n
）
2
是等比数列；
(<
/p>
Ⅰ
)
令
b
n
a
n
1
a
n
3
,
求证数列
b
n
< br>
已知数列｛
a
n
｝中，
a
1
的通项；
(
Ⅱ
)
求数列
a
n
b
n
的前
n
< br>项和
,
是否存在实数
，使得数列
、
(
Ⅲ
)
设
S
n
、
T
n
分别为数列
a
n
求出
若不存在
,
则说明理由
S
n
T
n
为等差数列若存在，试
n
1
,
2
a
n<
/p>
1
a
n
n
,
2
3
3
1
3
a
2
,
a
2
a
1
1<
/p>
1
,
4
4
2
4
又
b
n
a
n
1
a
n
1,
解：
（
I<
/p>
）由已知得
a
1
b
n
1
a
n
2
a
n
1
1,
a
b
n
1
(
n
1)
a
n
n
a
n
1
a
n
1
n
1
a
n
1
< br>
a
n
1
2
1
b
2
2
1
2
.
n
a
n
2
< br>a
n
1
1
a
n
1
a
n
1
a
n
1
a
n
{
b
< br>}
是以
3
1
n
4
为首项，以
2
为公比的等比数列
<
/p>
（
II
）由（
I
）知，
b
3
1
n
1
3
1
n
4
(
2
)
2
< br>
2
n
,
a
1
3
1
n
1
a
n
2
2
n
,
< br>
a
1
3
1
2
a
1
2
2
,
a
3
1
3
a
2
< br>
1
2
,
2
2
a
a
1
3
1
n
<
/p>
n
1
2
2
n
1
,
将以上各式相加得：
a
a
1)
3
1
1
1
n
1
(
n
2<
/p>
(
2
2
2
2
n
1
),
1
a
n
1
3
(1
< br>1
n
1
)
1
n
a
1
2
3
1
3
2
2
(
n
1)
(1
1
1
< br>2
2
2
n
1
)
2
n
n
2.
2
（
III
）解法一：
存在
2<
/p>
，使数列
{
S
n
T
n
n
}
是等差数列
S
a
1
1
1
n
1
a
2
a
n
3(
2
1
2
2
< br>
2
n
)
(1
2
< br>
n
)
2
n
1
(1
1
3
2
2
n
)
n
(
n
1)
2
n
1
1
2
2
3(1
1
n
2
3
n
3
n
2
3
n
2<
/p>
n
)
2
2
n
2
3.
3
(1
1
T
n
)
n
b
1
b
2
<
/p>
b
n
4
2
3
(1
1
)
3
3
.
1
1
2
2
n
2
2
n
1
2
数列
{
S
n
T
n
n
}
是等差数列的充要条件是
S
< br>n
T
n
n
An
B
,(
A
、
B
是常数
)
即
S
An
2<
/p>
n
T
n
Bn
,
又
S
3
n
2
3
< br>n
n
T
n
2
n
2
3
(
3
3
2
2
n
< br>1
)
n
2
3
n
1
2
3(1
2
)(1
2
n
)
当且仅当
1<
/p>
0
，即
2
时，数列
{
S
n
T
n
}
为等差数列
2
n
a
3
n
2
n
n
2.